人教版高中数学选修2-2知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.1 合情推理与演绎推理

知识
1．归纳推理
（1）由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由__________概括出__________的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由__________到__________、由__________到__________的推理．如金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为__________．
（2）归纳推理是依据__________现象，归纳推出__________结论，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．
由归纳推理所得的结论未必是正确的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的．通过观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一．
2．类比推理
由两类对象具有某些__________特征和其中一类对象的某些____________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由__________到__________的推理．
（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；
（3）类比的结果不一定可靠，但它却具有发现的功能．
（4）归纳推理是由部分到_________，由具体到__________，由特殊到__________，从个别事实中概括出________的思维模式．
类比推理是在__________的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在___________之处的一种推理模式．
3．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过__________、__________、__________、_________，再进行__________、__________，然后提出__________的推理，我们把它们统称为合情推理．
4．演绎推理
（1）从__________________出发，推出___________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由___________的推理．
（2）演绎推理与合情推理的主要区别与联系
（i）合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由________到________、________到________的推理，类比是由________到________的推理；而演绎推理是由________到________的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
（ii）人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色．
（iii）就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．
（3）三段论
（i）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的________；
②小前提——所研究的________；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________．
其一般推理形式为
大前提：M是P．
小前提：S是M．
结论：________．
（ii）利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么_________________．
（iii）为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的________作为下一个三段论的前提．
5．其他演绎推理形式
（1）假言推理：“若p?q，p真，则q真”．
（2）关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”，R表示一种传递性关系，如a∥b，b∥c?a∥c，a≥b，b≥c?a≥c等．
注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以供学生扩展知识面．
（3）完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推理规则．
知识参考答案：
1．（1）部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 部分 整体 个别 一般 归纳推理
（2）特殊 一般
4．（1）一般性的原理 某个特殊 一般到特殊
（2）部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 一般 特殊
（3）一般原理 特殊情况 判断 S是P S中所有元素也都具有性质P 结论
重点
重点
合情推理及归纳推理的定义、演绎推理的含义
难点
归纳推理的基本方法、三段论模式及其应用
易错
误将类比所得结论作为推理依据
重点 归纳推理在数、式、数列中的应用
归纳推理的一般步骤：
（1）观察分析，发现规律，通过观察个别情况发现某些相同性质；
（2）猜想结论并检验：从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（或猜想）．
有一个数阵排列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8……
2 4 6 8 10 12 14……
4 8 12 16 20……
8 16 24 32……
16 32 48 64……
32 64 96……
64……
则第10行从左至右第10个数字为____________.
【答案】5120
【名师点睛】本题通过观察数表的规律，考查等差数列与等比数列的应用以及归纳推理，属于中档题.归纳推理中数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等.
重点 归纳推理在图形中的应用
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第10 个图形中有白色地砖_______块.
【答案】53
【解析】第一个图形中的地砖数为9，第二个图形中的地砖数为15，第三个图形中的地砖数为21，它们是一个首项为9，公差为6的等差数列，所以第10个图形中的地砖数为所以白色地砖的数量为63-10=53.故答案为：53.
难点 归纳推理在不等式中的应用
对于与正整数有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形（通分、因式分解等），变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．
对任意正整数，猜想与的大小．
【答案】见解析．
难点 类比推理
类比推理的步骤与方法：
第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的（细微）差别．
第二步：把两个系统之间的某一种一致性（相似性）确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．
先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令，则有，两边平方，可解得（负值舍去）”.那么，可用类比的方法，求出的值是__________．
【答案】
【解析】设，则有，
所以有，解得，
因为，所以，
故答案是.
难点 演绎推理的基本形式（三段论）
用三段论的形式写出下列演绎推理．
（1）菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．
（2）若两角是对顶角，则这两个角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角．
【答案】见解析．
【名师点睛】分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．
在三段论中，“大前提”提供了一般的原理，“小前提”指出了一个特殊场合的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原则和特殊情况间的联系，平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理，学习三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法．
如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥FA，求证:ED=AF.
【解析】同位角相等,两条直线平行, 大前提
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A, 小前提
所以DF∥EA． 结论
两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 大前提
DE∥FA,且DF∥EA, 小前提
所以四边形AFDE为平行四边形． 结论
平行四边形的对边相等, 大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的一组对边, 小前提
所以ED=AF． 结论
【名师点睛】（1）应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据（大前提），验证条件是否满足（小前提），然后得出结论．
（2）在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际应用中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范．
易错 不能从所给各数中发现规律而致错
已知数列：根据它的前10项的规律，则的值为
A． B．
C． D．
【错解】各数分子的构成规律是
由于,,，
∴，，
∴，故选B．
【错因分析】本题常见错误是不能从所给各数中发现规律，错解虽然注意到了{an}各项的构成规律，但在计数项数时出现错误，a99应是分子从14开始的第8项，其分子应为，而不是6．
【正解】据题意分组得，第1组有1项，第2组有2项，…，第组有项．令得，由于，当时，和依次为第14组的第8项和第9项，由，知，故选A．
易错 利用三段论推理时，大前提错误而致错
如图所示，在中，，是边上的高，求证：．
【错解】在中，因为，所以，所以．
【错因分析】错误的原因在于虽然运用的大前提正确，即在同一个三角形中，大边对大角，但与并不是在同一个三角形内的两条边，即小前提不成立，所以推理过程错误．
【正解】因为，所以，
所以，
在 中，，∴，
∴．
【名师点睛】利用三段论推理时，（一）大前提必须是真命题；（2）小前提是大前提的特殊情形．
基础训练
1．“三段论”推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是
A．① B．②
C．③ D．①②
2．已知，且，由“若是等差数列，则”可以得到“若是等比数列，则”用的是
A．归纳推理 B．演绎推理
C．类比推理 D．数学证明
3．下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是
A．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数
B．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数
C．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数
D．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数
4．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是
A．50 B．42
C．-50 D．-42
5．下面几种推理过程是演绎推理的是
A．在数列|中，，由此归纳出的通项公式
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则
6．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式，可推知扇形面积公式等于
A． B．
C． D．不可类比
7．“因为四边形是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”补充以上推理的大前提
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
8．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是
A．白色 B．黑色
C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大
9．给出下列演绎推理：“自然数是整数， ，所以是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写___________．
10．观察下列不等式:
照此规律,当时， ．
11．点到直线的距离公式为,通过类比的方法，可求得：在空间中，点到平面的距离为 .
12．已知：；．
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．
13．已知,分别求f(0)+f(1),f(﹣1)+f(2),f(﹣2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论.
14．如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB边上的点,∠BFD=∠BAC,DE∥BA,求证:四边形AFDE是平行四边形.写出三段论形式的演绎推理,并指出大前提与小前提.
能力提升
15．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a．结论显然是错误的，这是因为
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
16．设，计算可得，，，．观察上面结果，可得出的一般结论是
A．
B．
C．
D．
17．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是.
由，，，…，可推出
A． B．
C． D．
18．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为
A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊
C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁
19．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系是________________．
20．我们知道,在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值????????? .
21．（1）证明：当时，不等式成立；
（2）要使上述不等式成立，能否将条件“”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；
（3）请根据（1），（2），试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．
真题练习
22．（2019新课标全国II）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
23．（2019北京）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远（单位：米）
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳（单位：次）
63
a
75
60
63
72
70
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
24．（2019四川模拟）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________．
25．（2019北京模拟）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________________；
②该小组人数的最小值为________________．
26．（2019山东模拟）观察下列等式：
；
；
；
；
……
照此规律，________________．
参考答案
1．【答案】B
【解析】此推理的小前提是“三角形不是平行四边形”．故选B．
2．【答案】C
【解析】根据类比推理的定义，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，故选C．
3．【答案】A
4．【答案】C
【解析】观察所给的数列可知，数列的特征为：，，则.故选C.
5．【答案】D
6．【答案】C
【解析】将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，所以S扇＝．故选C．
7．【答案】B
【解析】结合已知，可得所填的条件一定与矩形有关，并且应为矩形对角线的有关性质，结合选项可知选B．
8．【答案】A
【解析】由题图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色是白色．故选A．
9．【答案】是自然数
【解析】由演绎推理的三段论可知：“自然数是整数，是自然数，所以是整数”，故答案为是自然数.
10．【答案】
【解析】由题意,知左边每一个式子是算术平均数，右边的式子是几何平均数,即几个数的算术平均数不小于它们的几何平均数，归纳推测当时，，故答案为.
11．【答案】
【解析】类比点到直线的距离，可知在空间中点到平面的距离，故答案是.

13．【解析】已知,
所以f(0)+f(1)=,
f(﹣1)+f(2)=,
f(﹣2)+f(3)=,
归纳猜想一般性结论：f(-x)+f(1+x)=.
证明如下：f(﹣x)+f(x+1)=
.
14．【解析】同位角相等,两直线平行,(大前提)
∠BFD与∠BAC是同位角,且∠BFD=∠BAC,(小前提)
所以DF∥EA．(结论)
两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)
15．【答案】A
【解析】大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．故选A．
16．【答案】D
【解析】，，，，
所以推得一般结论是，故选D．
17．【答案】A
18．【答案】D
【解析】首先要明确解题要点：甲乙丙丁戊个人首尾相接，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流，而且个备选答案都是从甲开始的，因此我们从甲开始推理．
方法1：正常的思路，根据题干来作答．甲会说中文和英语，那么甲的下一邻居一定是会说英语或者中文的，以此类推，得出答案．故选D．
方法2：根据题干和答案综合考虑，运用排除法来解决．首先，观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，B、C不成立，乙不能和甲交流，A错误，因此D正确．
19．【答案】m＜n
【解析】当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax为减函数，
∵a＝∈(0，1)，∴函数f(x)＝为减函数．
故由f(m)＞f(n)，得m＜n．
20．【答案】
21．【解析】（1），
因为，所以，
所以，
所以不等式成立．
（2）因为，则对任意且，式子与同号，
所以条件可放宽为且．
（3）根据（1）（2）可推知：若且，，，则有．
证明如下：
，
若，则由不等式成立；
若，则由不等式成立．
综上得：若且，，，则有成立．
22．【答案】D
【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D．
23．【答案】B
24．【答案】1和3
【解析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2．
25．【答案】6 12
【解析】设男生人数、女生人数、教师人数分别为，则.
①，
②
26．【答案】
【解析】通过类比，可以发现，最前面的数字是，接下来是和项数有关的两项的乘积，即，故答案为．