专题训练(一)三种立体图形中的最短路径问题(附答案)

专题训练(一)　三种立体图形中的最短路径问题
　求立体图形中的最短路径问题最常见的三种类型是圆柱中的最短路径、棱柱中的最短路径和台阶中的最短路径，主要的解题思路是“化曲为平”．
?　类型一　圆柱中的最短路径
1．如图1－ZT－1，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从下底面点A爬到上底面相对的点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)约是(　　)
A．20 cm B．10 cm
C．14 cm D．无法确定
/图1－ZT－1
2．如图1－ZT－2，为了庆祝五一劳动节，学校准备在教学大厅的圆柱形柱子上贴彩带，已知柱子的底面圆周长为1 m，高为3 m．如果要求彩带从柱子底端的A处绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处(线段AB与地面垂直)，那么应购买彩带的长至少为(　　)
　　　/图1－ZT－2
A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m
3．如图1－ZT－3，有一个圆柱，底面直径AB＝ cm，高BC＝12 cm，P为BC的中点，求蚂蚁从点A爬到点P的最短路程．
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图1－ZT－3
?　类型二　棱柱中的最短路径
4．如图1－ZT－4，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的点A沿纸箱外表面爬到点B，那么它爬行的最短路线的长是(　　)
A．3 B．6 C．10 D．12
/图1－ZT－4
5．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜(如图1－ZT－5)．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8 cm，底面边长为2 cm，则这圈金属丝的长度至少为(　　)
　　　　/图1－ZT－5
A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．15 cm
6．如图1－ZT－6，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的最短路程的平方为________．
/图1－ZT－6
7．如图1－ZT－7，棱柱的底面是边长为8 cm的正方形，侧面都是长为16 cm的长方形，D是BC的中点，在棱柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的食物，需要爬行的最短路程是________．
　　　　/图1－ZT－7
?　类型三　台阶中的最短路径
8．如图1－ZT－8是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到B点的最短路程是多少？
/图1－ZT－8

教师详解详析
1．[解析] B　如图所示，可以把A和B展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是长方形，长方形的宽BC＝2π≈6 (cm)，长方形的长AC＝8 cm.在直角三角形ABC中，AC＝8 cm，BC≈6 cm，根据勾股定理得AB≈62＋82＝100，所以AB≈10 cm.故选B.
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2．[解析] D　将圆柱表面切开展开呈长方形，则螺旋线长等于四个长方形并排后的长方形的对角线长，如图．因为圆柱高3 m，底面圆周长为1 m，(1×4)2＋32＝16＋9＝25，所以彩带长至少是5 m.
故选D.
3．解：将圆柱侧面沿母线展开，如图．
因为圆柱底面直径AB＝ cm，高BC＝12 cm，P为BC的中点，
所以展开图中AB＝×π×＝8(cm)，BP＝6 cm.
在Rt△ABP中，
AP2＝AB2＋PB2＝100，
所以AP＝10 cm.
所以蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为10 cm.
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4．C
5．B
6．5a2
7．20 cm
8．解：如图是三级台阶上表面展开图，长为20 dm，宽为[(2＋3)×3]dm，
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则蚂蚁沿台阶表面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶表面爬行到B点的最短路程为x dm，
由勾股定理得x2＝202＋[(2＋3)×3]2＝252，
解得x＝25.
故蚂蚁沿着台阶表面爬到B点的最短路程是25 dm.