数学高中人教A版必修4学案：2.3.2平面向量的基本定理及坐标表示Word版含解析

第二章　平面向量
2.3　平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示(第二课时)
学习目标
1.了解平面向量的基本定理.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:设平面直角坐标系中,x轴的单位向量为i,y轴的单位向量为j,
????
为从原点出发的向量,点A的坐标为(2,3)(如图).则
????
=　　　　?
/
二、学生探索,尝试解决
问题1:
三、信息交流,揭示规律
问题2:如何建立向量的坐标体系?需要具备什么样的条件?
1.平面向量的坐标表示
2.平面向量的坐标运算
3.向量平行的坐标表示
四、运用规律,解决问题
【例1】已知a=(2,1),b=(-3,4),求3a+4b的坐标.
【例2】已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形的四个顶点.
【例3】已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量
????
与
????
平行吗?直线AB与直线CD平行吗?
五、变式演练,深化提高
练习1:已知三个力F1(3,4),F2(2,-5),F3(x,y)的合力F1+F2+F3=0,求F3的坐标.
练习2:若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,求x.
练习3:已知点P(2,-1),Q(3,2),求
????
,
????
的坐标.
六、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?
1.?
2.?
3.?
布置作业
课本P100练习第2,4题.课本P101习题2.3A组第1,3,4,5题.
参考答案/
二、学生探索,尝试解决
问题1:
????
=2i,
????
=3j.
由平行四边形法则知
????
+
????
+
????
=2i+3j.
三、信息交流,揭示规律
问题2:需要建立单位正交基底,取两个互相垂直的单位向量即可.
1.平面向量的坐标表示
/
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,特别地,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
2.平面向量的坐标运算
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx,λy).
若A(x1,y1),B(x2,y2),则
????
=(x2-x1,y2-y1).
3.向量平行的坐标表示
a∥b(b≠0)的等价条件是x1y2-x2y1=0
证明:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.
由a=λb得,(x1,y1)=λ(x2,y2)?
??
1
=λ
??
2
,
??
1
=λ
??
2
,
消去λ,x1y2-x2y1=0.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:原式=3(2,1)+4(-3,4)=(6-12,3+16)=(-6,19).
【例2】解:当平行四边形为ABCD时,由
????
=
????
得D=(2,2);
当平行四边形为ACDB时,得D=(4,6);
当平行四边形为DACB时,得D=(-6,0).
【例3】解:因为
????
=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),
????
=(2-1,7-5)=(1,2),
又因为2×2-4×1=0所以
????
∥
????
,
又因为
????
=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),
????
=(2,4),2×4-2×6≠0,
所以
????
与
????
不平行,
所以A,B,C不共线,所以AB与CD不重合,
从而AB∥CD.
五、变式演练,深化提高
练习1:解:由题设F1+F2+F3=0得:(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),
即:
3+2+??=0,
4-5+??=0,
∴
??=-5,
??=1,
∴(-5,1)即为所求.
练习2:解:a=(-1,x)与b=(-x,2)共线,所以(-1)×2-x·(-x)=0,
x=±
2
,因为a与b方向相同,所以x=
2
.
练习3:解:
????
=(3,2)-(2,1)=(1,3),
????
=(2,-1)-(3,2)=(-1,-3).
六、反思小结,观点提炼
1.理解平面向量的坐标的概念;
2.掌握平面向量的坐标运算;
3.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.