13.3.2 等腰三角形的判定 同步练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 13.3.2 等腰三角形的判定 同步练习（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-30 09:22:56 | ||
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文档简介
初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.3.2 等腰三角形的判定
一、单选题（共3题）
1.中， ，则 一定是（?? ）
A.?锐角三角形????????????????????B.?等腰三角形????????????????????C.?等边三角形????????????????????D.?等腰直角三角形
2.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的 距离为 【来源：21·世纪·教育·网】
A.?40海里???????????????????????????????B.?60海里???????????????????????????????C.?70海里???????????????????????????????D.?80海里
3.已知a、b、c为△ 的三边，且满足 ，则△ 是 ? ???
A.?直角三角形????????????????????????B.?等边三角形????????????????????????C.?等腰三角形????????????????????????D.?不能确定
二、填空题（共3题）
4.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是________. 21·世纪*教育网
5.等腰三角形一个角为50°，它的另外两个角分别为________?．
6.如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠a=________°。(填一个即可).
三、解答题（共1题）
7.已知：如图，在△BAC中，AB=AC,，D,E分别为AB,AC边上的点，且DE∥BC，求证: △ADE是等腰三角形. 2-1-c-n-j-y
四、综合题（共4题）
8.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段AB上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线AC段于E． 21*cnjy*com
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=________°，∠DEC=________°；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由． 21世纪教育网版权所有
9.如图，AB⊥EF，DC⊥EF，垂足分别为B、C，且AB＝CD，BE＝CF.AF、DE相交于点O，AF、DC相交于点N，DE、AB相交于点M. 2·1·c·n·j·y
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：△ABF≌△DCE.
10.在△ABC中，AC=5，BC=2，且AB长为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判定△ABC的形状．
11.如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E.
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积.
答案解析部分
一、单选题
1. B
解:根据在三角形中“等角对等边”，可知，选项B符合题意. 【分析】根据两角相等的三角形是等腰三角形判断即可.21教育网
2. D
解:依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，
∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，
∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°。∴∠M＝∠MPN＝70°。
∴NP＝NM＝80海里。
故答案为：D。 【分析】?先计算出MN的长，再根据方向角的意义平行线的性质求出∠M，∠N的度数，然后根据三角形内角和求出∠NPM的度数，可得∠M＝∠MPN，最后根据等腰三角形的判定求得NP＝NM即可得出答案
3. C
解:∵a2+bc=b2+ac ∴a2-b2+bc-ac=（a+b）（a-b）+c（a-b）=0 ∴（a-b）（a-b+c）=0 ∵a-b+c＞0，即a-b+c≠0 ∴a-b=0即a=b ∴△ABC是等腰三角形。 【分析】将a2+bc=b2+ac转化为（a-b）（a-b+c）=0，利用三角形三边关系定理，可证得a=b，即可判断得出△ABC的形状。【来源：21cnj*y.co*m】
二、填空题
4. 14
解:作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE ∵点M为AB的中点，AB=8 ∴AM=BM=4 ∴△ACM≌△CMN ∴AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN???? 同理可证：BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD ∵∠CMD=120° ∴∠AMC+∠BMD=180°-120°=60° ∴∠CMN+∠EMD=60° ∴∠NME=180°-60°-60°=60° ∴△MNE是等边三角形 ∴NE=ME=4 ∵CD≤CE+NE+DE ∴当点C、N、E、D共线时，CD的值最大 ∴CD的最大值为CE+NE+DE=2+4+8=14 【分析】 作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE，利用轴对称的性质易证AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN? ，BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD，再由∠CMD=120°，去证明∠NME=60°，就可得到△MNE是等边三角形，求出NE的长，再由CD≤CE+NE+DE，可知当点C、N、E、D共线时，CD的值最大，然后就可求出CD的最大值。【出处：21教育名师】
5. 略
解:当该角为等腰三角形的顶角时，另外两个角分别为65°，65°；当该角为等腰三角形的底角时，两外两个角的为50°，80°。 【版权所有：21教育】
【分析】根据等腰三角形的性质分别进行判断即可得到答案。
6. 130(答案不唯一)
解: 如图 △ABC是等腰三角形 当∠ABC=∠ACB时， ∵∠ABC=50° ∴∠ACB=50° ∴∠BAC=180°-50°-50°=80° ∵a∥b ∠DAB=∠ABC=50° ∵∠a=∠DAB+∠BAC=50°+80°=130°； 当∠ABC=∠BAC=50°时 ∴∠a=∠DAB+∠BAC=50°+50°=100°； 当∠BAC=∠ACB时 ∠BAC= ∴∠a=∠DAB+∠BAC=50°+65°=115°； 故答案为：130°或100°或115° 21教育名师原创作品
【分析】利用平行线的性质，可求出∠DAB的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当∠ABC=∠ACB时；当∠ABC=∠BAC=50°时；当∠BAC=∠ACB时，再由∠a=∠DAB+∠BAC，可求解。
三、解答题
7. 证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形.
【分析】根据等边对等角得出 ∠B=∠C， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠B=∠ADE，∠C=∠AED， 故 ∠ADE=∠AED， 根据等角对等边得出 AD=AE， 从而得出结论.
四、综合题
8. （1）25 ；115 （2）解： 当DC＝2时，△ABD≌△DCE， 理由如下： ∵∠C＝40°， ∴∠DEC＋∠EDC＝180°-∠C=140°， ∵∠ADE＝40°， ∴∠ADB＋∠EDC＝140°， ∴∠ADB＝∠DEC， ∵AB=AC=2 ∴AB＝DC＝2， 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS） ∴当DC＝2时，△ABD≌△DCE. （3）可以； 理由：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形， ∵当∠BDA＝110°时， ∴∠ADC＝70°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAE＝70°， ∴∠AED＝180°?70°?40°＝70° ∴△ADE的形状是等腰三角形； ∵当∠BDA的度数为80°时， ∴∠ADC＝180°-∠BDA=100°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAE＝180°-∠ADC-∠C=180°-100°-40°=40°， ∴∠DAE＝∠ADE ∴△ADE的形状是等腰三角形． 21*cnjy*com
【分析】（1）在△ABD中，利用三角形内角和定理求出∠BAD的度数；再利用平角的定义求出∠EDC的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠DEC的度数. （2）利用三角形内角和定理可证得∠DEC＋∠EDC=140°，利用平角的定义可证得∠ADB＋∠EDC＝140°，就可推出∠ADB＝∠DEC，当DC=2时，可证AB=DC，因此利用AAS可证得△ABD≌△DCE. （3）分情况讨论：当∠BDA＝110°时；当∠BDA的度数为80°时，分别利用三角形的内角和定理及等腰三角形的判断方法，可证得结论.
9. （1）解：△EOF，△AOM，△DON （2）证明：∵AB⊥EF于点B，DC⊥EF于点C， 21cnjy.com
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵CF＝BE，
∴CF+BC＝BE+BC，
即BF＝CE…
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE，
【分析】（1）首先利用SAS判断出△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应角相等可得∠A＝∠D，∠DEC＝∠AFB，所以△EOF是等腰三角形，再根据等角的余角相等可得∠A＝∠AMO，∠D＝∠DNO，从而得到△AOM与△DON也都是等腰三角形； （2）根据等式的性质，由BE＝CF，得出EC＝BF，然后利用SAS判断出△ABF≌△DCE。 ?www.21-cn-jy.com
10. （1）解：由题意得：5﹣2＜AB＜5+2，
即：3＜AB＜7，
∵AB为奇数，
∴AB=5，
∴△ABC的周长为5+5+2=12
（2）解：∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
【分析】（1）利用三角形三边关系定理求出AB的取值范围，再根据AB长为奇数，确定出AB的值，然后求出△ABC的周长。 （2）由（1）可知AB=AC，即可判定出△ABC的形状。www-2-1-cnjy-com
11. （1）解：△BDE是等腰三角形.
由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BDE是等腰三角形
（2）解：设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2 ，
解得：x=5，
所以S△BDE= DE×AB= ×5×4=10.
【分析】（1）利用折叠的性质，可知∠CBD=∠EBD，再利用矩形的性质及平行线的性质，可证得∠CBD=∠EDB，从而可推出∠EBD=∠EDB，然后利用等角对等边，可证得结论。 （2）设DE=x，用含x的代数式表示出BE，AE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到DE的长，然后利用三角形的面积公式可求解。21·cn·jy·com
一、单选题（共3题）
1.中， ，则 一定是（?? ）
A.?锐角三角形????????????????????B.?等腰三角形????????????????????C.?等边三角形????????????????????D.?等腰直角三角形
2.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的 距离为 【来源：21·世纪·教育·网】
A.?40海里???????????????????????????????B.?60海里???????????????????????????????C.?70海里???????????????????????????????D.?80海里
3.已知a、b、c为△ 的三边，且满足 ，则△ 是 ? ???
A.?直角三角形????????????????????????B.?等边三角形????????????????????????C.?等腰三角形????????????????????????D.?不能确定
二、填空题（共3题）
4.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是________. 21·世纪*教育网
5.等腰三角形一个角为50°，它的另外两个角分别为________?．
6.如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠a=________°。(填一个即可).
三、解答题（共1题）
7.已知：如图，在△BAC中，AB=AC,，D,E分别为AB,AC边上的点，且DE∥BC，求证: △ADE是等腰三角形. 2-1-c-n-j-y
四、综合题（共4题）
8.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段AB上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线AC段于E． 21*cnjy*com
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=________°，∠DEC=________°；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由． 21世纪教育网版权所有
9.如图，AB⊥EF，DC⊥EF，垂足分别为B、C，且AB＝CD，BE＝CF.AF、DE相交于点O，AF、DC相交于点N，DE、AB相交于点M. 2·1·c·n·j·y
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：△ABF≌△DCE.
10.在△ABC中，AC=5，BC=2，且AB长为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判定△ABC的形状．
11.如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E.
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积.
答案解析部分
一、单选题
1. B
解:根据在三角形中“等角对等边”，可知，选项B符合题意. 【分析】根据两角相等的三角形是等腰三角形判断即可.21教育网
2. D
解:依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，
∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，
∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°。∴∠M＝∠MPN＝70°。
∴NP＝NM＝80海里。
故答案为：D。 【分析】?先计算出MN的长，再根据方向角的意义平行线的性质求出∠M，∠N的度数，然后根据三角形内角和求出∠NPM的度数，可得∠M＝∠MPN，最后根据等腰三角形的判定求得NP＝NM即可得出答案
3. C
解:∵a2+bc=b2+ac ∴a2-b2+bc-ac=（a+b）（a-b）+c（a-b）=0 ∴（a-b）（a-b+c）=0 ∵a-b+c＞0，即a-b+c≠0 ∴a-b=0即a=b ∴△ABC是等腰三角形。 【分析】将a2+bc=b2+ac转化为（a-b）（a-b+c）=0，利用三角形三边关系定理，可证得a=b，即可判断得出△ABC的形状。【来源：21cnj*y.co*m】
二、填空题
4. 14
解:作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE ∵点M为AB的中点，AB=8 ∴AM=BM=4 ∴△ACM≌△CMN ∴AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN???? 同理可证：BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD ∵∠CMD=120° ∴∠AMC+∠BMD=180°-120°=60° ∴∠CMN+∠EMD=60° ∴∠NME=180°-60°-60°=60° ∴△MNE是等边三角形 ∴NE=ME=4 ∵CD≤CE+NE+DE ∴当点C、N、E、D共线时，CD的值最大 ∴CD的最大值为CE+NE+DE=2+4+8=14 【分析】 作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE，利用轴对称的性质易证AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN? ，BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD，再由∠CMD=120°，去证明∠NME=60°，就可得到△MNE是等边三角形，求出NE的长，再由CD≤CE+NE+DE，可知当点C、N、E、D共线时，CD的值最大，然后就可求出CD的最大值。【出处：21教育名师】
5. 略
解:当该角为等腰三角形的顶角时，另外两个角分别为65°，65°；当该角为等腰三角形的底角时，两外两个角的为50°，80°。 【版权所有：21教育】
【分析】根据等腰三角形的性质分别进行判断即可得到答案。
6. 130(答案不唯一)
解: 如图 △ABC是等腰三角形 当∠ABC=∠ACB时， ∵∠ABC=50° ∴∠ACB=50° ∴∠BAC=180°-50°-50°=80° ∵a∥b ∠DAB=∠ABC=50° ∵∠a=∠DAB+∠BAC=50°+80°=130°； 当∠ABC=∠BAC=50°时 ∴∠a=∠DAB+∠BAC=50°+50°=100°； 当∠BAC=∠ACB时 ∠BAC= ∴∠a=∠DAB+∠BAC=50°+65°=115°； 故答案为：130°或100°或115° 21教育名师原创作品
【分析】利用平行线的性质，可求出∠DAB的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当∠ABC=∠ACB时；当∠ABC=∠BAC=50°时；当∠BAC=∠ACB时，再由∠a=∠DAB+∠BAC，可求解。
三、解答题
7. 证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形.
【分析】根据等边对等角得出 ∠B=∠C， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠B=∠ADE，∠C=∠AED， 故 ∠ADE=∠AED， 根据等角对等边得出 AD=AE， 从而得出结论.
四、综合题
8. （1）25 ；115 （2）解： 当DC＝2时，△ABD≌△DCE， 理由如下： ∵∠C＝40°， ∴∠DEC＋∠EDC＝180°-∠C=140°， ∵∠ADE＝40°， ∴∠ADB＋∠EDC＝140°， ∴∠ADB＝∠DEC， ∵AB=AC=2 ∴AB＝DC＝2， 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS） ∴当DC＝2时，△ABD≌△DCE. （3）可以； 理由：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形， ∵当∠BDA＝110°时， ∴∠ADC＝70°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAE＝70°， ∴∠AED＝180°?70°?40°＝70° ∴△ADE的形状是等腰三角形； ∵当∠BDA的度数为80°时， ∴∠ADC＝180°-∠BDA=100°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAE＝180°-∠ADC-∠C=180°-100°-40°=40°， ∴∠DAE＝∠ADE ∴△ADE的形状是等腰三角形． 21*cnjy*com
【分析】（1）在△ABD中，利用三角形内角和定理求出∠BAD的度数；再利用平角的定义求出∠EDC的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠DEC的度数. （2）利用三角形内角和定理可证得∠DEC＋∠EDC=140°，利用平角的定义可证得∠ADB＋∠EDC＝140°，就可推出∠ADB＝∠DEC，当DC=2时，可证AB=DC，因此利用AAS可证得△ABD≌△DCE. （3）分情况讨论：当∠BDA＝110°时；当∠BDA的度数为80°时，分别利用三角形的内角和定理及等腰三角形的判断方法，可证得结论.
9. （1）解：△EOF，△AOM，△DON （2）证明：∵AB⊥EF于点B，DC⊥EF于点C， 21cnjy.com
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵CF＝BE，
∴CF+BC＝BE+BC，
即BF＝CE…
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE，
【分析】（1）首先利用SAS判断出△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应角相等可得∠A＝∠D，∠DEC＝∠AFB，所以△EOF是等腰三角形，再根据等角的余角相等可得∠A＝∠AMO，∠D＝∠DNO，从而得到△AOM与△DON也都是等腰三角形； （2）根据等式的性质，由BE＝CF，得出EC＝BF，然后利用SAS判断出△ABF≌△DCE。 ?www.21-cn-jy.com
10. （1）解：由题意得：5﹣2＜AB＜5+2，
即：3＜AB＜7，
∵AB为奇数，
∴AB=5，
∴△ABC的周长为5+5+2=12
（2）解：∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
【分析】（1）利用三角形三边关系定理求出AB的取值范围，再根据AB长为奇数，确定出AB的值，然后求出△ABC的周长。 （2）由（1）可知AB=AC，即可判定出△ABC的形状。www-2-1-cnjy-com
11. （1）解：△BDE是等腰三角形.
由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BDE是等腰三角形
（2）解：设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2 ，
解得：x=5，
所以S△BDE= DE×AB= ×5×4=10.
【分析】（1）利用折叠的性质，可知∠CBD=∠EBD，再利用矩形的性质及平行线的性质，可证得∠CBD=∠EDB，从而可推出∠EBD=∠EDB，然后利用等角对等边，可证得结论。 （2）设DE=x，用含x的代数式表示出BE，AE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到DE的长，然后利用三角形的面积公式可求解。21·cn·jy·com