人教版高中数学选修2-2知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.2 直接证明与间接证明

知识
1．综合法的定义
利用___________和某些数学___________、__________、___________等，经过一系列的_____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．综合法的特点
从“已知”看“___________”，逐步推向“___________”，其逐步推理，是由_________导_________，实际上是寻找“已知”的___________条件．
3．综合法的基本思路
用_________表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，_________表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为
→→→…→
其逻辑依据是三段论式演绎推理．
4．分析法定义
从要证明的_________出发，逐步寻求使它成立的_________条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.
5．分析法的特点
分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“_________”，执果索因，逐步靠拢“_________”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的_________条件．
分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．
6．分析法的基本思路
分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件．若用_________表示要证明的结论，则分析法的推理形式为
→→→…→
7．分析法与综合法的区别与联系
（1）区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．
（2）联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归结为已被证明了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明过程就是综合法．
（3）分析法便于思考，叙述较繁；综合法叙述条理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清楚．所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：分析找思路，综合写过程．
8．反证法的定义
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设________，从而证明了原命题________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．
9．反证法证题的原理
（1）反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
（2）用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．
10．反证法常见的矛盾类型
（1）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公认的简单事实矛盾等．矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．
（2）反证法的适用对象
作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：
①直接证明需分多种情况的；
②结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；
③关于唯一性、存在性的命题；
④结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；
⑤条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．
知识参考答案：
1．已知条件 定义 公理 定理 推理论证
2．可知 未知 因 果 必要
3．P Q
4．结论 充分
5．需知 已知 充分
6．P
8．矛盾 错误 成立
重点
重点
综合法和分析法的思维过程及特点，反证法的特点
难点
综合法和分析法的应用，反证法的应用
易错
忽视隐含条件导致错误
重点 综合法的应用
综合法的证明步骤如下：
（1）分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
（2）转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
设实数成等差数列，实数成等比数列，非零实数是与的等差中项.求证：.
重点 分析法的应用
分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．
已知，利用分析法证明：.
难点 反证法的应用
应用反证法的注意事项：
（1）用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若，则”的过程中，虽然否定了结论，但是在证明过程中没有把“”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．
（2）用反证法证题，最后要产生一个矛盾命题，常见的主要矛盾有：
①与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；
②与假设矛盾；
③与已知条件矛盾；
④与公认的简单事实矛盾．
（3）矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．
已知.求证：，，中至少有一个不小于6.
【解析】假设，，都小于6，
即，，，
.
，（当且仅当时取等号）.
这与假设相矛盾,
故假设不成立,从而原结论成立.
【名师点睛】反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么,避免出现错误.需注意“至少有一个”的否定为“一个都没有”，“至多有一个”的否定为“至少有两个”.
设数列是公比为的等比数列，是它的前项和．
（1）求证：数列不是等比数列；
（2）数列是等差数列吗？为什么？
方法2：只需证明，
因为，
所以．
（2）当时，是等差数列．
当时，不是等差数列，否则有成等差数列．即，
所以．
由于，所以，
因为，所以，与矛盾．
综上，当时，数列是等差数列，当时，不是等差数列．．
易错 忽视隐含条件导致错误
设，为偶数，求证：．
【错解】．
∵为偶数，∴．
又∵和同号，∴，
∴．
【错因分析】这里题目中的条件为，而不是，因此，应分且和有一个为负值两种情况加以讨论．
【正解】．
①当时，,，
∴，
∴．
②当中有一个为负值时，不妨设，且，∴．
∴，
故，
∴，∴，
∴由①②知结论成立．【名师点睛】审题过程中注意将条件等价转化，要将所有可能情形找全，不要漏掉隐含的条件．
易错 反证法证明的常见错误
已知，，，求证：．
【错解】假设，，，则，与题设条件，
矛盾．∴假设不成立，∴原命题成立．
【错因分析】错解没有弄清原题待证的结论是什么，导致反设错误．“求证：a>0，b>0，c>0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0．”．
【正解】证法1：假设中至少有一个不大于0，
不妨设，若，则由，得，
由得，，
∴，
这与已知矛盾．
又若，则与矛盾．
故“”不成立，∴，
同理可证．
证法2：假设是不全为正的实数，
由于，所以中只能是两负一正，
不妨设，，
∵，∴，
∵，
∵，∴，
∴，
这与矛盾，
故假设不成立，原结论成立．
即全为正实数．
已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0，用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实数根.
【错解】假设方程x2-2x+5-p2=0有实数根，由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0，解得-2而关于x的方程x2-2x+5-p2=0的根的判别式Δ=4(p2-4).
∵-2即关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实数根.
【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论,故不是反证法.
【正解】假设方程x2-2x+5-p2=0有实数根,则该方程的根的判别式Δ=4-4(5-p2)≥0,解得p≥2或p≤-2　①,
而由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0,解得-2数轴上表示①②的图形无公共部分,故假设不成立,
从而关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实数根.
基础训练
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的表述有
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
2．在用反证法证明“已知，且，则，，中至少有一个大于”时，假设应为
A．，，中至多有一个大于 B．，，全都小于
C．，，中至少有两个大于 D．，，均不大于
3．欲证成立，只需证
A． B．
C． D．
4．命题“若则”的证明过程：
“要证明，
即证
因为
即证，
即证
即证
因为上式成立，故原等式成立应用了
A．分析法 B．综合法
C．综合法与分析法结合使用 D．演绎法
5．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
6．有以下结论：
①已知，求证：，用反证法证明时，可假设；
②已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设．
下列说法中正确的是
A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确
7．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是
A．(－∞，－2] B．[－2，2]
C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞)
8．用反证法证明命题“三角形的内角中最小角小于等于”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是________________(填序号)．
①假设最小角不大于；??????????????????????? ②假设最小角大于；
③假设最大角大于；?????????????????????????????????? ④假设最大角小于等于．
9．等式“”的证明过程:“等式两边同时乘得,左边,右边=1,左边=右边,故原不等式成立”,应用的证明方法是_____.(填“综合法”或“分析法”)
10．________________．(填“＞”或“＜”)
11．补足下面用分析法证明基本不等式的步骤：
要证明，
只需证明，
只需证________________，
只需证________________，
由于________________，显然成立，
因此原不等式成立．
12．用综合法或分析法证明：
（1）如果，那么；
（2）设，求证：.
13．已知是正实数，且.
求证：（1）；
（2）.
14．已知正数成等差数列，且公差，用反证法证明：不可能是等差数列．
能力提升
15．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
16．要使成立，则a，b应满足的条件是
A．ab＜0且a＞b B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0且a＜b D．ab＜0且a＜b或ab>0且a>b
17．若实数满足，给出以下说法：①中至少有一个大于；②中至少有一个小于；③中至少有一个不大于1；④中至少有一个不小于.其中正确说法的个数是
A．3 B．2
C．1 D．0
18．若定义在上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0，2]上是递增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是
A．0≤m≤4 B．0≤m≤2
C．m≤0 D．m≤0或m≥4
19．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2．以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________________．(用序号及“?”表示)
20．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；
③假设直线AC、BD是共面直线．
则正确的序号顺序为______________．
21．设二次函数,关于的不等式的解集有且只有一个元素.
（1）设数列的前项和,求数列的通项公式;
（2）记,则数列中是否存在不同的三项成等比数列?若存在,求出这三项,若不存在,请说明理由.
22．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E－ABC的体积V．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】D
【解析】用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：“假设，，均不大于”，故选D．
3．【答案】C
【解析】要证，因为不等式两边为负数，所以变形为证明，此时不等式两边都为正数，故有分析法可得只需证即可，故选C．
4．【答案】A
【解析】题中的证明方法为执果索因，这是典型的分析法，即原等式成立应用了分析法.故选A.
5．【答案】A
【解析】若满足题目中的条件，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在A、B、C、D四个选项中，只有A满足，故选A．
6．【答案】D
【解析】用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，则①假设错误，②假设正确．故选D．
7．【答案】C
【解析】用分离参数法可得a≥－(|x|＋)(x≠0)，而|x|＋≥2，∴a≥－2，当x＝0时原不等式显然成立．故选C．
8．【答案】②
【解析】用反证法证明命题：“三角形的内角中最小角小于等于”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中最小角小于等于”的否定是：三角形的内角中最小角大于，故答案为②.
9．【答案】综合法
【解析】从已知出发，根据公式进行等价变形，直至证得结论，所以是综合法.
10．【答案】＜
11．【答案】a2＋b2－2ab≥0 　(a－b)2≥0 　(a－b)2≥0
【解析】要证明，只需证明a2＋b2≥2ab，只需证a2＋b2－2ab≥0，
只需证(a－b)2≥0，由于(a－b)2≥0显然成立，因此原不等式成立．
12．【解析】（1）综合法：
又
分析法：
要证
只需证
即证
只需证
即证
即证
而恒成立，
故原不等式成立.
13．【解析】（1）∵，
∴.
（2）∵，
∴三式相加，得
.
15．【答案】B
【解析】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．故选B．
16．【答案】D
【解析】用分析法寻求使不等式成立的条件．
，
∴当ab＞0时，有，即b＜a；
当ab＜0时，有，即b＞a．故选D．
17．【答案】B
【解析】由题意满足，
则在①、②中，当时，满足，所以命题不正确；
对于③，假设三个数都大于，则，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则中至少有一个不大于，所以是正确的；
对于④，假设三个数都小于，则，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则中至少有一个不小于，所以是正确的.
综上可知，正确的命题有2个，故选B．
18．【答案】A
【解析】∵二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b的对称轴为x＝2，f(x)在[0，2]上是递增函数，∴a＜0，
∵f(m)≥f(0)，∴0≤m≤4，故选A．
19．【答案】①③?②
【解析】∵αβ>0，|α|>2，|β|>2，∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25．
∴|α＋β|>5．
20．【答案】③①②
21．【解析】（1）因为关于的不等式的解集有且只有一个元素,
所以二次函数的图象与轴相切,
则,
考虑到,所以,
从而,
所以数列的前项和,
于是当时,,
当时,,不适合上式,
所以数列的通项公式为;
22．【解析】（1）∵在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）如图，过E作EG∥PA交AB于点G，
则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA．
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
∴AP＝AB＝，EG＝，
∴S△ABC＝AB·BC＝××2＝，
∴VE—ABC＝S△ABC·EG＝××＝．