3.1.1 一元一次方程(要点讲解+当堂检测+答案) 学案
文档属性
| 名称 | 3.1.1 一元一次方程(要点讲解+当堂检测+答案) 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-29 08:51:06 | ||
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文档简介
人教版数学七年级上册同步学案
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
要 点 讲 解
要点一 方程的概念
1. 含有未知数的等式叫做方程.
2. 方程必须具备两个条件：(1)等式；(2)含有未知数.二者缺一不可.
3. 判断方程的两个要素：等式、未知数，两者缺一不可，如x－6＝x2是方程，x<3不是方程.
经典例题1 下列各式中哪些是方程？
(1)3x－2＝7；(2)4＋8＝12；(3)3x－6；(4)2m－3n＝0；(5)3x2－2x－1＝0；(6)x＋2≠3；(7)＝5；(8)＝.
解析：方程是含有未知数的等式.(2)虽是等式，但其中不含未知数；(3)不是等式；(6)表示不等关系.故这三个均不符合方程的定义.
解：(1)(4)(5)(7)(8)是方程.
要点二 一元一次方程的概念
1. 如果一个方程只含有一个未知数(元)，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
2. 任何一个一元一次方程变形后都可以转化为ax＋b＝0(其中a≠0，a，b为常数)的形式，我们就把ax＋b＝0(其中a≠0，a，b为常数)叫做一元一次方程的标准形式，其中ax叫做一次项，a叫做一次项系数，b叫做常数项.
3. 要判断一个方程是不是一元一次方程，关键看三个方面：
(1)只含有一个未知数；
(2)未知数的次数都是1；
(3)分母中不含未知数.如果方程不是最简形式，先变形，化成最简形式后再判断.
经典例题2 若方程(m2－1)x2－mx－x＋2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m－1|的值为( )
A. 0 B. 2 C. 0或2 D. －2
解析：由已知方程，得(m2－1)x2－(m＋1)x＋2＝0.
因为方程(m2－1)x2－mx－x＋2＝0是关于x的一元一次方程，
所以m2－1＝0，且－(m＋1)≠0，
所以m＝±1且m≠－1，
所以m＝1.则|m－1|＝|1－1|＝0，故选A.
答案：A
要点三 方程的解
1. 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解.
2. 通过解方程，我们可以得到方程的解，但所得的方程的解是否适合原方程，这就需要进行检验.检验方法是：把所得的未知数的值代入原方程，看原方程的左右两边的值是否相等，如果相等，那么该值是方程的解，否则不是方程的解.
经典例题3 检验下列各数是不是方程4x－3＝2x＋3的解：
(1)x＝3；(2)x＝8；(3)y＝3.
解析：解答本题的方法是将未知数的值分别代入方程的左边和右边，看左右两边是否相等.相等的就是方程的解，否则不是.
解：(1)把x＝3分别代入方程的左边和右边，得左边＝4×3－3＝9，右边＝2×3＋3＝9.因为左边＝右边，所以x＝3是方程4x－3＝2x＋3的解.
(2)把x＝8分别代入方程的左边和右边，得左边＝4×8－3＝29，右边＝2×8＋3＝19.因为左边≠右边，所以x＝8不是方程4x－3＝2x＋3的解.
(3)因为y不是方程4x－3＝2x＋3的未知数，所以y＝3不是方程4x－3＝2x＋3的解.
要点四 列简单的一元一次方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程是用数学解决实际问题的一种方法.
经典例题4 根据下列条件，列出方程：
(1)甲数的3倍与4的差为11；
(2)某数的一半除以13，商为2，余数为4；
(3)m的相反数与n的差的绝对值减去4等于5；
(4)比某数的大1的数的相反数是5.
解析：(2)中隐含相等关系：被除数＝除数×商＋余数；(3)中先表示m的相反数，再与n相减，然后求绝对值.
解：(1)设甲数为x，根据题意，得3x－4＝11.
(2)设某数为x，根据题意，得x＝13×2＋4.
(3)|－m－n|－4＝5.
(4)设某数为x，根据题意，得－(x＋1)＝5.
易错易混警示 列方程时，对关键词语理解错误导致方程列错
列方程时，要审清题意，弄清各个量之间的关系，特别要注意单位统一，不要生搬硬套.
经典例题5 根据题意列方程：甲数比乙数多10%.
解：设甲数为x，乙数为y.
根据题意，得x＝y(1＋10%).
点拨：一个数量比另一个数量多或者少一个百分数，意义是多或者少另一个数量的百分数与这个数量的积，这里的百分数的意义应正确理解.
当 堂 检 测
1. 下列式子属于方程的是( )
A. x＋5 B. x－10＝3 C. 5＋6＝11 D. x÷12>20
2. 下列各式是一元一次方程的有( )
①x＝；②3x－2；③y－＝－1；④1－7y2＝2y；⑤3(x－1)－3＝3x－6；⑥＋3＝2；⑦4(t－1)＝2(3t＋1).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列方程中，解为x＝4的方程是( )
A. x－1＝4 B. 4x＝1
C. 4x－1＝3x＋3 D. 2(x－1)＝1
4. 一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为( )
A. x＋1＝(30－x)－2 B. x＋1＝(15－x)－2
C. x－1＝(30－x)＋2 D. x－1＝(15－x)＋2
5. 下列式子中是一元一次方程的有________.(只填序号)
(1)2x－1＝4；(2)x＝0；(3)－5＝－1；(4)x＋3＝6x－9；(5)2x－1＝5＋2x；(6)2x＋y＝0.
6. 若关于x的方程2xa－3－9＝0是一元一次方程，则a＝ .
7. 某数为x，根据下列条件列方程.
(1)某数与8的差等于某数的与4的和；
(2)某数的与某数的的和等于3.
8. 已知3am－1b2与4a2bn－1是同类项，试判断x＝是不是方程2x－6＝0的解.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. C 4. D
5. (1)(2)(4)
6. 4
7. 解：(1)根据题意得出x－8＝x＋4.
(2)根据题意得出x＋x＝3.
8. 解：因为3am－1b2与4a2bn－1是同类项，所以m－1＝2，n－1＝2，解得m＝3，n＝3，则x＝＝＝3.把x＝3代入方程的左边，得左边＝2×3－6＝0＝右边.所以x＝，即x＝3是方程2x－6＝0的解.
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
要 点 讲 解
要点一 方程的概念
1. 含有未知数的等式叫做方程.
2. 方程必须具备两个条件：(1)等式；(2)含有未知数.二者缺一不可.
3. 判断方程的两个要素：等式、未知数，两者缺一不可，如x－6＝x2是方程，x<3不是方程.
经典例题1 下列各式中哪些是方程？
(1)3x－2＝7；(2)4＋8＝12；(3)3x－6；(4)2m－3n＝0；(5)3x2－2x－1＝0；(6)x＋2≠3；(7)＝5；(8)＝.
解析：方程是含有未知数的等式.(2)虽是等式，但其中不含未知数；(3)不是等式；(6)表示不等关系.故这三个均不符合方程的定义.
解：(1)(4)(5)(7)(8)是方程.
要点二 一元一次方程的概念
1. 如果一个方程只含有一个未知数(元)，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
2. 任何一个一元一次方程变形后都可以转化为ax＋b＝0(其中a≠0，a，b为常数)的形式，我们就把ax＋b＝0(其中a≠0，a，b为常数)叫做一元一次方程的标准形式，其中ax叫做一次项，a叫做一次项系数，b叫做常数项.
3. 要判断一个方程是不是一元一次方程，关键看三个方面：
(1)只含有一个未知数；
(2)未知数的次数都是1；
(3)分母中不含未知数.如果方程不是最简形式，先变形，化成最简形式后再判断.
经典例题2 若方程(m2－1)x2－mx－x＋2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m－1|的值为( )
A. 0 B. 2 C. 0或2 D. －2
解析：由已知方程，得(m2－1)x2－(m＋1)x＋2＝0.
因为方程(m2－1)x2－mx－x＋2＝0是关于x的一元一次方程，
所以m2－1＝0，且－(m＋1)≠0，
所以m＝±1且m≠－1，
所以m＝1.则|m－1|＝|1－1|＝0，故选A.
答案：A
要点三 方程的解
1. 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解.
2. 通过解方程，我们可以得到方程的解，但所得的方程的解是否适合原方程，这就需要进行检验.检验方法是：把所得的未知数的值代入原方程，看原方程的左右两边的值是否相等，如果相等，那么该值是方程的解，否则不是方程的解.
经典例题3 检验下列各数是不是方程4x－3＝2x＋3的解：
(1)x＝3；(2)x＝8；(3)y＝3.
解析：解答本题的方法是将未知数的值分别代入方程的左边和右边，看左右两边是否相等.相等的就是方程的解，否则不是.
解：(1)把x＝3分别代入方程的左边和右边，得左边＝4×3－3＝9，右边＝2×3＋3＝9.因为左边＝右边，所以x＝3是方程4x－3＝2x＋3的解.
(2)把x＝8分别代入方程的左边和右边，得左边＝4×8－3＝29，右边＝2×8＋3＝19.因为左边≠右边，所以x＝8不是方程4x－3＝2x＋3的解.
(3)因为y不是方程4x－3＝2x＋3的未知数，所以y＝3不是方程4x－3＝2x＋3的解.
要点四 列简单的一元一次方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程是用数学解决实际问题的一种方法.
经典例题4 根据下列条件，列出方程：
(1)甲数的3倍与4的差为11；
(2)某数的一半除以13，商为2，余数为4；
(3)m的相反数与n的差的绝对值减去4等于5；
(4)比某数的大1的数的相反数是5.
解析：(2)中隐含相等关系：被除数＝除数×商＋余数；(3)中先表示m的相反数，再与n相减，然后求绝对值.
解：(1)设甲数为x，根据题意，得3x－4＝11.
(2)设某数为x，根据题意，得x＝13×2＋4.
(3)|－m－n|－4＝5.
(4)设某数为x，根据题意，得－(x＋1)＝5.
易错易混警示 列方程时，对关键词语理解错误导致方程列错
列方程时，要审清题意，弄清各个量之间的关系，特别要注意单位统一，不要生搬硬套.
经典例题5 根据题意列方程：甲数比乙数多10%.
解：设甲数为x，乙数为y.
根据题意，得x＝y(1＋10%).
点拨：一个数量比另一个数量多或者少一个百分数，意义是多或者少另一个数量的百分数与这个数量的积，这里的百分数的意义应正确理解.
当 堂 检 测
1. 下列式子属于方程的是( )
A. x＋5 B. x－10＝3 C. 5＋6＝11 D. x÷12>20
2. 下列各式是一元一次方程的有( )
①x＝；②3x－2；③y－＝－1；④1－7y2＝2y；⑤3(x－1)－3＝3x－6；⑥＋3＝2；⑦4(t－1)＝2(3t＋1).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列方程中，解为x＝4的方程是( )
A. x－1＝4 B. 4x＝1
C. 4x－1＝3x＋3 D. 2(x－1)＝1
4. 一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为( )
A. x＋1＝(30－x)－2 B. x＋1＝(15－x)－2
C. x－1＝(30－x)＋2 D. x－1＝(15－x)＋2
5. 下列式子中是一元一次方程的有________.(只填序号)
(1)2x－1＝4；(2)x＝0；(3)－5＝－1；(4)x＋3＝6x－9；(5)2x－1＝5＋2x；(6)2x＋y＝0.
6. 若关于x的方程2xa－3－9＝0是一元一次方程，则a＝ .
7. 某数为x，根据下列条件列方程.
(1)某数与8的差等于某数的与4的和；
(2)某数的与某数的的和等于3.
8. 已知3am－1b2与4a2bn－1是同类项，试判断x＝是不是方程2x－6＝0的解.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. C 4. D
5. (1)(2)(4)
6. 4
7. 解：(1)根据题意得出x－8＝x＋4.
(2)根据题意得出x＋x＝3.
8. 解：因为3am－1b2与4a2bn－1是同类项，所以m－1＝2，n－1＝2，解得m＝3，n＝3，则x＝＝＝3.把x＝3代入方程的左边，得左边＝2×3－6＝0＝右边.所以x＝，即x＝3是方程2x－6＝0的解.