人教版高中数学选修2-2知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.3 数学归纳法

知识
1．数学归纳法的概念
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取____________时命题成立；
（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当____________时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.
上述证明方法叫做数学归纳法.可以用框图表示为：
注意：（1）数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.
（2）不一定都是1.
2．数学归纳法中两个步骤的作用及关系
步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证.?
这两个步骤缺一不可，如果只有步骤（1）缺少步骤（2），则无法判断时命题是否成立；如果只有步骤（2）缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）就没有意义了.注意步骤（2）中必须用到归纳假设.
知识参考答案：
1．（1）第一个值
（2）
重点
重点
用数学归纳法进行证明
难点
用数学归纳法进行证明
易错
用数学归纳法进行证明时，步骤缺一不可，且第二步的归纳假设要用到
重点 用数学归纳法证明等式和不等式问题
用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，要先看项，清楚等式两边式子的构成规律，等式的两边各有多少项，再用数学归纳法证明.证明不等式时，则要注意往目标式子上凑，在证明过程中可能用到比较法、综合法、分析法、放缩法等.
用数学归纳法证明:.
【名师点睛】利用数学归纳法证明等式时应注意的问题：
（1）用数学归纳法证明等式的关键点在于弄清楚等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少；
（2）由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设．证题时要根据要求正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
用数学归纳法证明.
【解析】①当时，左边，不等式成立.
重点 用数学归纳法证明平面几何问题
用数学归纳法证明平面几何问题的关键是确定几何元素从k增加到k+1时，所证的几何量增加多少，从而建立k与k+1之间的递推关系.
平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2个部分.
【解析】（1）当n=1时,f(1)=12-1+2=2,一个圆把平面分成两部分,命题成立.
（2）假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.
那么当n=k+1时,第k+1个圆与其他k个圆相交于2k个点,第k+1个圆被分成2k条弧,而每条弧把原区域分成2块,
因此,这个平面被分成的总区域数增加了2k块,
即f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,
故当n=k+1时命题也成立.
根据（1）和（2）,可知命题对任何n∈N*都成立.
难点 归纳、猜想及证明
有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由归纳推理得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想正确.
观察下列等式：
；
；
；
；
……
（1）照此规律，归纳猜想第个等式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【解析】（1）第个等式为；
②假设当时原等式成立，
即,
则当时，

,
所以当时，原等式也成立.
由①②知，（1）中的猜想对任何都成立.
易错 归纳假设只设不用致误
用数学归纳法证明：.
【错解】(1)当时，左边=1，右边=1，左边=右边，等式成立.
(2)假设当时等式成立，
即，
则当时，需证.
由于等式左边是一个以1为首项，公差为3，项数为的等差数列的和，其和为，
所以式成立，即时等式成立.
【错因分析】错解在证明当等式成立时,没有用到归纳假设，故不符合数学归纳法证明的要求.数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，且第二步归纳假设应用到.
【正解】(1)当时，左边=1，右边=1，左边=右边，等式成立.
(2)假设当时等式成立，
即，
则当时，，
即当时等式成立.
根据(1)和(2)，可知等式对一切都成立.
基础训练
1．在用数学归纳法证明“”时，验证当n=1时，等式的左边为
A． B．
C． D．
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步假设应写成
A．假设n=k(k∈N*)时,xn+yn能被x+y整除 B．假设n=2k(k∈N*)时,xn+yn能被x+y整除
C．假设n=2k+1(k∈N*)时,xn+yn能被x+y整除 D．假设n=2k-1(k∈N*)时,xn+yn能被x+y整除
3．证明等式时，某学生的证明过程如下：
（1）当时，，等式成立；
（2）假设时，等式成立，
即，则当时，
，所以当时，等式也成立，故原式成立.
那么上述证明
A．过程全都正确 B．当时验证不正确
C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确
4．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时， 增加的项数是
A． B．
C． D．
5．已知,则与的关系是
A．=
B．
C．
D．
6．用数学归纳法证明“”,则当时,应当在时对应的等式的两边加上
A． B．
C． D．
7．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是___________.
8．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步验证的表达式为___________.
9．已知，用数学归纳法证明：时,从“到”左边需增加的代数式是___________.
10．证明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈).
11．设n∈N*,n>1,用数学归纳法证明不等式1++++.
12．平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任何两条均不平行,任何三条均不共点,证明:交点的个数f(n)=.
13．已知数列,…的前项和为.
(1)计算的值,根据计算结果,猜想的表达式;
(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的的表达式.
能力提升
14．某个命题与正整数有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立.现已知当时该命题不成立，那么可推得
A．当时该命题不成立 B．当时该命题成立
C．当时该命题不成立 D．当时该命题成立
15．用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，当时，式子应变形为____________
16．是否存在常数使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.
17．已知f(n)=(2n+7)×3n+9(n∈N*),用数学归纳法证明f(n)能被36整除.
18．已知 .
（1）求及；
（2）试比较与的大小，并用数学归纳法证明.
参考答案
1．【答案】C
【解析】由，知当n=1时，等式的左边为.故选C．
2．【答案】D
3．【答案】A
【解析】当时验证是正确的，归纳假设是正确的，从到的推理也是正确的，即证明过程中不存在任何的问题.故选A.
4．【答案】C
【解析】假设时成立，即，
当成立时，，
增加的项数是，故选C.
5．【答案】A
【解析】由,得,…,
故=故选A．
6．【答案】A
【解析】由题可得,当时,左边为,
所以在时对应的等式的两边加上.故选A．
7．【答案】
【解析】在等式中，当时，，
而等式左边起始为的连续的正整数的和，
故时，等式左边的项为，故答案为.
8．【答案】21＋1≥12＋1＋2(或22≥4或4≥4)
【解析】当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2.
9．【答案】
10．【解析】(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，
右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，
∴当n＝1时，等式成立.
(2)假设当n＝k时等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k·(2k＋1).
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2
＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
∴当n＝k＋1时，等式也成立.
根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈都成立.
11．【解析】(1)当n=2时,1+=1+,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*,k>1)时,不等式成立,即1++++.
那么,当n=k+1时,
1++++++,
所以当n=k+1时不等式也成立.
根据(1)和(2),可知对于任意的n∈N*,n>1,1++++成立.
13．【解析】(1),
猜想.
(2)①当时,左边=,右边=,猜想成立．
②假设当时猜想成立,即,
那么当时，
=
=
,
所以,当时猜想也成立．
根据①②可知,猜想对任何都成立．
14．【答案】A
15．【答案】
【解析】用数学归纳法证明：能被6整除的过程中，当时，式子应变形为，由于假设能够被6整除，而能被2整除，因此能被6整除，故答案为.
16．【解析】分别令，可得，解得．
故猜想等式对一切正整数都成立.
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上面的探求可知等式成立．
②假设时猜想成立，即．
当n=k＋1时，
．
所以当n=k＋1时，等式也成立．
由①②知猜想成立，即存在使命题成立．
18．【解析】（1）令，则，
令，则，
所以．
（2）要比较与的大小，只要比较与的大小．
猜想：．
下面用数学归纳法证明：
①当时，,结论成立．
②假设当时结论成立，即，
则当时，，
因为，所以，
所以，
所以，
即时结论也成立．
由①②可知，时，，
所以.