13.2.6 斜边直角边 同步练习（解析版）

初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.2.6 斜边直角边
一、单选题（共3题）
1.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（??? ）
A.?∠BAC＝∠BAD???????????B.?AC＝AD或BC＝BD???????????C.?AC＝AD且BC＝BD???????????D.?以上都不正确
2.如图，BE=CF，AE⊥BC．DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需添加的一个条件是( ? ?? )。
A.?AE=DF??????????????????????????????B.?∠A=∠D??????????????????????????????C.?∠B=∠C??????????????????????????????D.?AB=DC
3.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是(? ??)21世纪教育网版权所有
A.?①②④?????????????????????????????????B.?①②③?????????????????????????????????C.?②③④?????????????????????????????????D.?①③
二、填空题（共2题）
4.如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为 ________?cm． 21cnjy.com
5.如图所示，∠C=∠D=90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是________．
三、解答题（共3题）
6.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AC＝BF，DC＝DF．求证：BE⊥AC． www.21-cn-jy.com
7.如图，已知 ， 与 交于点 ， ，求证： .
8.如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF＝BE，CE＝DF，求证：∠C＝∠D．

四、综合题（共2题）
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，过点C作CF∥BD交ED的延长线于点F。 2·1·c·n·j·y

（1）求证：△BED≌△BCD；
（2）若∠A=36°，求∠CFD的度数。
10.如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．

（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
答案解析部分
一、单选题
1. B
解：∵AB为公共边，也为 Rt△ABC和Rt△ABD的斜边， ∴ 若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要一组直角边对应相等， 即 AC＝AD或BC＝BD?； 故答案为：B. 【分析】 用“HL”证明两个直角三角形全等，需要证明斜边和一组直角边对应相等。现知斜边相等，则只需一组直角边对应相等，据此分析判断即可。【来源：21·世纪·教育·网】
2. D
解：∵ AE⊥BC．DF⊥BC ，∴∠DFC=∠AEB=90°, A、如果添加： AE=DF ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ BE=CF , ∠DFC=∠AEB=90°,AE=DF ,∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (SAS），故A不符合题意； B、如果添加： ∠A=∠D ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°, ∠A=∠D ,BE=CF , ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (AAS），故B不符合题意； C、如果添加： ∠B=∠C ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°,BE=CF , ∠B=∠C ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (ASA），故C不符合题意； D、如果添加： AB=DC ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ AB=DC ,BE=CF , ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (HL），故D符合题意. 故答案为：D。 21·世纪*教育网
【分析】根据全等三角形的判定方法： A、如果添加： AE=DF ，可以利用SAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ； B、如果添加：∠A=∠D ，可以利用AAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ； C、如果添加： ∠B=∠C ，可以利用ASA判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ； D、如果添加： AB=DC ，可以利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△DCF .www-2-1-cnjy-com
3.A
解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴EB=EF,又∵AE=AE
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A
【分析】过E作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EB=EF,然后利用HL判断出Rt△AEF≌Rt△AEB，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出AB=AF，∠AEF=∠AEB；根据中点的定义从而得出EC=EF=BE；然后利用HL判断出Rt△EFD≌Rt△ECD，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出DC=DF，∠FDE=∠CDE，然后根据线段的和差及等量代换，由AD=AF+FD=AB+DC得出AD＝AB＋CD，根据平角的定义及角的和差得出∠AED=∠AEF+∠FED=?∠BEC=90°。
二、填空题
4. 12
连接BE，
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，
∴∠A=∠BDE=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
BD=AB(已知),BE=EB(公共边)，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，
∴AE=ED，
又∵AE=12cm，
∴ED=12cm.
故填12. 【分析】根据直角三角形全等的判定定理容易证得Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，从而可以得出结论
5. AC=AD(答案不唯一)
条件是AC=AD，
∵∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，
故答案为：AC=AD． 【分析】图中的两个直角三角形中，斜边是公共边，即斜边对应相等，再加任意一条直角边对应相等即可，所以应添加条件AC=AD或者BC=BD，都可以，这是一个开放性题目，答案不唯一。
三、解答题
6. 证明：∵AD⊥BC
∴∠BDF＝∠ADC＝90°
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠FBD＝∠DAC
又∵∠BFD＝∠AFE
∴∠AEF＝∠BDF＝90°
∴BE⊥AC
【分析】 因为AD⊥BC，则∠BDF＝∠ADC＝90°，结合AC＝BF，DC＝DF，利用斜边直角边定理证得Rt△BDF≌Rt△ADC，于是根据全等三角形对应角相等，得∠FBD＝∠DAC，因为对顶角相等，则∠BFD＝∠AFE，因此∠AEF＝∠BDF＝90°，即BE⊥AC。2-1-c-n-j-y
7. 解：∵ ，
∴ 和 是直角三角形，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴
【分析】图形中隐含公共边AB=BA，因此直接利用HL可证得Rt△ACB≌Rt△BDA，再利用全等三角形的对应角相等易证∠ABC=∠BAD，然后利用等角对等边，可证得结论。21·cn·jy·com
8. 证明：∵AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AF＝BE，
∴AE＝BF，
∵CE＝DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠C＝∠D．
【分析】先根据等量加等量和相等得出 AE＝BF， 然后利用“HL”判断Rt△ACE≌Rt△BDF，由全等三角形的对应角相等可得 ∠C＝∠D．21*cnjy*com
四、综合题
9. （1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴ED=DC，在Rt△BED 与R t△BCD中， ，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）.（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，∠A=36°，∴∠ABD=∠DBC=27°，∴∠BDC=∠BDE=63°，∵CF∥BD，∴∠CFD=∠BDE=63° 【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】（1）对于两个直角三角形，根据HL定理易证；
（2）由角平分线，直角三角形以及平行线的性质可得。
10. （1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°
∴△ABF与ADCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，

∴Rt△ABF=Rt△DCE（HL），
∴AF=DE
（2）证明：∵Rt△ABF=Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥FE
∴OP平分∠EOF
【分析】（1）由BE=CF，可得到BF=CE，在Rt △ABF与Rt△ADC中，利用“HL”定理即可证得Rt△ABF=Rt△DCE，可得AF=DE； 21教育网
（2）由（1）中结论可判断∠AFB=∠DEC，△OEF是等腰三角形，根据“三线合一”即可判断OP平分∠EOF。