2019-2020学年安徽省合肥三十八中九年级（上）期中数学试卷（解析版）

2019-2020学年安徽省合肥三十八中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．（4分）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（　　）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
2．（4分）已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
4．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
5．（4分）关于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（　　）
A．经过点（﹣1，﹣4）
B．当x＜0时，图象在第二象限
C．无论x取何值时，y随x的增大而增大
D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
6．（4分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（　　）

A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
7．（4分）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（　　）

A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
8．（4分）正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜0或x＞2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
9．（4分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2+c与y2＝（x﹣3）2+b交于点A（1，3），且抛物线y1经过原点．过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则下列结论中，正确的是（　　）

A．c＝4a B．a＝1
C．当x＝0时，y2﹣y1＝4 D．2AB＝3AC
10．（4分）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若，则＝　 　．
12．（5分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　 　米．
13．（5分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A、B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为1，则k1﹣k2＝　 　．

14．（5分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+3，当自变量x满足1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为　 　．
三、解答题（共2小题，满分16分）
15．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．
16．（8分）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为0（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，求所得抛物线的函数表达式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且，DG∥AB，求证：AD＝EB．

18．（8分）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是　 　．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图是反比例函数y＝的图象，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．

20．（10分）有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．
（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；
（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．

六、（本题满分12分）
21．（12分）“疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每份臭豆腐的售价为6元时，每天能卖出500份；当每份臭豆腐的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20份，设每份臭豆腐的售价增加x元时，一天的营业额为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）考虑到顾客可接受价格a元/份的范围是6≤a≤9，且a为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？
七、（本题满分12分）
22．（12分）家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻承温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．
（1）求R和t之间的关系式；
（2）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过4kΩ．

八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．




2019-2020学年安徽省合肥三十八中九年级（上）
期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．（4分）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（　　）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，
∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．
故选：C．
2．（4分）已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、＝，则5y＝6x，故此选项错误；
B、＝，则5x＝6y，故此选项正确；
C、＝，则5y＝6x，故此选项错误；
D、＝，则xy＝30，故此选项错误；
故选：B．
3．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），
把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．
故选：A．
4．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【解答】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．
y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．
所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），
故选：B．
5．（4分）关于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（　　）
A．经过点（﹣1，﹣4）
B．当x＜0时，图象在第二象限
C．无论x取何值时，y随x的增大而增大
D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
【解答】解：
当x＝﹣1时，y＝﹣＝4≠﹣4，故点（﹣1，﹣4）不在函数图象上，故A不正确；
在y＝﹣中，k＝﹣4＜0，
∴当x＜0时，其图象在第二象限，在每个象限内y随x的增大而增大，图象既是轴对称图形也是中心对称图形，故B正确，C、D不正确；
故选：B．
6．（4分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（　　）

A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2＝AC?AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1＝BC2，S2＝AC?AB，
∴S1＝S2．
故选：B．
7．（4分）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（　　）

A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF＝AB＝a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
∴（）2＝2，
∴＝．
故选：B．
8．（4分）正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜0或x＞2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
【解答】解：由函数的中心对称性可得点A的横坐标为2，
由图象可得，
当y1≤y2时，x＜﹣2或0＜x＜2，
故选：D．
9．（4分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2+c与y2＝（x﹣3）2+b交于点A（1，3），且抛物线y1经过原点．过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则下列结论中，正确的是（　　）

A．c＝4a B．a＝1
C．当x＝0时，y2﹣y1＝4 D．2AB＝3AC
【解答】解：∵y1＝a（x+2）2+c经过点A（1，3）与原点，
∴，
解得，
∴c＝﹣4a，故A、B选项错误；
y1＝（x+2）2﹣，
∵y2＝（x﹣3）2+b经过点A（1，3），
∴（1﹣3）2+b＝3，
解得b＝1，
∴y2＝（x﹣3）2+1，
当x＝0时，y＝（0﹣3）2+1＝5.5，
此时y2﹣y1＝5.5，故C选项错误；
∵过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，
∴令y＝3，则（x+2）2﹣＝3，
整理得，（x+2）2＝9，
解得x1＝﹣5，x2＝1，
∴AB＝1﹣（﹣5）＝6，
（x﹣3）2+1＝3，
整理得，（x﹣3）2＝4，
解得x1＝5，x2＝1，
∴AC＝5﹣1＝4，
∴2AB＝3AC，故D选项正确．
故选：D．
10．（4分）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，有AE＝BF＝CG，且正三角形ABC的边长为2，
故BE＝CF＝AG＝2﹣x；
故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．
在△AEG中，AE＝x，AG＝2﹣x．
则S△AEG＝AE×AG×sinA＝x（2﹣x）；
故y＝S△ABC﹣3S△AEG
＝﹣3×x（2﹣x）＝（3x2﹣6x+4）．
故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若，则＝　　．
【解答】解：根据题意，
设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
则＝，
故答案为：．
12．（5分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　10　米．
【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
13．（5分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A、B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为1，则k1﹣k2＝　2　．

【解答】解：设点A坐标为（a，b）
则ab＝k1
∴S△AOP＝
同理
S△BOP＝
∵S△AOB＝S△AOP﹣S△BOP＝
∴k1﹣k2＝2
故答案为：2
14．（5分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+3，当自变量x满足1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为　或6　．
【解答】解：∵y＝（x﹣h）2+3中a＝1＞0，
∴当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大；
①若1≤h≤3，
则当x＝h时，函数取得最小值2h，即3＝2h，
解得：h＝；
②若h＜1，则在1≤x≤3范围内，x＝1时，函数取得最小值2h，
即（1﹣h）2+3＝2h，
解得：h＝2＞1（舍去）；
③若h＞3，则在1≤x≤3范围内，x＝3时，函数取得最小值2h，
即（3﹣h）2+3＝2h，
解得：h＝2（舍）或h＝6，
综上，h的值为或6，
故答案为或6．
三、解答题（共2小题，满分16分）
15．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），
∴，
解得，
，
即a的值是1，b的值是﹣2．
16．（8分）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为0（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，求所得抛物线的函数表达式．
【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．
把P（2，2）代入，得2＝4a，
解得a＝．
故原抛物线解析式是：y＝x2．
设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．
把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．
解得b＝0（舍去）或b＝4．
所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且，DG∥AB，求证：AD＝EB．

【解答】证明：过D点作DH∥BC交AB于H，如图，

∵DH∥BC，
∴△AHD∽△ABC，
∴，
即，
∵DH∥BE，
∴△BEF∽△HDF，
∴，
∵，
∴，
∴AD＝EB．
18．（8分）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是　　．

【解答】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴＝；
（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ABD的周长＝+3+＝．
故答案为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图是反比例函数y＝的图象，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．

【解答】解：（1）∵在反比例函数的图象中，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1，
∴反比例函数经过坐标（﹣4，﹣1），
将坐标代入反比例函数y＝中，
得反比例函数的解析式为y＝（2分）；

（2）当M，N为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．
将y＝x代入，
解得，
即M（2，2），N（﹣2，﹣2）．
∴OM＝2．
则MN＝4．
又∵M，N为反比例函数图象上的任意两点，
由图象特点知，线段MN无最大值，即MN≥4．

20．（10分）有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．
（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；
（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．

【解答】解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2），
设二次函数的表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣2．
∵该函数图象经过点A（1，0），
∴0＝a（x﹣3）2﹣2，
解得a＝
∴二次函数解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2．
（2）如图所示：

当m＞0时，直线y＝m与G有一个交点；
当m＝0时，直线y＝m与G有两个交点；
当﹣2＜m＜0时，直线y＝m与G有三个交点；
当m＝﹣2时，直线y＝m与G有两个交点；
当m＜﹣2时，直线y＝m与G有一个交点．
六、（本题满分12分）
21．（12分）“疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每份臭豆腐的售价为6元时，每天能卖出500份；当每份臭豆腐的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20份，设每份臭豆腐的售价增加x元时，一天的营业额为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）考虑到顾客可接受价格a元/份的范围是6≤a≤9，且a为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？
【解答】解：（1）由题意得：y＝（500﹣×20）（6+x）＝（x+6）（500﹣40x）；
（2）6≤a≤9，即0≤x≤3，
y＝（x+6）（500﹣40x）＝﹣40（x+6）（x﹣12.5），
函数的对称轴为：x＝6.5，
∵﹣40＜0，函数有最大值，
当x＜6.5时，函数随x的增大而增大，而0≤x≤3，
故x＝3时，y最大，此时，y最大值为：3420，
即每份9元时，营业额最大，最大营业额是3420元．
七、（本题满分12分）
22．（12分）家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻承温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．
（1）求R和t之间的关系式；
（2）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过4kΩ．

【解答】解：（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，
∴当10≤t≤30时，设关系为R＝，
将（10，6）代入上式中得：6＝，解得k＝60．
故当10≤t≤30时，R＝；
将t＝30℃代入上式中得：R＝，R＝2．
∴温度在30℃时，电阻R＝2（kΩ）．
∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ，
∴当t≥30时，R＝2+（t﹣30）＝t﹣6；
故R和t之间的关系式为R＝；

（2）把R＝4代入R＝t﹣6，得t＝37.5，
把R＝4代入R＝，得t＝15，
所以，温度在15℃～37.5℃时，发热材料的电阻不超过4kΩ．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．

【解答】解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（0，3），
抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0，3），则a+4＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）过点M作MH⊥x轴于点H，

设点M（m，﹣m2+2m+3），
则S＝S梯形BOHM﹣S△OAB﹣S△AMH＝（﹣m2+2m+3）×m﹣[3×1+（m﹣1）（﹣m2+2m+3）]＝﹣m2+m﹣，
∵0，故S有最大值，
当m＝时，S的最大值为：；

（3）当S取得最大值时，此时，m＝，
则y＝﹣m2+2m+3＝，
故点M′的坐标为：（，）．