2018~2019学年上海市普陀区九年级上册期中考试数学试卷（PDF版含答案）

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普陀区 2018 学年第一学期九年级数学期中测试试卷
（考试时间：100 分钟，满分：150 分） 2018、11
一．选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的
相应位置上】
1. 已知线段 a、b 满足
5
2
a
b
? ，那么下列等式中，正确的是……………………………（ ▲ ）
（A） 7??ba ； （B） 5 2a b? ； （C） 5 5
2 2
a
b
?
?
?
； （D）
5
2
a b
b
?
? .
2. 如图 1，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，联结 DE，如果 : =2:3AD BD ，那
么下列条件中能判断 DE∥BC 的是………………………………………………（ ▲ ）
（A）
3
2
AE
EC
? ； （B）
3
5
CE
AC
? ； （C）
2
5
DE
BC
? ； （D）
5
3
AB
BD
? .
3. 在平面直角坐标系中，将抛物线 22y x? ? 平移后发现新抛物线的最高点坐标为（1,2），
那么新抛物线的表达式为…………………………………………………………（ ▲ ）
（A） 22( 1) 2y x? ? ? ? ； （B） 22( 1) 2y x? ? ? ? ；
（C） 22( 1) 2y x? ? ? ? ； （D） 22( 1) 2y x? ? ? ? ．
4. 如图 2，二次函数 cbxaxy ??? 2 （ 0a ? ）的图像与 x 轴交于（-1,0）、（3,0）两点.
那么下列关于此抛物线的说法：①抛物线的对称轴是直线 1x ? ；② 0a ? ；③ 0b ? ；
④ 0c ? 中，正确的个数有…………………………………………………………（ ▲ ）
（A）1 个； （B）2 个； （C）3 个； （D）4 个．
5. 已知 a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是…………………………………（ ▲ ）
（A） ( )a a b b? ? ? ； （B） 0 0a ? ；
（C）如果
1
2
a b? ，那么 a ∥b ； （D）如果 2a b? ，那么 2a b? 或 2a b? ? ．
6. 如图 3，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，∠ACD=∠B，那么下列
判断中，不正确的是…………………………………………………………………（ ▲ ）
（A）△ADE∽△ABC； （B）△CDE∽△BCD；
（C）△ADE∽△ACD； （D）△ADE∽△DBC.







O
y
图 2
x 3 -1
ED
A
B C
图 3
ED
A
B C
图 1
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二．填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7. 如果线段 m 是线段 a、b、c 的第四比例项，已知 4a ? ， 5b ? ， 8c ? ，那么线段 m 的长
等于 ▲ .
8. 已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP > BP，如果 2 5 2AP ? ? ，那么 AB= ▲ .
9. 如果向量 a 与单位向量 e 的方向相反，且 | | 4 | |a e? ，那么 a = ▲ .（用 e 表示）
10. 已知点 A（3,n）在二次函数 2 2 3y x x? ? ? 的图像上，那么 n 的值为 ▲ .
11. 如果二次函数 ? ?22 4 3y x m x? ? ? ? ? 图像的对称轴是 y 轴，那么 m = ▲ .
12. 沿着 x 轴正方向看，抛物线 22y x bx c? ? ? 在对称轴左侧部分是 ▲ 的.（填“上
升”或“下降”）
13. 如图 4，AC、BD 相交于点 O，分别联结 AB、DC，如果∠A=∠D，OA=2，OB=5，
OD=
6
5
，那么 OC= ▲ .
14. 如图 5，△ABC 的中线 AD、BE 相交于点 G，过点 G 作 GH∥AC 交 BC 于点 H，
如果 GH＝2，那么 AC = ▲ .





15. 如图 6，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC 与 BD 相交于点 O，
已知 Δ
Δ
1
4
AOD
COB
S
S
? ，那么 Δ
Δ
AOD
AOB
S
S
= ▲ .
16. 如图 7，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 的反向延长线上，
DE∥BC，
1
2
AD
AB
? ，设 AB a? ， AC b? ，那么向量 DE 用向量
a 、 b 表示为 ▲ .
17. 如果抛物线 L：
2
y ax bx c? ? ? （其中 a、b、c 是常数，且 0?a ）与直线 l 都经过 y
轴上的同一点，且抛物线的顶点 P 在直线 l 上，那么称该直线 l 是抛物线 L 的“梦想直
线”．如果直线 l： 1y nx? ? （n 是常数）是抛物线 L： 2 2y x x m? ? ? （m 是常数）
的“梦想直线”，那么 m n? 的值是 ▲ .
18. 如图 8，在△ABC 中，AB=6，BC=4，AC=3，
将△ABC 绕点 A 旋转得到△AEF，点 E、F
分别是点 B、C 旋转后得到的点，如果 AF∥BC，
直线 AE 交 BC 的延长线于点 D，那么 DE 的长
为 ▲ .
H
G
E
D
A
B C
图 5
E
A
B C
D
图 7
D
O
A
C
B 图 4
O
D
B C
A
图 6
A
CB 图 8
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三．解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19.（本题满分 10 分）
已知二次函数 2y ax bx c? ? ? （ 0?a ）图像经过点 A（-3，0）、点 B（0，-3）和
点 C（2，5），求该二次函数的解析式，并指出图像的对称轴和顶点坐标．


20.（本题满分 10 分）
如图 9，已知两个不平行的向量 a 、b ，先化简，再求作： 5 2
3
4 1
2
3
a b a b? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量）






21.（本题第（1）小题 3 分，第（2）小题 7 分，满分 10 分）
如图 10，在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 2y ax bx c? ? ? （ 0?a ）向右平移 2 个
单位得到抛物线 2( 3) 1y a x? ? ? ，且平移后的抛物线经过点 A（2，1）.
（1）求平移后抛物线的表达式；
（2）设原．抛物线与 y 轴的交点为 B，顶点为 P，平移后的新．抛物线的对称轴与 x 轴交于
点 M，求∠BMP 的度数.
a
b
图 9
y
x
图 10
O 1
1
-1
-1
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22．（本题第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，满分 10 分）
如图 11，在平行四边形 ABCD 中，点 G 在边 DC 的延长线上，AG 交边 BC 于点 E，交
对角线 BD 于点 F．
（1）求证： 2AF EF FG? ? ；
（2）如果
3
2
EF ? ，
8
3
FG ? ，求
BE
EC
的值．



23．（本题第（1）题 6 分，第（2）题 6 分，满分 12 分）
如图 12，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD⊥AB 于点 D，E 是 AC 的中点，DE 的延长
线与 BC 的延长线交于点 F．
（1）求证：△FDC∽△FBD；
（2）求证： AC BF BC DF? ? ? ．




24.（本题第（1）题 5 分，第（2）题 7 分，满分 12 分）
如图 13，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 x 轴的正半轴交于点 B（3，0），交 y 轴
于点 C，顶点 A（1，-4），直线 AB 与 y 轴交于点 D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结 BC，如果点 P 在 x 轴上，且△PBC 与△BCD 相似，求出点 P 坐标.











F
E
D
C B
A
图 12
E
F
A D
B C
G
图 11
O
y
x
C
D
A
B
图 13
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25.（本题第（1）题 4 分，第（2）题 6 分，第（3）题 4 分，满分 14 分）
如图 14，在矩形 ABCD 中，BC=6，过点 B 作 BG⊥AC 交 AC 于点 E，分别交边 AD 于
点 F，交射线 CD 于点 G.
（1）求证：△AFB∽△BAC；
（2）联结 AG，设 2AB x? ，△AFG 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的
取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，是否存在以 AC 为腰的等腰三角形 ACG，若存在，求出 x
的值；若不存在，请说明理由.



图 14
G
F
E
D
CB
A
（备用图）
D
CB
A
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普陀区 2018 学年第一学期九年级数学期中测试试卷评分标准 2018、11
一．选择题：
1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．D．
二．填空题：
7．10； 8．4； 9． 4e? ； 10．6； 11．4； 12．下降； 13．3； 14．6；
15．
1
2
； 16．
1 1
2 2
a b? ； 17．0； 18． 3
2
或
21
2
．
三、解答题：
19. 解：根据题意，得
9 3 0
3
4 2 5.
a b c
c
a b c
? ? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
，
， ………………………………………………………… 3 分
解得
1
2
3
a
b
c
?
?
? ?
?
?
?
?
?
．…………………………………………………………………2 分
∴所求二次函数的解析式为
2
2 3y x x? ? ? ．………………………………1 分
∴函数图像的对称轴为直线. 1x ? ? ．……………………………………………2 分
顶点坐标为（-1，-4）．……………………………………………………2 分
其中，函数图像对称轴为直线. 1x ? ? 中的“直线”不写扣 1 分．
20. 解：
1
5 2
3
4
2
3
a b a b? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?

5 4
3 3
4 2
a b a b? ? ? ?
...
……………………………………………………………2 分
2a b? ? ………………………………………………………………………2 分
作图如下：







∴OP即为所求作的向量.

其中，作图正确 2 分， a 和 2b 箭头正确各 1 分， 2a b? 箭头正确 1 分，结论 1 分．
O
A
P
a
2b
2a b?
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21. 解：（1）由题意，抛物线 2( 3) 1y a x? ? ? 经过点 A（2，1），
得 1 1a ? ? …………………………………………………………1 分
解得 2a ? …………………………………………………………1 分
∴平移后抛物线的表达式为 22( 3) 1y x? ? ? ..……………………1 分
（2）∵平移后抛物线的表达式为 22( 3) 1y x? ? ? ，
∴对称轴为直线. 3x ? ．
∴点 M（3，0）．……………………………………………………1 分
∵原抛物线向右平移 2 个单位得到抛物线 22( 3) 1y x? ? ? ，
∴原抛物线表达式为 22( 1) 1y x? ? ? ．
∴顶点 P（1，-1）．……………………………………………………1 分
∵抛物线 22( 1) 1y x? ? ? 与 y 轴相交于点 B，
∴点 B（0，1）..………………………………………………………1 分
∵B（0，1）、M（3，0）、P（1，-1），
∴ 5BP ? ， 5MP ? ， 10BM ? ．
∴ 2 2 2BP MP BM? ? ，BP=MP．………………………………………1 分
∴△BPM 是等腰直角三角形，且∠BPM=90°．……………………2 分
∴∠BMP=45°．………………………………………………………1 分

22. （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴
AF BF
GF DF
? ，
EF BF
AF DF
? ．………………………………………1+1 分
∴
AF EF
GF AF
? ．………………………………………………………1 分
即 2AF EF FG? ? ．…………………………………………………1 分

（2）解：∵ 2AF EF FG? ? ，
又∵
3
2
EF ? ，
8
3
FG ? ，
∴ 2 4AF ? ．
∴ 2AF ? ．……………………………………………………………1 分
∵AD∥BC，
∴
BE EF
AD AF
? ．…………………………………………………………1 分
∴
3
4
BE
AD
? ．……………………………………………………………1 分
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC．
∴
3
4
BE
BC
? ．……………………………………………………………1 分
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∴ 3
BE
EC
? ．………………………………………………………………2 分
23.（1）证明：∵CD⊥AB，点 E 是 AC 的中点，
∴
1
2
CE DE AC? ? ．
∴∠EDC=∠ECD．…………………………………………………1 分
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠A=90°，∠B+∠A=90°．
∴∠ECD=∠B．……………………………………………………2 分
∴∠EDC=∠B．……………………………………………………1 分
∵∠F=∠F，………………………………………………………1 分
∴△FDC∽△FBD．………………………………………………1 分

（2）证明：∵△FDC∽△FBD，
∴
DF DC
BF BD
? ．………………………………………………… 2 分
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°．
∵∠ECD=∠B，
∴△ADC∽△CDB．…………………………………………………1 分
∴
AC DC
CB DB
? ．………………………………………………………1 分
∴
DF AC
BF CB
? ．………………………………………………………1 分
即 AC BF BC DF? ? ? ．…………………………………………………1 分

24. 解：（1）由题意设抛物线表达式为 2( 1) 4y a x? ? ? （ 0a ? ）．……………2 分
∵抛物线交 x 轴于点 B（3，0），
∴得 4 4 0a ? ? ，……………………………………………………1 分
解得 1a ? ．…………………………………………………………1 分
∴抛物线表达式为 2( 1) 4y x? ? ? ．…………………………………1 分

（2）∵抛物线 2( 1) 4y x? ? ? 交 y 轴于点 C，
∴C（0，- 3）．………………………………………………………1 分
∵B（3，0），
∴OC=OB=3．
联结 BC，
∵∠BOC =90°，
∴△BOC 是等腰直角三角形．
∴∠OBC=∠OCB=45°， 3 2BC ? ．………………………………1 分
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设直线 AB 的表达式为 y kx b? ? （ 0k ? ），
∵直线 AB 经过点 A（1，-4）、B（3，0），
∴
4
3 0
k b
k b
? ? ??
? ? ??
，
解得
2
6
k
b
??
? ? ??
，
∴直线 AB 的表达式为 2 6y x? ? ．
∵直线 AB 与 y 轴交于点 D，
∴D（0，-6），
∴CD=3．………………………………………………………………1 分
∵△PBC 与△BCD 相似，点 P 在 x 轴上，
又∵∠OBC=∠OCB=45°，
∴点 P 在点 B 右侧，且∠PBC=∠BCD=135°．……………………1 分
设 BP m? ，
①当
BP BC
CD CB
? 时，……………………………………………………1 分
得 1
3
m
? ，
解得 3m ? ，
∴点
1
P （6，0）．………………………………………………………1 分
②当
BP BC
CB CD
? 时，
得
3 2
33 2
m
? ，
解得 6m ? ，
∴点
2
P （9，0）．……………………………………………………1 分
综上所述，点 P 的坐标为（6，0）或（9，0）．
备注：无论点
1
P 或
2
P ，哪个点先求解出，得分都为 2+1 分，但都必须先得出
线段比例关系．

25.（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠FAB=∠ABC=90°．……………………………………………1 分
∴∠ACB+∠BAC=90°．
∵BG⊥AC，
∴∠AEB=90°．
∴∠ABF+∠BAC=90°．
∴∠ABF=∠BCA．………………………………………………2 分
∴△AFB∽△BAC．………………………………………………1 分
（2）解：∵△AFB∽△BAC，
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∴
AF AB
BA BC
? ．
即 2AB AF BC? ? ．
∵ 2AB x? ， 6BC ? ，
∴
6
x
AF ? ．………………………………………………………1 分
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥DC，AD=BC=6．
∴
AF AB
DF DG
? ．
∵ 2AB x?
∴ AB x? （边长取正值）．
∵
36
6
6 6
x x
DF
?
? ? ? ，
∴
36
x x
x DG
?
?
．
解得
(36 )x x
DG
x
?
? ．…………………………………………2 分
∵
1
2
AFGS AF DG? ? ?△ ，且 AFGS y?△ ，
∴
1 (36 ) (36 )
2 6 12
x x x x x
y
x
? ?
? ? ? ? （ 0 36x? ? ）．…… 2 + 1 分
（3）解：∵△ACG 是以 AC 为腰的等腰三角形，
①当 AC=AG 时，
解法 1：
∵AD⊥CG，
∴DC=DG．……………………………………………………………1 分
∵AB=DC，
∴AB=DG．
∴
(36 )x x
x
x
?
? ，
解得 18x ? ．………………………………………………………1 分
解法 2：
∵AD⊥CG，
∴DC=DG．
∵AB=DC，
∴AB=DG．
∵
AF AB
DF DG
? ，
∴AF=DF．…………………………………………………………1 分
即
1
3
2
AF AD? ? ．
∴ 3
6
x
? ．
解得： 18x ? ．……………………………………………………1 分
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②当 CA=CG 时，
解法 1：
∴ 2 2CA CG? ．
∵∠ABC=90°，
∴ 2 2 2AB BC AC? ? ．
即 2 36AC x? ? ．
∵ AB DC x? ? ，
(36 )x x
DG
x
?
? ，
∴
(36 ) 36x x x
CG x
x x
?
? ? ? ，
∴ 2
36
36 ( )
x
x
x
? ? ，……………………………………………………1 分
化简得 2 236 36 0x x? ? ? ，
解得 18 18 5x ? ? ? ．
∵ 2 0x AB? ? ，
∴ 18 5 18x ? ? ………………………………………………………1 分
解法 2：
∵CA=CG，
∴∠CAG=∠CGA．
∵AD∥BC，AB∥GC，
∴∠CAF=∠ACB，∠CGF=∠ABF．
∵∠ABF =∠ACB，
∴∠CAF =∠CGF．
∴AF=GF．
联结 CF，
∴△AFC≌△GFC．
∴∠AFC=∠GFC．
∵∠AFE=∠GFD，
∴∠AFC-∠AFE=∠GFC-∠GFD．
即∠EFC=∠DFC．
∵AD∥BC，
∴∠BCF=∠DFC．
∴∠BCF=∠EFC．
∴BF=BC=6．
∵∠BAF=90°，
∴ 2 2 2AF AB BF? ? ．
即 2( ) 36
6
x
x? ? ，………………………………………………………1 分
化简得 2 236 36 0x x? ? ? ，
解得 18 18 5x ? ? ? ．
∵ 2 0x AB? ? ，
∴ 18 5 18x ? ? ………………………………………………… 1 分
综上所述，x 的值为 18 或18 5 18? ．