2018~2019学年上海市黄浦区九年级上册期中考试数学试卷（PDF版含答案）

E
A
B C
D
(第 6 题)
黄浦区部分学校 2018 学年第一学期期中考试试卷
九年级 数学学科
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共 25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或
计算的主要步骤.
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填在答题纸的相应位置上.】
1、将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有 被放大的是（▲）
（A）边的长度 （B）图形的周长 （C）图形的面积 （D）角的度数
2、已知
d
c
b
a
? ，则下列等式中成立的是 （▲）
（A）
c
d
b
a
? （B）
b
c
d
a
? （C）
a
c
b
d
? （D）
a
c
d
b
?
3、小明有一张上海市地图，地图的比例尺是 1∶20000，如果 A、B 两地在地图上的距离是 4 厘米，那么 A、B 两地
的实际距离是 （▲）
（A）8 千米 （B）0.8 千米 （C）0.08 千米 （D）0.008 千米
4. 已知a


是非零向量，与a


同方向的单位向量记作e


，则下列式子中，正确的是（▲）
（A） a e a? ?




（B）
1
1a
a
?




（C） e a a? ?




（D）
a
a
e
?







5、在 ABCRt? 中, 90??C °，a 、b 、c分别表示 A? 、 B? 、 C? 的对边，则下列结论中错误的是 （▲）
（A） Aba cot? （B） Aca sin? （C）
A
b
c
cos
? （D） Bab tan?
6. 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB 、AC 上的点，下列比例式中不能 判定 DE//BC 的是 （▲）
（A）
AD AE
AB AC
? （B）
AD AB
AE AC
?
（C）
AD DE
AB BC
? （D）
AD AE
DB EC
?


二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4分，满分 48 分）
19. 若 0
532
???
zyx
，那么
yx
zyx
2
2
?
??
= ▲ ．
20. 已知 b 是 a、c 的比例中项，a=4cm，b=6cm，那么 c= ▲ cm．
21. 如图，点 D 是△ABC 的 AB 边的黄金分割点，AD>BD，作 DE∥BC 交 AC 边于点 E．那么
BC
DE
= ▲ ．








（第9题）
A
B C
D E
（第10题）
F
A
B
C E
D
l 3
l 2l 1
D CB
A
（第14题）

22. 如图，
1
l ∥
2
l ∥
3
l ，AD=4，DF=3，BE=10．那么 BC= ▲ ．
23. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=
7
5
，若 AB=14，那么 BC= ▲ ．
24. 化简： ? ?12 3 2
2
a b a b
? ?? ? ?? ?
? ?





= ▲ ．
25. 已知锐角 α 满足 03sin2 ??? ，那么∠α= ▲ °．
26. 如图，AD 经过△ABC 的重心，设 AB a?



， AC b?



，那么DA


可以用向量a


、b


表示为 ▲ ．
27. 如图，点 D、E 分别在△ABC 的 AB、AC 边上，且 DE∥BC，CD 与 BE 相交于点 F.若
2
3
AD
BD
? ，那么
DF
DC
的
值是 ▲ ．







28. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线相交于点 O，过点 O 作 AD 的平行线，分别交两腰于点 E、F．若
AD=3，BC=9．那么 EF= ▲ ．
29. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，四边形 CDEF、FGHM、GNPQ 均为正方形，且 F、G、N 在 BC 边上，点 E、
H、P 在 AB 边上．若 DE=6，GF=4，那么正方形 GNPQ 的面积为 ▲ ．
30. 如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，tanB=
3
1
，AB=6．将△ABC 折叠，使点 B 与点 C 重合，折痕为 DE，联结
AD、CE，相交于点 F，那么
AF
DF
的值是 ▲ ．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78分）
31. （本题满分 10 分）
计算： ????
???
???
6060
4545
452604 2 cottan
tansin
coscos
．




20．（本题满分 10 分）
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，
对角线 BD⊥CD，AD=4，BC=9．
（1） 求证：△ABD∽△DCB；
（2） 求 CD 的长．



F
E
D CB
A
（第18题）
(第20题）
D
CB
A
F
（第15题）
E
D
CB
A
（第16题）
FE
O
D
CB
A
（第17题）
P
N
H
M
GF
ED
BC
A
Q



21．（本题满分 10 分）
如图，点 E 是□ABCD 的 BA 边延长线上的一点，联结 CE，分别交 AD 于点 F．已知
1
3
AE
AB
? ，BC=5．
（1） 求 DF 的长．
（2） 设 AB a?



，BC b?



，请用向量a


、b


表示向量 FC


．









22．（本题满分 10 分）
如图，在 ABC△ 中， 45CAB? ? °，AD⊥BC 于点 D．已知 AD=6，tanC=3．
（1）求线段 AC 的长； （2）求sin ABC? 的值．







23．（本题满分 12 分）
已知：如图，在△ABC 中，AB=9，BC=12．点 D 是 BC 的中点，联结 AD，AD=9，点 E 在 AD 边上，且
AE
DE
=
4
5
，
联结 BE．
（1）求证：△BED∽△ABD；
（2）联结 CE，求∠CED 的正切值．










24．（本题满分 12 分）
(第21题）
F
E
D
CB
A
(第22题）
D CB
A
(第23题）
E
D CB
A

如图，直线 l：y=x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 C 在 x 轴正半轴上，且 OC=2．点 D 在线段 AC 上，且
∠CDB= ∠ABC，过点 C 作 BC 的垂线，交 BD 的延长线于点 E，联结 AE．
（1） 求点 D 的坐标；
（2） 求证：AE⊥AB；
（3） 若点 P 是直线 CE 上的动点，联结 DP，
当△DEP∽△ABC 时，求点 P 坐标．









25．（本题满分 14 分）
在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8．点 P 是射线 BC 上的动点．
（1） 如图①，当 BP=3 时，联结 PD 交 AC 于点 E，求 DE 的长；
（2） 将△ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 落在点 Q 处，直线 PQ 交边 AD 于点 M，当
1
7
MD
MA
? 时，求 BP 的长．
（3） 如图②，当点 P 在 BC 边上时（与端点 B、C 不重合），过点 P 作 AP 的垂线，交 CD 于点 F，交 AC
于点 G．设 BP=x，
FG
y
AP
? ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；















（第24题）
y
x
O
E
D
C
B
A
（图① ）
E
P
D
CB
A
G
（图② ）
A
B C
D
P
F
A
B C
D
备备图

黄浦区部分学校 2018 学年第一学期期中考试参考答案
九年级 数学学科
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24分）
D C B A A C
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4分，满分 48 分）
7、
5
8
? 8、9 9、
5 1
2
?
10、
40
7
11、10 12、8 2a b?




13、60 14、
1 1
2 2
a b? ?



15、
2
7
16、
9
2
17、
64
9
18、
8
5

三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78分）
32. （本题满分 10 分）
计算：
24cos60 2cos 45
tan 60 cot 60
sin 45 tan 45
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
．
解：原式=
2
1 2
4 2
32 2 3
32
1
2
( )
? ? ?
? ?
?
……………………………………6 分
=
3
2 3
3
? ? ? …………………………………………………………2+1 分
=
3
1
3
? ………………………………………………………………1 分
20．（本题满分 10 分）
（1）证明：∵AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC …………1 分
又∠A=90°，BD⊥DC，∴∠A=∠BDC=90°……1 分
∴△ABD∽△DCB……………………………………2 分
（2）∵△ABD∽△DCB ∴
AD BD
BD BC
? …………………………2 分
∵AD=4, BC=9 ∴BD=6 ……………………………………2 分
∵∠BDC=90°∴DC=
2 2
3 5BC BD? ? ………………2 分
21．（本题满分 10 分）
解：（1）∵□ABCD ∴AD∥BC，AD=BC=5
∴
AF AE
BC BE
? …………………………2 分
又
1
3
AE
AB
? ，∴
1
4
AE
EB
? ………………1 分
∴AF=
5
4
………………………………2 分
（2）∵□ABCD ∴DC AB a? ?




……………………1 分
又 DF=AD-AF=
15
4
，∴
3
4
DF
BC
? ………………1 分
∵DF∥BC，BC b?



，∴
3
4
FD b?



………………1 分
(第20题）
D
CB
A
(第21题）
F
E
D
CB
A

∴
3
4
FC FD DC a b? ? ? ?






……………………2 分
22．（本题满分 10 分）
解：（1）∵AD⊥BC ∴∠ADC=90°，∴tanC=
AD
DC
=3 …………2 分
又 AD=6，∴DC=2 …………………………………………1 分
在 Rt△ADC 中，AC=
2 2
2 10AD DC? ? ………………2 分
（2）作 BH⊥AC 于点 H. …………………………………………1 分
在 Rt△BHC 中，tanC= 3
BH
HC
? …………………………1 分
设 HC=a，则 BH=3a
在 Rt△ABH 中，∠AHB=90°， 45CAB? ? °
∴AH=BH=3a，AB=3 2a ……………………………………1 分
∴3a+a= 2 10 ，∴
10
2
a ? AB=3 5 ………………1 分
在 Rt △ ABD 中 ， ∠ ADB=90 ° ， ∴
2 5
5
AD
sin ABC
AC
? ? ?
………………1 分
23．（本题满分 12 分）
（1）证明：求出
2
3
DE
BD
? ,
2
3
BD
AD
? ,…………………………每个 2 分
∴
DE BD
BD AD
?
又∠BDE=∠BDA ………………………………………………1 分
∴△BED∽△ABD ……………………………………1 分
（2）作 AH⊥BC 于点 H ……………………………………………………1 分
∵
DE BD
BD AD
? ，点 D 是 BC 的中点 ∴
DE CD
CD AD
? ，
又∠EDC=∠CDA，∴△CED∽△ACD ……………………………1 分
∴∠DEC=∠DCA ………………………………………………1 分
∵AB=AD=9，∴BH=DH=3
在 Rt△ABH 中，AH=
2 2
6 2AB BH? ? ……………………1分
在 Rt△AHC 中，∠AHC=90°，
2 2
3
AH
tan ACH
HC
? ? ? ……1分
∴∠CED 的正切值为
2 2
3
…………………………………………1 分
24．（本题满分 12 分）
解：（1）由题意得得 A（－4,0），B（0，4） ，C（0，2）…………………………1 分
H
(第22题）
D CB
A
H
(第23题）
E
D CB
A

∵∠ACB=∠BCD，∠CDA= ∠ABC
∴△ACB∽△BCD
CD BC
CB AC
? ………………………1 分
又 AC=6，BC= 2 5 ∴CD=
10
3
……………………1 分
∴OD=
4
3
，点 D 坐标是（－
4
3
，0）……………………1 分
（2）
方法一
∵△ACB∽△BCD，∠BAC=45°，∴∠CBD=45°
∵CE⊥BC，∴∠CEB=∠CBD=45°，CE=BC………………1 分
作 EH⊥AC 于点 H. 可证△HCE≌△OBC……………………1 分
∴HC=OB=4，HE=OC=2，点 E（－2，－2）………………1 分
所以可证
2 2 2AE AB BE? ? ，∴∠EAB=90°，即 AE⊥AB.……1 分
方法二
∵△ACB∽△BCD，∠BAC=45°，∴∠CBD=45°
∵CE⊥BC，∴∠CEB=∠CBD=45°=∠BAC………………1 分
又∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC……………………1 分
得
AD BD
DE CD
? ，即
AD DE
BD CD
? ，又∠ADE=∠BDC，∴△ADE∽△BDC……………………1 分
∴∠EAD=∠CBD=45°，∴∠EAB=90°，即 AE⊥AB.……1 分
（3）∵∠CED=∠CAB=45°，△DEP∽△ABC，∴点 P 只能在射线 EC 上.
①当
EP AB
ED AC
? 时，可得
8 5
9
EP ? …………………………1 分
∴点
1
P （－
2
9
，－
10
9
）……………………………………1 分
②当
EP AC
ED AB
? 时，可得 5EP ? …………………………1 分
∴点
2
P （0，－1）……………………………………1 分
综上：点 P 坐标是（－
2
9
，－
10
9
）或（0，－1）

25．（本题满分 14 分）
解：（1）∵矩形 ABCD，∴AD=BC=8，AD∥BC，∠PCD=90°………1 分
在 Rt△PCD 中，PC=8-3=5，∴PD= 61 ……………………1 分
由 AD∥BC 得
8
5
DE AD
PE PC
? ? ………………1 分
∴DE=
8 8 61
13 13
PD ? …………………………1 分
H
（第24题）
y
x
O
E
D
C
B
A
P
y
x
O
E
D
C
B
A
（图① ）
E
P
D
CB
A

（2）
1
7
MD
MA
? ，AD=BC=8，∴AM=PM=7，MD=1……………1 分
共有两种情况
①当点 M 在 PQ 延长线上时，如图，作 MN⊥BC 于点 N.
∴MN=6，BN=AM=7，可得 PN=
2 2
13PM MN? ?
∴BP= 7 13? ………………………………………………2 分

②当 M 在 PQ 边上时，如图，作 MN⊥BC 于点 N.
∴MN=6，BN=AM=7，可得 PN=
2 2
13PM MN? ?
∴BP= 7 13? ………………………………………………2 分
综上：BP 的长为7 13?

（3）
方法一
作 GH⊥FC 于点 H.
△ABP∽PCF，得∠PFC=∠APB，
CF PC
BP AB
?
∴
2
8
6
x x
CF
?
? ………………………………1 分
又可证：△GFH∽APB，得
FG FH GH
AP BP AB
? ? ……1 分
设 CH=3a，则 GH=4a，∴
4
6
FH a
x
? ，
2
3
ax
FH ? ，
又 FH＋CH=FC，∴
2
2 8
3
3 6
ax x x
a
?
? ? ，得
2
8
4 18
x x
a
x
?
?
?
………………1 分
∴ y =
2
8
6 27
FG FH x x
AP BP x
?
? ?
?
（0 < x < 8）（1 分+1 分）
方法二
作 GH⊥BC 于点 H.
△ABP∽PCF，得∠PFC=∠APB，
CF PC
BP AB
?
∴
2
8
6
x x
CF
?
? ………………………………1 分
∴
8
6
FP FC x
AP BP
?
? ?
H
G
A
B C
D
P
F
H
G
A
B C
D
P
F
N
A
B C
D
P
Q
M
N
A
B C
D
P
Q
M

设 GH=3a，则 CH=4a，PH=8-x-4a，
由△ABP∽△PHG 得：
GH PH
BP AB
? ，即
3 8 4
6
a x a
x
? ?
? ，∴
2
8
4 18
x x
a
x
?
?
?
……1 分
由△ABP∽△PHG 得：
3 24 3
4 18
PG GH a x
AP BP x x
?
? ? ?
?
，………………1 分
∴
PF PG
y
AP AP
? ? =
2
8
6 18
x x
x
?
?
（0 < x < 8）（1 分+1 分）