数学高中人教A版必修3学案：1.3算法案例第2课时Word版含解析

第一章　算法初步
1.3　算法案例
1.3　算法案例(第2课时)——秦九韶算法
学习目标
1.学习秦九韶算法的计算过程,并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数、提高计算效率的实质.
2.模仿秦九韶计算方法,体会古人计算构思的巧妙.
3.通过对秦九韶算法的学习,充分认识到我国文化历史的悠久.
合作学习
一、设计问题,创设情境
我们已经学了多项式的计算,下面我们计算一下多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值,并统计所做的计算的种类及计算次数.
根据我们的计算统计可以得出我们共需要　　　次乘法运算,　　　次加法运算.?
我们把多项式变形为f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,再统计一下计算当x=5时的值时需要的计算次数,可以得出仅需　　　次乘法和　　　次加法运算即可得出结果.显然少了　　　次乘法运算.这种算法就叫秦九韶算法.?
二、信息交流,揭示规律
秦九韶计算多项式的方法
【例1】 已知一个5次多项式为f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,
用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.
思考:例1计算时需要多少次乘法计算?多少次加法计算?
三、运用规律,解决问题
利用秦九韶算法求f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.
四、变式训练,深化提高
【例2】 设计利用秦九韶算法计算多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0的值的程序框图.
练习:依据例2的程序框图编写程序.
五、反思小结,观点提炼
1.本节课我们学习了哪些知识内容?
2.你认为秦九韶算法的原理是什么?
3.秦九韶算法的程序设计用到了什么逻辑结构?
布置作业
课本P48习题1.3A组第2题.
参考答案
一、设计问题,创设情境
10,5,4,5,6.
二、信息交流,揭示规律
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0
=(anxn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+…+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0
…
=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即
v1=anx+an-1,
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3,
…
vn=vn-1x+a0,
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.
【例1】 解:根据秦九韶算法,把f(x)改写为f(x)=((((4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.
按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=5时的值:
v0=4;
v1=4×5+2=22;
v2=22×5+3.5=113.5;
v3=113.5×5-2.6=564.9;
v4=564.9×5+1.7=2 826.2;
v5=2 826.2×5-0.8=14 130.2.
所以,当x=5时,多项式的值等于14 130.2.
思考:需要5次乘法,5次加法.
三、运用规律,解决问题
解:f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,所以有
v0=7;
v1=7×3+6=27;
v2=27×3+5=86;
v3=86×3+4=262;
v4=262×3+3=789;
v5=789×3+2=2 369;
v6=2 369×3+1=7 108;
v7=7 108×3=21 324.
故当x=3时,多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x的值为21 324.
四、变式训练,深化提高
【例2】 解:程序框图如下:
INPUT　“n=”;n
INPUT　“an=”;a
INPUT　“x=”;x
v=a
i=n-1
WHILE　i>=0
　PRINT　“i=”;i
　INPUT　“ai=”;a
　v=v?? x+a
　i=i-1
WEND
PRINT　v
END
五、反思小结,观点提炼
略