江西省上饶市“山江湖”协作体2019-2020学年高二上学期第一次联考试题 数学（理）（自主班）

山江湖协作体联考高二数学试卷(理科)(自主班)
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.若集合，则A∩B等于
A.(－3，3) B.(－2，2) C.[－2，2) D.[－2，3)
2.有下列函数：①；②；③；④。其中最小值为4的函数有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.互不相等的三个正数a，b，c成等差数列，x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，那么x2，b2，y2三个数
A.成等差数列不成等比数列 B.成等比数列不成等差数列
C.既成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列，又不成等比数列
4.直线xcosα ＋ysinα＋1＝0，的倾斜角是
A. α B. C. D.
5.设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线，则必有
A.a⊥b B.a∥b C.|a|＝|b| D.|a|≠|b|
6.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种
A.1080个 B.1280 C.2160个 D.4320
7.某程序框图如右图所示，若输出的S＝57，则判断框内填
A、k≥4？ B、k≥5？ C、k≥6？ D、k≥7？
8.已知a>0，x、y满足约束条件，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝
A.2 B.1 C. D.
9.在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，若向该矩形内随投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为
A. B. C. D.
10.设m，n为正实数，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0与圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0相切，则mn
A.有最小值1＋，无最大值 B.有最小值3－2，最大值3＋2
C.有最大值3＋2，无最小值 D.有最小值3＋2，无最大值
11.已知函数，若，使得成立，则实数k的取值范围是
A.(－∞，－1) B.(－1，＋∞) C.(0，＋∞) D.(3，＋∞)
12.已知函数f(x)满足f(x)＝f(x＋π)，当时，f(x)＝4sin2x；当时，，若函数g(x)＝f(x)－ax在[0，2π)上有五个零点，则a的最小值为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。
13.△ABC中，a、b是它的两边，S是△ABC的面积，若，则△ABC的形状为 。
14.设的展开式中的常数项为－16，则a 。
15.一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为 。
16..已知数列{an}，。满足条件“”的数列个数为
三.解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)已知且，求函数的最大值和最小值。
18(本小题满分12分)。在△ABC中，2cos2A＋3＝4cosA。
(1)求角A的大小； (2)求△ABC的周长L的取值范围。
19.(本小题满分12分)上饶某中学一研究性学习小组早晨在校门口询问调查同学的体重，对来校同学依次每5人抽取一人询问体重，共抽取40位同学，将他们的体重(k分成六段：[40，45)，[45，50)， [50，55)， [55，60)，[60，65)， [65，70)，统计后得到如图的频率分布直方图。
(1)此研究性学习小组在采样中，用到的是什么抽样方法？并求这40位同学体重的众数和中位数的估计值。
(2)从体重在[50，60)的同学中任意抽取3位，求体重在[50，55)，[55，60)内都有同学的概率。
20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB ＝2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点。
(1)求证：平面PAB//平面EFG；
(2)证明平面EFG⊥平面PAD，并求出D到平面EFG的距离。
21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上。
(Ⅰ)求圆C的方程；
(Ⅱ)若圆C与直线x－y＋a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值。
22(本小题满分12分)。已知数列{an}满足an＋1－2an＋2＝0，且a1＝8。
(1)证明：数列{an－2}为等比数列；
(2)设，记数列{bn}的前项和为Tn，若对任意的，m≥Tn恒成立，求m的取值范围。
高二数学（理）试卷答案及评分标准(自主班）
一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
C
A
A
B
C
D
D
B
A
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13. 等腰直角三角形. 14. -1 ； 15.； 16. 233
17.（本小题满分10分）
解：由得，即 …………………4分
. …………………8分
当，当 …………………10分
18.（本小题满分12分）
(1)因为2cos2A+3=4cosA,所以2cos2A+=2cosA,
所以4cos2A-4cosA+1=0，所以cosA＝，又因为0(2)因为所以b=
所以（sinB+sinC）.
因为B+C=,所以
又因为0（本小题满分12分）
解（1）系统抽样，57.5, 57．5； ……………………………6分
（2）
……………………12分
（本小题满分12分）
（1）分别是线段的中点，所以，又为正方形，，
所以，
又平面，所以平面.
因为分别是线段的中点，所以，
又平面，所以，平面.
所以平面平面. ………………………………5分
（2）因为，，，所以平面，
又，所以平面，所以平面平面.
取中点，连接，则，平面即为平面，
在平面内，作，垂足为，则平面，
即为到平面的距离， ………………………10分
在三角形中，为中点，.………12分
（本小题满分12分）
（Ⅰ）曲线与轴交于点，与与轴交于点
因而圆心坐标为则有.
半径为，所以圆方程是. ………6分
（Ⅱ）解法一：设点满足
解得：.
.
解得，满足，
………………………………12分
解法二：设经过直线和圆的交点的圆的方程为
，若，则以AB为直径的圆过坐标原点
设上述圆就是这样的圆，则圆过原点，所以 ①
同时，该圆的圆心在直线上，化简得 ②
由①②求得。
（本小题满分12分）
（1）证明：因为，所以
即，则
从而数列是以6为首项，2为公比的等比数列 ………………4分
（2）解：由（1）知，即
所以………6分
当为偶数时，
………………8分
当为奇数时，
………………10分
当为偶数时，是递减的，此时当时，取最大值，则；
当为奇数时，是递增的，此时，则.
综上，的取值范围是. ……………12分