数学高中人教A版必修4学案：1.2.1任意角的三角函数的定义（第一课时）Word版含解析

第一章　三角函数
1.2　任意角的三角函数
1.2.1　任意角的三角函数(第一课时)
学习目标
1.掌握任意角的三角函数的定义;
2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;
3.记住三角函数的定义域及在各象限的符号.
学习过程
复习:初中锐角的三角函数是如何定义的?
Rt△ABC中,设A的对边为a,B的对边为b,C的对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为sin A=
??
??
,cos A=　　　　,tan A=　　　　.?
探究:1.坐标法求三角函数.
锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P(a,b),
点P与原点的距离r=
??
2
+
??
2
,
sinα=　　　　;cosα=　　　　;tanα=　　　　.?
由三角形相似,确定的α可对应相似的直角三角形,
这三个比值对应　　　　,　　　　随P在角的终边的位置改变而改变.?
2.单位圆.
思考:怎样适当地选取P点使比值简化?
其中,以原点为圆心,以　　　　为半径的圆为单位圆.?
/
新知:1.任意角的三角函数.
设α为一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y):
那么:(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;
(2)x叫作α的余弦,记作cosα,即　　　　;?
(3)
??
??
叫作α的正切,记作　　　　,即tanα=
??
??
(x≠0).?
三角函数:对于确定的角α,上面三个函数值都是唯一确定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角为　　　　,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.?
2.三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限的符号.
反思:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),则sinα=　　　　,cosα=　　　　,tanα=　　　　.?
3.试用文字语言叙述公式(一)
典型例题
【例1】求
5
3
π的正弦、余弦和正切值.
【例2】已知角α的终边过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.
【例3】求证:当下列不等式组成立时,角α为第三象限角,反之也对.
sin??<0,
tan??>0.
【例4】确定下列三角函数值的符号.
(1)cos250°;(2)sin(-
π
4
);(3)tan(-672°);(4)tan3π.
【例5】求下列三角函数值.
(1)sin1480°10';(2)cos
9π
4
;(3)tan(-
11π
6
).
达标检测
1.α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是(　　)
A.sinα B.cosα C.tanα D.
1
tan??
2.已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知角α的终边过点P(-1,2),则cosα的值为　　　　.?
4.已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0),求α的正弦、余弦和正切值.
5.判断sin4·tan(-
23π
4
)的符号.
参考答案/
复习:
??
??
,
??
??
探究:1.坐标法求三角函数.
锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P(a,b),
点P与原点的距离r=
??
2
+
??
2
,sinα=
??
??
,cosα=
??
??
,tanα=
??
??
.
由三角形相似,确定的α可对应相似的直角三角形,
这三个比值对应相等,不会随P在角的终边的位置改变而改变.
2.单位圆.
不难想到,当r=1时形式上比较简单,即sinα=b,cosα=a,tanα=
??
??
,而当r=1时,可构设一个以原点为圆心以单位长为半径的圆,角α的终边与圆的交点选为P点.此时,点P与原点的距离r=1.
其中,以原点为圆心,以1个单位长度为半径的圆为单位圆.
新知:1.cosα=x;tanα;自变量
2.三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限的符号.
函数
定义域
值域
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
y=sin x
R
[-1,1]
+
+
-
-
y=cos x
R
[-1,1]
+
-
-
+
y=tan x
{x|x≠
π
2
+kπ,k∈Z}
R
+
-
+
-
反思:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),则sinα=
??
??
2
+
??
2
,cosα=
??
??
2
+
??
2
,tanα=
??
??
.
3.终边相同的角同一三角函数值相等.
典型例题
【例1】解:在直角坐标系中,作∠AOB=
5π
3
,∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(
1
2
,-
3
2
),所以sin
5π
3
=-
3
2
,cos
5π
3
=
1
2
,tan
5π
3
=-
3
.
【例2】解:sinα=
-4
(-3
)
2
+(-4
)
2
=-
4
5
,cosα=
-3
(-3
)
2
+(-4
)
2
=-
3
5
,
tanα=
-4
-3
=
4
3
.
【例3】证明:如果sinα<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非负半轴重合;如果tanα>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.
【例4】解:(1)因为250°是第三象限角,所以
cos250°<0;
(2)因为-
π
4
是第四象限角,所以
sin(-
π
4
)<0;
(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0;
(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ,而π的终边在x轴上,所以tanπ=0.
【例5】解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645;
(2)cos
9π
4
=cos(
π
4
+2π)=cos
π
4
=
2
2
;
(3)tan(-
11π
6
)=tan(
π
6
-2π)=tan
π
6
=
3
3
.
达标检测
1.B　2.B　3.-
5
5
4.当a>0时,sinα=
2
5
5
,cosα=
5
5
,tanα=2;当a<0时,sinα=-
2
5
5
,cosα=-
5
5
,tanα=2.
5.略