数学高中人教A版必修4学案：1.2.2同角三角函数基本关系式Word版含解析

第一章　三角函数
1.2　任意角的三角函数
1.2.2　同角三角函数的基本关系
学习目标
1.掌握三种基本关系式之间的联系;
2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法;
3.牢固掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力;
4.灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力.
学习过程
一、自主学习
问题1:任意角的三角函数是怎样定义的?
问题2:sinα,cosα,tanα之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗?
问题3:设P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点,x和y之间有什么关系?sinα和cosα之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗?
二、自主探究
同角三角函数的基本关系式:
1.平方关系:
2.商的关系:
同角三角函数的基本关系式的变形:
三、合作探究、典例精析
【例1】已知sinα=
1
3
,并且α是第二象限角,求cosα,tanα.
【例2】已知sinα=-
3
5
,求cosα,tanα的值.
【例3】已知cosα=-
8
17
,求sinα,tanα的值.
【例4】已知tanα=2,求下列各式的值:
(1)
sin??+cos??
sin??-cos??
;(2)
sin??cos??
si
n
2
α-co
s
2
α
;(3)sinαcosα.
【例5】求证:
cos??
1-sin??
=
1+sin??
cos??
.
四、课堂练习、巩固基础
1.(1)已知sinα=
12
13
,并且α是第二象限角,求cosα,tanα.
(2)已知cosα=-
4
5
,求sinα,tanα.
2.已知tanα=5,求下列各式的值.
(1)
5sin??-3cos??
7sin??+9cos??
;(2)
co
s
2
α
4si
n
2
α+2sin??cos??-3
;
(3)2sin2α-3cosαsinα+5cos2α.
五、课堂小结
六、达标检测
1.sin22014+cos22014等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.2014 D.不能确定
2.已知sinα=-
3
4
,α是第四象限角,则tanα的值为(　　)
A.
3
7
7
B.
7
4
C.-
3
7
7
D.-
7
4
3.已知tanα=4,求
(1)
sin??-2cos??
2sin??+5cos??
;
(2)
1
si
n
2
α+2sin??cos??
.
4.已知tanα=
3
,π<α<
3π
2
,求cosα-sinα的值.
5.已知tanα=-
3
4
,求sinα,cosα的值.
参考答案/
一、自主学习
问题1:设角α是一个任意角,α终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r=
|??
|
2
+|y
|
2
=
??
2
+
??
2
>0),那么sinα=
??
??
,cosα=
??
??
,tanα=
??
??
.特别地,当r=1时,即若P(x,y)为角α终边与单位圆的交点,则有sinα=y,cosα=x,tanα=
??
??
.)
问题2:tanα=
sin??
cos??
,对α≠
π
2
+kπ,k∈Z都成立.
问题3:x2+y2=1;sin2α+cos2α=1,对于任意角都成立.
二、自主探究
同角三角函数的基本关系式:
1.平方关系:sin2α+cos2α=1;
2.商的关系:tanα=
sin??
cos??
.
同角三角函数的基本关系式的变形:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,cosα=±
1-si
n
2
α
,cosα=
sin??
tan??
等.
三、合作探究、典例精析
【例1】解:由sin2α+cos2α=1,得cos2α=1-sin2α=1-(
1
3
)2=
8
9
,
又因为α是第二象限角,所以cosα<0,
所以cosα=-
2
2
3
,所以tanα=
sin??
cos??
=
1
3
-
2
2
3
=-
2
4
.
【例2】解:因为sinα<0,sinα≠-1,所以α为第三或第四象限的角,由sin2α+cos2α=1,
得:cos2α=1-sin2α=1-(-
3
5
)2=
16
25
.
如果α是第三象限角,则cosα=-
4
5
,tanα=
sin??
cos??
=(-
3
5
)×(-
5
4
)=
3
4
;
如果α是第四象限角,则cosα=
4
5
,tanα=
sin??
cos??
=(-
3
5
)×
5
4
=-
3
4
.
【例3】解:因为cosα<0,所以α为第二或第三象限角.
当α为第二象限角时,sinα=
1-co
s
2
α
=
15
17
,
所以tanα=
sin??
cos??
=-
15
8
.
当α为第三象限角时,sinα=-
1-co
s
2
α
=-
15
17
,所以tanα=
sin??
cos??
=
15
8
.
【例4】解:(1)
sin??+cos??
sin??-cos??
=
tan??+1
tan??-1
=3;
(2)
sin??cos??
si
n
2
α-co
s
2
α
=
tan??
tan
?
2
α-1
=
2
3
;
(3)sinαcosα=
sin??cos??
si
n
2
α+co
s
2
α
=
tan??
tan
?
2
α+1
=
2
5
.
【例5】证明:证法一:
因为
cos??
1-sin??
?
1+sin??
cos??
=
co
s
2
x-(1-sin??)(1+sin??)
cos??(1-sin??)
=
co
s
2
x-1+si
n
2
α
cos??(1-sin??)
=0,
所以
cos??
1-sin??
=
1+sin??
cos??
.
证法二:因为sin2x+cos2x=1,所以cos2x=1-sin2x=(1+sin x)(1-sin x),
所以
cos??
1-sin??
=
1+sin??
cos??
.
证法三:原式左边=
cos??(1+sin??)
(1-sin??)(1+sin??)
=
cos??(1+sin??)
1-si
n
2
x
=
cos??(1+sin??)
co
s
2
x
=
1+sin??
cos??
=右边.
四、课堂练习、巩固基础
1.解:(1)因为sin2x+cos2x=1,所以cos2x=1-sin2x=1-(
12
13
)2=(
5
13
)2,
又因为α是第二象限角,所以cosα<0,所以cosα=-
5
13
,
从而tanα=
sin??
cos??
=-
12
5
.
(2)因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=1-cos2α=1-(-
4
5
)2=(
3
5
)2,
又因为cosα<0,所以α在第二或第三象限.
当α在第二象限时,sinα=
3
5
,从而tanα=
sin??
cos??
=-
3
4
;
当α在第三象限时,sinα=-
3
5
,从而tanα=
sin??
cos??
=
3
4
.
2.解:(1)
5sin??-3cos??
7sin??+9cos??
=
5tan??-3
7tan??+9
=
22
44
=
1
2
;
(2)
co
s
2
α
4si
n
2
α+2sin??cos??-3
=
co
s
2
α
si
n
2
α+2sin??cos??-3co
s
2
α
=
1
tan
?
2
α+2tan??-3
=
1
32
;
(3)2sin2α-3cosαsinα+5cos2α=
2si
n
2
α-3cos??sin??+5co
s
2
α
si
n
2
α+co
s
2
α
=
2tan
?
2
α-3tan??+5
tan
?
2
α+1
=
20
13
.
五、课堂小结
1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系.
2.同角三角函数关系的基本关系的应用.
3.应用同角三角函数的基本关系式的基本关系的变形解决计算和证明问题.
六、达标检测
1.A　2.C 3.(1)
2
13
　(2)
17
24
4.
3
-1
2
5.当α是第二象限角时,sinα=
3
5
,cosα=-
4
5
;当α是第四象限角时,sinα=-
3
5
,cosα=
4
5
.