数学高中人教A版必修4学案：1.3三角函数的诱导公式（第二课时）Word版含解析

第一章　三角函数
1.3　三角函数的诱导公式
(第二课时)
学习目标
1.经历诱导公式五、六的推导过程,体会数学知识的“发现”过程.
2.掌握诱导公式五、六,能初步应用公式解决一些简单的问题.
3.领会数学中转化思想的广泛性,了解诱导公式就是具有一定关系的几何特征关系的代数表示,从而对诱导公式能够达到属性结合的认识高度.
学习过程
一、课前完成部分
(一)复习(预习课本P26~27,找出疑惑之处,并作记号)回顾旧知,引出新课
问题1:上节课我们学习了三角函数的诱导公式二~四,大家还记得是哪几个公式吗?
公式二:　　　　　　公式三:　　　　　　公式四:
sin(π+α)= sin(-α)= sin(π-α)=
cos(π+α)= cos(-α)= cos(π-α)=
tan(π+α)= tan(-α)= tan(π-α)=
它们的记忆口诀是:?
问题2:请想一下由诱导公式可将任意的三角函数化为锐角三角函数的一般步骤.
练习:1.求下列三角函数值:
(1)sin225°;(2)cos(-1290°).
2.求下列各三角函数:(1)cos(-1665°);(2)sin(-13π4).
3.已知sin(α+π)=45,且sinαcosα<0,求2sin(α-π)+3tan(3π-α)4cos(α-3π)的值.
(二)探究新知:
1.诱导公式五:
问题3:你能画出角α关于直线y=x对称的角的终边吗?
问题4:由图象我们可以看到,与角α关于直线y=x对称的角可以表示为　　　　.?
问题5:如图,单位圆中,假设点P1的坐标为(x,y),你能说出P2的坐标吗?
请用三角函数的定义写出角π2-α的三角函数(诱导公式五):sin(π2-α)=cos(π2-α)=
2.诱导公式六:
思考:同学们,角π2+α与角α又有怎样的关系呢?你仍然是画图研究,还是用已学的公式来探究呢?请试着写出你推导诱导公式六的过程.
得到公式六:sin(π2+α)=cos(π2+α)=
观察可得记忆口诀:
二、课堂完成部分
(一)典型例题
【例1】化简下列各式:
(1)sin(π2+α)cos(π2-α)cos(π+α)+sin(π-α)cos(π2+α)sin(π+α);
(2)sin3(π2+α)+cos3(π2+α)sin(3π+α)+cos(4π-α)-sin(5π2+α)cos(3π2+α).
【例2】化简sin(α+nπ)+sin(α-nπ)sin(α+nπ)cos(α-nπ)(n∈Z).
【例3】(1)已知tanα=3,求值:2cos(π-α)-3sin(π+α)4cos(-α)+sin(2π-α);
(2)已知sinα+cosαsinα-cosα=3,求sin2(2π-α)+2sinαcosαtan(π+α)(1+sin2α)的值;
(3)求值1-2sin100°cos100°cos350°-1-cos2170°;
(4)求sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°的值.
(二)学习小结
三、课堂练习
1.已知sin(π4+α)=32,则sin(3π4-α)值为(　　)
A.12 B.-12 C.32 D.-32
2.如果|cos x|=cos(-x+π).则x的取值范围是(　　)
A.[-π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z) B.(π2+2kπ,32π+2kπ)(k∈Z)
C.[π2+2kπ,32π+2kπ](k∈Z) D.(-π+2kπ,π+2kπ)(k∈Z)
3.设角α=-35π6,则2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α)1+sin2α+sin(π-α)-cos2(π+α)的值等于(　　)
A.33 B.-33 C.3 D.-3
4.若f(cos x)=cos3x,那么f(sin30°)的值为(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.32
四、课堂小结
五、达标检测
1.sin(180°-405°)sin(270°-765°)sin(90°+45°)tan(270°+45°)=　　　　.?
2.将下列三角函数转化为锐角三角函数,填在题中横线上:
①sin263°42'=　　　　;②cos(-104°26')=　　　　;③sin(-53π)=　　　　;④tan17π6=　　　　.?
3.若cosα=23,α是第四象限角,求
sin(α-2π)+sin(-α-3π)cos(α-3π)cos(π-α)-cos(-π-α)cos(α-4π)的值.
4.化简:sin(2π-α)cos(π+α)cos(π2+α)cos(11π2-α)cos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin(9π2+α).
参考答案
一、课前完成部分
(一)复习
问题1:
公式二:　　　　　　公式三:　　　　　　公式四:
sin(π+α)=-sinα sin(-α)=-sinα sin(π-α)=sinα
cos(π+α)=-cosα cos(-α)=cosα cos(π-α)=-cosα
tan(π+α)=tanα tan(-α)=-tanα tan(π-α)=-tanα
它们的记忆口诀是:2kπ±α(k∈Z),-α,π±α的三角函数,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
问题2:由诱导公式可将任意的三角函数化为锐角三角函数,一般步骤如下:
(1)化负角的三角函数为正角的三角函数;
(2)化为[0,2π)上的三角函数;
(3)化为锐角的三角函数.
练习:1.解:(1)sin225°=sin(180°+45°)=-sin45°=-22;
(2)cos(-1290°)=cos1290°=cos(210°+3×360°)=cos210°=(180°+30°)=-cos30°=-32.
2.解:(1)cos(-1665°)=cos1665°=cos(225°+4×360°)=cos225°=cos(180°+45°)
=-cos45°=-22;
(2)sin(-13π4)=sin(-3×π-π4)=sinπ4=22.
3.解:∵sin(α+π)=45,∴sinα=-45,
又∵sinαcosα<0,∴cosα>0,cosα=1-sin2α=35,
∴tanα=-43.
∴原式=-2sinα-3tanα-4cosα=-2×(-45)+3×(-43)4×35=-73.
(二)探究新知:
1.诱导公式五:
问题3:作角α关于直线y=x的轴对称图形.(如图)
问题4:π2-α.
问题5:P2的坐标为(y,x).
诱导公式五:
sin(π2-α)=cosα,cos(π2-α)=sinα.
2.诱导公式六:
公式六:sin(π2+α)=cosα,cos(π2+α)=-sinα.
观察可得记忆口诀:把α看成锐角,“函数名奇变偶不变,符号看象限.”
二、课堂完成部分
(一)典型例题:
【例1】解:(1)sin(π2+α)cos(π2-α)cos(π+α)+sin(π-α)cos(π2+α)sin(π+α)=cosαsinα-cosα+-sinαsinα-sinα=-sinα+sinα=0.
(2)sin3(π2+α)+cos3(π2+α)sin(3π+α)+cos(4π-α)-sin(5π2+α)cos(3π2+α)=cos3α-sin3α-sinα+cosα+cosαsinα=cos2α-cosαsinα+sin2α+cosαsinα=1
【例2】解:当n是奇数时,sin(α+nπ)+sin(α-nπ)sin(α+nπ)cos(α-nπ)=-sinα-sinα(-sinα)(-cosα)=-2cosα;
当n是偶数时,sin(α+nπ)+sin(α-nπ)sin(α+nπ)cos(α-nπ)=sinα+sinαsinαcosα=2cosα.
【例3】解:(1)2cos(π-α)-3sin(π+α)4cos(-α)+sin(2π-α)=-2cosα+3sinα4cosα-sinα=-2+3tanα4-tanα=7;
(2)因为sinα+cosαsinα-cosα=3,所以tanα+1tanα-1=3,解得tanα=2.
所以sin2(2π-α)+2sinαcosαtan(π+α)(1+sin2α)=sin2α+2sinαcosαtanα(cos2α+2sin2α)=tan?2α+2tanαtanα(1+2tan?2α)=49;
(3)1-2sin100°cos100°cos350°-1-cos2170°=sin2100°-2sin100°cos100°+cos2100°cos10°-sin210°=-sin10°+cos10°cos10°-sin10°=1.
(4)因为sin21°+sin22°+…+sin289°=cos21°+cos22°+…+cos289°,
所以2(sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°)=89,
所以sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°=892.
(二)学习小结
1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系,并具有一定的规律性,“奇变偶不变,符号看象限”是记住这些公式的有效方法.
2.诱导公式是三角变换的基本公式,其中角α可以是一个单角,也可以是一个复角,应用时要注意整体把握、灵活变通.
三、课堂练习
1.C　2.C　3.C　4.A
四、课堂小结
1.应用诱导公式求三角函数值时的一般步骤为:
负角化正角→大角化小角→查表求值;
2.对(2k+1)·π2±α(k∈Z)的诱导公式,简记为“函数名互余,符号看象限”.
3.应用诱导公式时必须注意符号.
五、达标检测
1.22　2.-cos7°18';-sin14°26';sinπ3;-tanπ6　3.-510　4.tanα