数学高中人教A版必修4学案：2.4.1平面向量的数量积Word版含解析

第二章　平面向量
2.4　平面向量的数量积
2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标
1.会算一个向量在另一个向量上的投影,会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.
2.以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究.通过作图分析,使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别.
3.由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的过程,培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:一辆小车,在力F的作用下,从A处到B处拉动的位移为s,那么请问力F在这个运动过程中所做的功?
(1)力F所做的功W=　　　　.?
(2)请同学们分析公式的特点:W(功)是　　　量,F(力)是　　　　量,s(位移)是　　　量.?
(3)师生共同探讨矢量乘矢量以及引出向量乘以向量.
二、信息交流,揭示规律
1.数量积的概念
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　叫做 a与 b的数量积(或内积),记作　　　　.?
问题2:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?
问题3:数量积的几何意义是什么?
2.由数量积的定义可以得到下面几个重要结果:
(1)当=0时,　　　　　　;当=180°时,　　　　.?
(2)cos=　　　　.?
(3)当b=a时,有=0,所以a·a=|a||a|=　　　　,即|a|=　　　　.?
(4)当=90°时,a⊥b,因此,a·b=a·bcos90°=0,因此对非零向量a,b,有　　　　?a⊥b.?
3.可以验证,向量的数量积满足下面的运算律:
(1)?
(2)?
(3)?
注意:一般地,向量的数量积不满足结合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c.
三、运用规律,解决问题
【例1】判断下列各题正确与否:
(1)若a=0,则对任一向量b,有a·b=0.(　　)
(2)若a≠0,则对任一非零向量b,有a·b≠0.(　　)
(3)若a≠0,a·b=0,则b=0.(　　)
(4)若a·b=0,则a,b至少有一个为零.(　　)
(5)若a≠0,a·b=a·c,则b=c.(　　)
(6)若a·b=a·c,则b=c当且仅当a≠0时成立.(　　)
(7)对任意向量a,b,c,有(a·b)·c≠a·(b·c). (　　)
(8)对任意向量a,有a2=|a|2 .(　　)
【例2】已知a=5,b=4,向量a与b的夹角是120°,求a·b.
【例3】已知|a|=|b|=2,a·b=-2,求.
【例4】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
四、变式演练,深化提高
练习1:四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=с,DA=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?
练习2:已知a=5,b=4,向量a与b的夹角是120°,求a+b.
五、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?
布置作业
课本P108习题2.4A组第1,2,3题.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:(1)力F所做的功W=Fscosθ.
(2)W(功)是标量,F(力)是矢量,s(位移)是矢量.
(3)W=F·s.
二、信息交流,揭示规律
1.数量积的概念
|a|·|b|cosθ　a·b
问题2:数量积的结果是实数,线性运算的结果是向量.
问题3:数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.
2.(1)a·b=|a||b|　a·b=-|a||b|
(2)a·b|a||b|
(3)|a|2　a·a
(4)a·b=0
3.(1)a·b=b·a
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
(3)(a+b)·c=a·c+b·c
三、运用规律,解决问题
【例1】(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×　(7)×　(8)√
【例2】解:a·b=|a|·|b|·cos120°=5×4×(-12)=-10.
【例3】解:cos=a·b|a||b|=-22×2=-22.
由于0≤≤180°,所以=135°.
【例4】解:由(a+3b)(7a-5b)=0?7a2+16a·b -15b2=0　①
(a-4b)(7a-2b)=0?7a2-30a·b+8b2=0　②
两式相减:2a·b=b2,
代入①或②得:a2=b2,
设a,b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=b22|b|2=12,∴θ=60°.
四、变式演练,深化提高
练习1:解:四边形ABCD是矩形,这是因为:
一方面:∵a+b+с+d=0,∴a+b=-(с+d),∴(a+b)2=(с+d)2,
即|a|2+2a·b+|b|2=|с|2+2с·d+|d|2,
由于a·b=с·d,∴|a|2+|b|2=|с|2+|d|2　①
同理有|a|2+|d|2=|с|2+|b|2　②
由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形.
另一方面,由a·b=b·с,有b(a-с)=0,而由平行四边形ABCD可得a=-с,代入上式得b·(2a)=0,即a·b=0,∴a⊥b,即AB⊥BC.
综上所述,四边形ABCD是矩形.
练习2:解:a+b2=(a+b)·(a+b)=a2+b2+2a·b=25+16-20=21,
所以a+b=21.
五、反思小结,观点提炼
1.掌握数量积的定义、重要性质及运算律;
2.能应用数量积的重要性质及运算律解决问题;
3.了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直、共线等问题.