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26.1 反比例函数
第1节 反比例函数
认识反比例函数的概念
能根据已知条件，会求反比例函数的解析式
重难点：
1.求反比例函数的解析式
2.用反比例函数图像的规律解决实际问题
学习目标
掌握反比例函数图像的规律
京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化．
（1）平均速度v，运行时间t存在什么数量关系？
（2）这两个变量间有函数关系吗？试说明理由．
（3）你能写出v 关于t的解析式吗？
问题
一
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请直接写出解析式．
问题2 某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2的矩
形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）的
变化而变化．
问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人
均占有面积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单位：人）的变化而变化．
问题二
函数的概念是什么？
现在学过的函数有哪些，它们的表达式分别是什么？
想想
一般地，形如 （k 为常数，且 k ≠ 0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数．
（k ≠ 0）
反比例函数的概念
2. 下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？
反比例函数的判断
①当x=50时，y=_____
②当x=－100时，y=_____
20
－10
③X的值能不能取０？为什么？
④某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化。
函数关系式为：
，此时x可以取－100吗？为什么？
函数 (k≠０)中,自变量x的取值范围是不为０的一切实数。
注意：在实际问题中，自变量的取值还需考虑它的实际意义。
对于反比例函数
议一议
例题1、写出下列问题中的函数关系式，并指出各是什么函数：
⑴ 一个游泳池的容积为2000m3 ，注满游泳池所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位:m3 /h) 的变化而变化。
⑵ 某长方体的体积为1000cm3 ，长方体的高h(单位:cm)随底面积s(单位:cm2) 的变化而变化。
2000
t
v
=
1000
h
s
=
例题2、下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中有一个表示的是反比例函数,你能把它找出来吗?
(D)
(A)
(B)
(C)
x -3 -2 -1 1 2 3
y 5 4 3 1 0 -1
x -3 -2 -1 1 2 3
y -4 -3 -2 0 1 2
x -3 -2 -1 1 2 3
y -2 -3 -6 6 3 2
x -3 -2 -1 1 2 3
y -6 -4 -2 2 4 6
xy=6即y=
例题：已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6. （1）写出y与x的函数关系式； （2）求当x=4时y的值.
待定系数法求函数的解析式
1.设出含“未知系数”的函数一般式，如 y=kx ;
2.根据已知条件列出含“未知系数”的方程（组）；
3.解这个方程（组）,求出未知系数;
4.将求出的未知系数的值代入所设的一般式中.
求反比例函数的解析式
典型例题
例1 已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值
分析：因为y是x的反比例函数，所以设y=k/x，把x=2和y=6代入上式，就可以求出常数k的值
2、已知y与x2 成反比例，并且当x=3时y=4.
⑴ 写出y和x之间的函数关系式；
⑵ 求x=1时y的值。
1、当m取什么值时，函数 是x的反比例函数？
动笔做做
3、已知函数 y = y1 + y2，y1与x 成正比例，y2与x成
反比例，且当x=1时，y=4；当x=2时，y=5。
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当x=4时，y 的值。
方法：先分别设y1,y2与x的关系式，将两组值代入所设的函数关系式中，求出函数的值。
解:(1)设 ,
则
∵x=1时，y=4；x=2时，y=5，
∴y与x的函数关系式为
（2）当x=4时，
4．已知 y 与 x2 成反比例，并且当 x=3 时，y=4．
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式；
（2）当 x=1.5 时，求 y 的值；
（3）当 y=6 时，求 x 的值.
1.（3.00分）已知点P（a，b）在反比例函数 y= 的图象上，则ab= ．
2.（3分）若点（3，5）在反比例函数 y＝ （k≠0）的图象
上，则k＝ ．
中考链接
小结
（1）我们今天学习了哪些知识？
（3）如何根据已知条件确定反比例函数的解析式？
（2）我们是如何形成反比例函数概念的？
教科书习题 26.1 第 1、3题．
5．布置作业
努力成就最好的自己！
谢谢
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26.1 反比例函数
第2节 反比例函数的图像和性质
正确画出图象，通过观察、分析、归纳出反比例函数的性质。
能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题。
重难点：
正确画出图象掌握反比例函数的性质
灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题。
学习目标
一、复习回顾
1、什么是反比例函数?
一般地,形如 y = ? k/x? ( k是常数, k ≠0 )的函数叫做反比例函数.
2、反比例函数的定义中需要注意什么?
k 是非零常数、 自变量x≠0
3、正比例函数y=kx(k≠0)、一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象是什么?有哪些性质?
4.画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些?应注意什么?
5.如何画函数的图像？
6、反比例函数的图像与性质又如何呢？
这节课开始我们来一起探究吧。
思考：
（1）你还记得画函数图象的三个步骤是什么吗？
列表、描点、连线。
解：
1．列表：(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值)
x … -6 -4 -3 -2 -1 … 1 2 3 4 6
… -1 -1.5 -2 -3 -6 … 6 3 2 1.5
1
画出反比例 ：函数y= 的图象。
步骤一：列表
画出反比例函数 和 的函数图象.
x
y =
x
6
1
6
2
3
3
2
4
1.5
5
1.2
6
1
-1
-6
-2
-3
-3
-1.5
-2
-4
-5
-1.2
-6
-1
…
…
…
…
二、探究新知
x
y =
6
步骤二：描点
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
…
y
二、探究新知
步骤三：连线
按自变量从小到大的顺序，用两条光滑的曲线连接起来.
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y =
x
6
有两条曲线共同组
成一个反比例函数
的图象，叫双曲线,
且图象关于原点成
中心对称。
y
在图象旁边写上函数解析式
二、探究新知
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
y
x
x
y =
x
6
y =
x
6
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y
1
6
2
3
3
2
4
1.5
5
1.2
6
1
6
-1
-6
-2
-3
-3
-1.5
-2
-4
-5
-1.2
-6
-1
…
…
…
…
-6
6
3
-3
2
-2
1.5
-1.5
1.2
-1.2
1
-1
…
…
y =
x
6
y =
x
6
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
列表时,自变量的值可以选取一些互为相反数的值,这样既可简化计算,又便于对称性描点;
列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;
连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；
……
做一做
观察反比例函数y= 和y= 的图像,可以看出：
形状:
图像都是由两条曲线组成，因此称反比例函数的图象为双曲线。两个分支都无限趋近坐标轴，但不与坐标轴相交。
位置:
函数 y= 的两条曲线分别位于第一、三象限内.函数 y= 的 两条曲线分别位于第二、四象限内.
再画反比例函数y= 的图像。
增减性:在第一、三象限内y值随x值得增大而减小； 在第二、四象限内y值随x值得增大而增大。
反比例函数 的图象在哪两个象限,由什么确定？
答：由k决定。
想一想
归纳：
（1）反比例函数 的图像是双曲线；
（2）当k﹥0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值得增大而减小；
（3）当k﹤0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值得增大而增大。
K>0
K<0
当k＞0时，函数图象
的两个分支分别在第
一、三象限，在每个
象限内，y随x的增大
而减小.
当k＜0时，函数图象
的两个分支分别在第
二、四象限，在每个
象限内，y随x的增大
而增大.
1.反比例函数的图象是双曲线;
2.图象性质见下表：
图
象
性质
y=
反比例函数的图象和性质：
y
x
o
x
y
o
1、下面给出了反比例函数 和
的图象，你能知道哪一个是 图象吗？为什么？
y=
-2
x
y=
2
x
y=
-2
x
练习
2、请指出下面的图象
中哪一个是反比例函
数的图象（ ）
D
3、如果点(1，－2)在某双曲线上，那么该双
曲线的解析式为 ．
4、下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是( )．
(A) y＝x (B)
(C) (D) y＝2x
B
5.函数y=kx-k 与 在同一条直角坐标系中的 图象可能是 :
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
(A) (B) (C) (D)
D
若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在反比例函数 的图象上，则（ ）
A、y1>y2>y3 B、y2>y1>y3
C、y3>y1>y2 D、y3>y2>y1
B
已知反比例函数
若A(7,y1),B(5,y2)在函数图象上，
则y1与y2的大小关系是_____________;
(2)若A(-7,y1),B(-5,y2)在函数图象上，
则y1与y2的大小关系是_____________;
(3)若A(7,y1),B(-5,y2)在函数图象上，
则y1与y2的大小关系是_____________;
(4)若A(-7,y1),B(5,y2)在函数图象上，
则y1与y2的大小关系是_____________;
反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，它具有以下性质：
课堂小结
回顾本节课的学习历程，你有哪些收获？
（1）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
（2）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
努力成就最好的自己！
谢谢
