14.2.2 完全平方公式学案(要点讲解+当堂检测+答案)
文档属性
| 名称 | 14.2.2 完全平方公式学案(要点讲解+当堂检测+答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-30 09:55:53 | ||
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文档简介
人教版数学八年级上册同步学案
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
要 点 讲 解
要点一 完全平方公式
1. 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，即(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
2. 公式的变形：
(1)改变符号运用公式计算，如：①(－a－b)2＝[－(a＋b)]2＝(a＋b)2；②(－a＋b)2＝[－(a－b)]2＝(a－b)2.
(2)根据加法的运算律变形运用公式，如：①(－a＋b)2＝(b－a)2；②(a－b－c)2＝[a－(b＋c)]2.(3)利用完全平方公式变形代数式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab.
3. 完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同.
经典例题1 先化简，再求值：(a＋2b)2＋(b＋a)(b－a)，其中a＝－1，b＝2.
解析：先利用完全平方公式与平方差公式运算，再去括号、合并同类项进行化简，最后代数求值.
解：原式＝a2＋4ab＋4b2＋b2－a2＝4ab＋5b2.
当a＝－1，b＝2时，原式＝4×(－1)×2＋5×22＝－8＋20＝12.
要点二 添括号法则
1. 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.例如：a＋b＋c＝a＋(b＋c)，a－b－c＝a－(b＋c).
2. 添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，在掌握此法则时，可与去括号法则相比较，都是括号前面为正号，各项都不变符号；括号前面为负号，各项都变符号，不可只改变部分项的符号.
经典例题2 在括号内填上适当的项.
(1)a－2b＋c＋d＝a－( )；
(2)－a－3b＋c＝－( )；
(3)x2－2y2＋2x－3y＝( )＋2x－3y；
(4)x2－y2－x－y＝x2－x－( ).
解析：所添括号前面是“＋”，括到括号里的各项都不改变符号，所添括号前面是“－”，括到括号里的各项都改变符号.
解析：(1)2b－c－d (2)a＋3b－c (3)x2－2y2 (4)y2＋y
易错易混警示 错误运用完全平方公式
由于对完全平方公式的结构特点掌握不熟练，容易出现以下错误：(1)漏掉“2倍之积项”；(2)漏掉乘积中的因数“2”；(3)弄错“2倍之积项”的符号，尤其当两数都是负数时易出现符号错误；(4)与平方差公式相混淆.正确理解完全平方公式，熟练掌握其结构特点是避免错误的有效手段，另外做题时还必须认真、细心.
经典例题3 计算：(1)(－2x－3y)2；(2)(2a＋b)2；(3)(a－b)(a＋b)(a2－b2).
解：(1)原式＝(－2x)2＋2(－2x)(－3y)＋(－3y)2＝4x2＋12xy＋9y2.
(2)原式＝4a2＋4ab＋b2.
(3)原式＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4.
点拨：(1)题易出现不能正确套用公式，把“2倍之积项”的符号弄错的错误；(2)题易漏掉“2倍之积项”；(3)题易在计算两数差的完全平方时，错用平方差公式.
当 堂 检 测
1. 下列计算正确的是( )
A. (x＋y)2＝x2＋y2 B. (x－y)2＝x2－2xy－y2
C. (x＋1)(x－1)＝x2－1 D. (x－1)2＝x2－1
2. 计算(2x－1)(1－2x)结果正确的是( )
A. 4x2－1 B. 1－4x2
C. －4x2＋4x－1 D. 4x2－4x＋1
3. 下列添括号正确的是( )
A. a－b＋c＝a－(b＋c) B. a－b＋c＝a－(－b－c)
C. a－b＋c＝a－(b－c) D. a－b＋c＝a＋(b－c)
4. 已知a2＋b2＝7，ab＝1，则(a＋b)2＝ .
5. 在等号右边的横线上填上适当的项.
(1)a－b＋c－d＝a－( )；
(2)x＋2y－2＝－( )；
(3)a2－b2＋a－b＝(a2－b2)＋( )；
(4)a2－b2－a－b＝a2－a－( ).
6. 利用完全平方公式计算：
(1)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋4(x－y)2；
(2)(60)2；
(3)20782－4156×2077＋20772.
7. 若4x2＋mx＋是可以写成完全平方式的多项式，则m的值为多少？
8. 已知(a＋b)2＝5，(a－b)2＝2，求下列各式的值：
(1)ab； (2)a2＋b2.
9. 若x＋y＝3，且(x＋2)(y＋2)＝12.
(1)求xy的值；
(2)求x2＋3xy＋y2的值.
当堂检测参考答案
1. C 2. C 3. C
4. 9
5. (1)b－c＋d (2)－x－2y＋2 (3)a－b (4)b2＋b
6. 解：(1)原式＝x2＋2xy＋y2－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2)＝x2－6xy＋9y2.
(2)原式＝(60＋)2＝602＋2×60×＋()2＝3600＋2＋＝3602.
(3)原式＝20782－2×2078×2077＋20772＝(2078－2077)2＝1.
7. 解：m＝±2
8. 解：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝5①，(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2②.
(1)①－②得4ab＝3，∴ab＝.
(2)①＋②得2a2＋2b2＝7，∴a2＋b2＝3.5.
9. 解：(1)(x＋2)(y＋2)＝xy＋2(x＋y)＋4＝12.∵x＋y＝3.∴xy＋2×3＋4＝12.∴xy＝2.
(2)∵x＋y＝3，xy＝2.∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝9－4＝5.∴x2＋3xy＋y2＝5＋3×2＝11.
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
要 点 讲 解
要点一 完全平方公式
1. 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，即(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
2. 公式的变形：
(1)改变符号运用公式计算，如：①(－a－b)2＝[－(a＋b)]2＝(a＋b)2；②(－a＋b)2＝[－(a－b)]2＝(a－b)2.
(2)根据加法的运算律变形运用公式，如：①(－a＋b)2＝(b－a)2；②(a－b－c)2＝[a－(b＋c)]2.(3)利用完全平方公式变形代数式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab.
3. 完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同.
经典例题1 先化简，再求值：(a＋2b)2＋(b＋a)(b－a)，其中a＝－1，b＝2.
解析：先利用完全平方公式与平方差公式运算，再去括号、合并同类项进行化简，最后代数求值.
解：原式＝a2＋4ab＋4b2＋b2－a2＝4ab＋5b2.
当a＝－1，b＝2时，原式＝4×(－1)×2＋5×22＝－8＋20＝12.
要点二 添括号法则
1. 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.例如：a＋b＋c＝a＋(b＋c)，a－b－c＝a－(b＋c).
2. 添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，在掌握此法则时，可与去括号法则相比较，都是括号前面为正号，各项都不变符号；括号前面为负号，各项都变符号，不可只改变部分项的符号.
经典例题2 在括号内填上适当的项.
(1)a－2b＋c＋d＝a－( )；
(2)－a－3b＋c＝－( )；
(3)x2－2y2＋2x－3y＝( )＋2x－3y；
(4)x2－y2－x－y＝x2－x－( ).
解析：所添括号前面是“＋”，括到括号里的各项都不改变符号，所添括号前面是“－”，括到括号里的各项都改变符号.
解析：(1)2b－c－d (2)a＋3b－c (3)x2－2y2 (4)y2＋y
易错易混警示 错误运用完全平方公式
由于对完全平方公式的结构特点掌握不熟练，容易出现以下错误：(1)漏掉“2倍之积项”；(2)漏掉乘积中的因数“2”；(3)弄错“2倍之积项”的符号，尤其当两数都是负数时易出现符号错误；(4)与平方差公式相混淆.正确理解完全平方公式，熟练掌握其结构特点是避免错误的有效手段，另外做题时还必须认真、细心.
经典例题3 计算：(1)(－2x－3y)2；(2)(2a＋b)2；(3)(a－b)(a＋b)(a2－b2).
解：(1)原式＝(－2x)2＋2(－2x)(－3y)＋(－3y)2＝4x2＋12xy＋9y2.
(2)原式＝4a2＋4ab＋b2.
(3)原式＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4.
点拨：(1)题易出现不能正确套用公式，把“2倍之积项”的符号弄错的错误；(2)题易漏掉“2倍之积项”；(3)题易在计算两数差的完全平方时，错用平方差公式.
当 堂 检 测
1. 下列计算正确的是( )
A. (x＋y)2＝x2＋y2 B. (x－y)2＝x2－2xy－y2
C. (x＋1)(x－1)＝x2－1 D. (x－1)2＝x2－1
2. 计算(2x－1)(1－2x)结果正确的是( )
A. 4x2－1 B. 1－4x2
C. －4x2＋4x－1 D. 4x2－4x＋1
3. 下列添括号正确的是( )
A. a－b＋c＝a－(b＋c) B. a－b＋c＝a－(－b－c)
C. a－b＋c＝a－(b－c) D. a－b＋c＝a＋(b－c)
4. 已知a2＋b2＝7，ab＝1，则(a＋b)2＝ .
5. 在等号右边的横线上填上适当的项.
(1)a－b＋c－d＝a－( )；
(2)x＋2y－2＝－( )；
(3)a2－b2＋a－b＝(a2－b2)＋( )；
(4)a2－b2－a－b＝a2－a－( ).
6. 利用完全平方公式计算：
(1)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋4(x－y)2；
(2)(60)2；
(3)20782－4156×2077＋20772.
7. 若4x2＋mx＋是可以写成完全平方式的多项式，则m的值为多少？
8. 已知(a＋b)2＝5，(a－b)2＝2，求下列各式的值：
(1)ab； (2)a2＋b2.
9. 若x＋y＝3，且(x＋2)(y＋2)＝12.
(1)求xy的值；
(2)求x2＋3xy＋y2的值.
当堂检测参考答案
1. C 2. C 3. C
4. 9
5. (1)b－c＋d (2)－x－2y＋2 (3)a－b (4)b2＋b
6. 解：(1)原式＝x2＋2xy＋y2－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2)＝x2－6xy＋9y2.
(2)原式＝(60＋)2＝602＋2×60×＋()2＝3600＋2＋＝3602.
(3)原式＝20782－2×2078×2077＋20772＝(2078－2077)2＝1.
7. 解：m＝±2
8. 解：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝5①，(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2②.
(1)①－②得4ab＝3，∴ab＝.
(2)①＋②得2a2＋2b2＝7，∴a2＋b2＝3.5.
9. 解：(1)(x＋2)(y＋2)＝xy＋2(x＋y)＋4＝12.∵x＋y＝3.∴xy＋2×3＋4＝12.∴xy＝2.
(2)∵x＋y＝3，xy＝2.∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝9－4＝5.∴x2＋3xy＋y2＝5＋3×2＝11.