第一节 共点力作用下物体的平衡
知识内容
1．物体的平衡状态及平衡条件
（1）共点力:几个力作用于物体的同一点，或它们的作用线交于同一点（该点不一定在物体上），这几个力叫共点力.
（2）平衡状态：物体处于静止或做匀速直线运动的状态叫做平衡状态．
（3）平衡条件：物体所受各个力（共点力）的合力为零，即在平衡力作用下，物体就处于平衡状态。
课堂练习
1．已知物体在 F1、F2、F3 M点力作用下处于平衡，若F1＝20 N，F2＝28N，那么F3的大小可能是（ A ）
A、 40 N ； B、70 N ；C、 100N；D． 6 N；
2、如图3－5，球静置于水平地面OA并靠着斜面OB，一切摩擦不计，则（ AD ）
A、小球只受重力和地面支持力
B．小球一定受斜面的弹力；
C．小球可能受斜面的弹力
D．小球所受重力和地面弹力为一对平衡力
知识内容
2．物体平衡条件的应用
（1）二力平衡：物体只受两个共点力作用而处于平衡时，这两个力一定大小相等、方向相反．
（2）三力平衡：物体在三个共点力作用下处于平衡时，三力中任意二力的合力与第三个力大小相等、方向相反．
（3）多力平衡：物体在几个共点力作用下处于平衡时，其中任意一个力与其余力的合力大小相等、方向相反．
（4）三个以上共点力平衡：除如（2）、（3）所述转化为二力平衡问题外，还可运用正交分解合成方法，即应用FX合=0，FY合=0的平衡条件进行处理．
课堂练习
3、质量为m的木块沿倾角为θ的斜面匀速下滑，如图所示，那么外面对物体的作用力方向是（ D ）
A、沿斜面向上；B．垂直于斜面向上
C．沿斜面向下；D．竖直向上。。
4．如图3—7所示，质点受F1、F2、F3的作用，它们的大小都为10N；为了使质点能处于平衡状态，必须再加一个外力，这个力的大小为 20 N，方向 与F2方向相反
5．如图3－8所示，质量为m的物体在恒力F的作用下沿竖直墙壁作匀速运动，物体跟墙之间的动摩擦因数为μ．那么力F的大小可能是 mg/(cosθ+μsinθ) 和 mg/(cosθ-μsinθ)
6．如图3－9所示，物体用两条细绵悬挂，两细绳对物体拉力的合力方向 竖直向上 ．若已知绳OB对物体的拉力为15 N，则物体的重力等于 30 N
7．如图3－10所示，a、b两物体通过一个定滑轮用细绳相连，不计滑轮的摩擦．a物体放在b点时静止．如果a物体移到Q点放置仍处于静止，则。物体从P点移到Q点（ CD ）
A、绳子对a拉力变小 B．地面对a弹力变小
C．地面对a摩擦力变大 D．地面对a作用力变大
知识内容
3.平衡条件的推论
(1)物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中的一个力与余下的力的合力等大反向.
(2)物体在同一平面内的三个互不平行的力的作用下处于平衡状态时，这三个力必为共点力.
(3)物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，这三个力的有向线段必构成封闭三角形，即表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形.可以用正弦定理法
如图所示的三角形中，有：
4.解题途径
当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法.
例题分析
例1.一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动。探测器通过喷气而获得推动力。以下关于喷气方向的描述中正确的是
A.探测器加速运动时，沿直线向后喷气
B.探测器加速运动时，竖直向下喷气
C.探测器匀速运动时，竖直向下喷气
D.探测器匀速运动时，不需要喷气
解：探测器沿直线加速运动时，所受合力F合方向与运动方向相同，而重力方向竖直向下，由平行四边形定则知推力方向必须斜向上方，因此喷气方向斜向下方。匀速运动时，所受合力为零，因此推力方向必须竖直向上，喷气方向竖直向下.选C
例2：沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A点，足球的质量为m，网兜的质量不计．足球与墙壁的接触点为B，悬绳与墙壁的夹角为α．求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力．
解法1:力的合成
取足球和网兜作为研究对象，它们受重力G=mg、墙壁的支持力F1和悬绳的拉力F2三个共点力作用而平衡．由共点力平衡的条件可知，F1和F2的合力F与G大小相等、方向相反，即F=G，从图中力的平行四边形可求得：
F1=Ftanα=mgtanα，
F2=F／cosα=mg／cosα
解法2:力的分解
取足球和网兜为研究对象，其受重力G，墙壁支持力F1，悬绳的拉力F2，将重力G分解为F1’，和F2’，由共点力平衡条件可知，F1与F1’的合力必为零，F2与F2’的合力也必为零，所以 F1=F1’=mgtanα
F2=F2’=mg／cosα．
解法3:正交分解法
取足球和网兜作为研究对象，受重力G，墙壁的支持力F1，悬绳拉力F2，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将F2分别沿x轴和y轴方向进行分解．由平衡条件可知，在x轴和y轴方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零．即
Fx合=F1-F2sinα=0 ① Fy合=F2cosα-G=0 ②
由② 式F2=mg／cosα代入①, 求出 F1=mgtanα
例3、如图，挡板AB和竖直墙之间夹有一球，球的质量为m。试讨论当θ角变大时，墙对球的弹力N1和挡板对给球的弹力N2如何变化？
【解一】正交分解法。受力情况如图。
N1=N2cosθ
N2sinθ=G
N1=G/tgθ N2=G/sinθ
当θ增大时，tgθ、sinθ都增大，故N1、N2都减小。
【说明】对于一个物理量怎样随另一个物理量的变化而变化的问题，通常是根据已知条件写出表达式，再利用函数的增减性来讨论。
【解二】正弦定律法。
N1与N2的合力必与G等大反向。以N1、N2为邻边画平行四边形。合力大小等于G。
∴ N1／sin(900-θ)=G/sinθ
N2／sin900= G/sinθ
∴ N1=G/tgθ N2=G/sinθ
当θ增大时，tgθ、sinθ都增大，故N1、N2都减小。
【解三】共点的三个力平衡，三个力的矢量线一定构成封闭三角形。(平行四边形法则演变成)
当θ角增大时，N1变为N1′，N2变为N2′显然，N1〉N1′，N2〉N2′
例4、如图所示，物A重10N，物B重10N，A与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.2，绳重、绳与定滑轮间的摩擦均不计，A处于静止状态。问水平拉力F应取何值？
【分析】A处于静止状态，A受的合外力必为0，A的受力情况如图。静摩擦力f的大小和方向由F的大小决定，由于F的大小未确定，故f不能确定。但f最大不会超过fmax=μN。如F较小，T会拉着A向左运动，f就会向右；如F较大，F就会拉着A向右运动，f就会向左。因此，要使A保持静止，F只能在一定范围内取值。
【解答】A的受力情况如图。 Fy=0，即： N+Tsin600－G=0
∴ N= (G-Tsin600)=1.34N
最大静摩擦力： fmax=μN =0.2×1.34=0.27N
当f向右时，F取最小值Fmin。 FX=0，即： Tcos600=Fmin+fmax
Fmin= Tcos600－fmax=5－0.27=4.73N
当f向左时，F取最大值Fmax。 FX=0，有： Fmax =Tcos600+fmax=5.27N
F的取值范围是：4.73≤F≤5.27
例5.重G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点。静止时绳两端的切线方向与天花板成α角.求绳的A端所受拉力F1和绳中点C处的张力F2.
解：以AC段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC所受的三个力分别作用在不同的点（如图中的A、C、P点），但它们必为共点力.
设它们延长线的交点为O，用平行四边形定则
作图可得：
例6.用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止.求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f.
解：从分析木块受力知，重力为G，竖直向下，推力F与竖直成30°斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦力，其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定：
当时，f=0；当时，，方向竖直向下；当时，，方向竖直向上.
例7、如图所示，轻质硬直杆AB水平插入竖直墙内，B端有一轻滑轮．现取一柔软绳将其一端固定在墙上C点，跨过定滑轮，绳的另一端挂一重为G的物体．已知绳与墙面间的夹角为600，滑轮轴心处摩擦不计，则滑轮轴心受到的压力为
（A）G；（B）G； （C）G；（D） 2G ；
解：图中是一条绳子跨放在光滑滑轮上，且轻杆是插入竖墙内，因为只有一条绳子，故 F1和F3均应等于G，滑轮受到的三个力的关系应如图所示，由图可得 F2＝ F13＝G．所以，滑轮轴心受到的压力大小为G．即本题的正确答案为（B）．
例8.有一个直角支架AOB，AO水平放置,表面粗糙, OB竖直向下,表面光滑.AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）.现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是
A.FN不变，f变大 B.FN不变，f变小
C.FN变大，f变大 D.FN变大，f变小
解：以两环和细绳整体为对象求FN，可知竖直方向上始终二力平衡，FN=2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA 对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小.答案选B.
课堂练习
8.如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，碗的内表面及碗口是光滑的.一根细线跨在碗口上，线的两端分别细有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=600.两小球的质量比为（A）
A. B. C. D.
9.如图所示，人重600N，木板重400N，人与木板、木板与地面间的动摩擦因数皆为0.2，现在人用水平力拉绳，使他与木块一起向右匀速运动，则（BC）
A.人拉绳的力是200N B.人拉绳的力是100N
C.人的脚给木块摩擦力向右 D.人的脚给木块摩擦力向左
12.如图所示,均匀杆AB重为G,A端用细绳吊在O点,在B端加一水平力F,使AB静止,此时杆与水平方向夹角为α,细绳与竖直方向成θ角,则(B)
A.拉力F一定大于G
B.绳子拉力T一定大于G
C.AB杆与水平夹角α必小于θ
D.F足够大时细绳可在水平方向上
第二节 有固定转动轴物体的平衡
知识内容
1．力臂、力矩
（1）从转轴到力的作用线的距离，叫做力臂．
（2）力和力臂的乘积叫做力矩．力对物体的转动作用决定于力矩的大小．力矩的单位是牛顿·米，简称牛·米，符号是N·m．
课堂练习
14．关于力臂，下列说法中正确的是（ A ）
A．力臂是转轴到力的作用线的距离 B．力臂是转轴到力的作用点的距离
C．力臂等于力和力矩的乘积 D．力臂表示力的大小
15．如图1－11，直杆OA可绕O点在竖直平面内转动，图中虚线与杆平行，杆端A点同时受三个力F1、F2、F3作用，它们的作用线与OA杆都在同一竖直平面内，它们对转轴O的力矩分别为M1、M2、M3，力臂分别为11、12、13，下列选项中正确的有（ BC ）
A、M1＞M2＞M3；B．11＜13＜12
C．M1＝M2＝M3；D．11＜12＜13
16．火车车轮的边缘和制动片之间的摩擦力是500 N．如果车轮的半径是0．45 m，则摩擦力的力矩是 225
17．一棵树高为10 m，伐木工人把它从底部锯断，并将具翻倒，若树的质量为 200 kg，树的重心与树底部的距离为树高的2／5，当树绕树干底部的O点翻至图1－12所示位置时，树受到的重力短的大小为 3。92×103 N·m．
课件6张PPT。《牛顿第二定律》复习课 例：传送带与地面倾角θ=37°，AB长L=16m，传送带以ν=10m/s的速率逆时针转动，在传送带上端轻轻地放一个质量为m=0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5。求物体从A运动到B所需时间. LmABvμθABaFBAFaABaFθAFaAaBBABθ质量M=10kg的木楔ABC的静置于粗糙的水平地面上，动摩擦因数μ=0.02，在木楔的倾角为θ=30°的斜面上，有一质量m=1.0kg的物块由静止开始沿斜面下滑，当滑行路程S=1.4m时，其速度V=1.4m/s，在这个过程中木楔没有动，求地面对木楔的摩擦力。专题一 物体的平衡
复习目标：
1．准确且恰当的选取研究对象，进行正确的受力分析且能画出利于解题的受力视图；
2．熟练掌握常规力学平衡问题的解题思路；
3．会运用相应数学方法处理力的合成与分解，掌握动态平衡问题的分析方法；
专题训练：
1．如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P相连，P与斜放在其上的固定档板MN接触且处于静止状态，则斜面体P此刻受到的外力的个数有可能是（ ） A、2个 B．3个 C．4个 D、5个
2.如右图S1、S2表示劲度系数分别为k1、k2的两根弹簧，k1＞k2；a和b表示质量分别为m1和m2的两个小物块，m1＞m2，将弹簧与物块按图示方式悬挂起来，现要求两根弹簧的总长度最大应使 （ ）
A．S1在上，a在上 B．S1在上，b在上
C．S2在上，a在上 D．S2在上，b在上
3，如图2所示，棒AB的B端支在地上，另一端A受水平力F作用，棒平衡， 则地面对棒B端作用力的方向为：（ ）
总是偏向棒的左边，如F1
总是偏向棒的右边，如F3
总是沿棒的方向如F2
总是垂直于地面向上如F4
4．一物体静置于斜面上，如图所示，当斜面倾角逐渐增大而物体仍静止在斜面上时，则（ ）
A．物体受重力支持力的合力逐渐增大
B．物体所受重力对O点的力矩逐渐增大
C．物体受重力和静摩擦力的合力逐渐增大
D．物体受重力、支持力和静摩擦力的合力逐渐增大
5．A、B、C三个物体通过细线和光滑的滑轮相连，处于静止状态，如图所示，C是一箱砂子，砂子和箱的重力都等于G，动滑轮的质量不计，打开箱子下端开口，使砂子均匀流出，经过时间t0流完，则下图中哪个图线表示在这过程中桌面对物体B的摩擦力f随时间的变化关系 （ ）
6．如图所示，A为静止在水平地面上的圆柱体，B为一均匀板，它的一端搭在A上，另一端用轻绳悬起，板和竖直方向的夹角< 900，则： （ ）
A．板B对A没有摩擦力 B．板B对A有摩擦力
C．地面对A没有摩擦力 D．地面对A有摩擦力
7．重为G粗细均匀的棒AB用轻绳MPN悬吊起来，如图所示．当棒静止时，有：（ ）
A．棒必处于水平
B．棒必与水平相交成300角且N高M低
C．绳子MP和NP的张力必有TMP > TNP，且绳子OP的张力TOP = G
D．绳子MP和NP的张力必有TMP < TNP，且绳子OP的张力TOP = G
8．如图所示，OA为一遵守胡克定律的弹性轻绳，其一端固定在天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连．当绳处于竖直位置时，滑块A与地面有压力作用。B为一紧挨绳的光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度。现用水平力F作用于A，使之向右作直线运动，在运动过程中，作用A的摩擦力： （ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．保持不变 D．条件不足，无法判断
?
9．物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，如图所示，已知F1与F2垂直，F2与F3间的夹角为120°，则三个力大小之比为 。
10．如图所示，一从中间弯成直角的金属丝，一端悬挂，总长为L。则金属丝静止时，OA和竖直方向夹角为 。
11．如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘。两个带有同种电荷的小球Ａ、Ｂ分别处于竖直墙面和水平地面，且处于同一竖直面内，若用图示方向的水平推力Ｆ作用于小球，则两球静止于图示位置，如果将小球Ｂ向左推动少许，并待两球重新达到平衡时，则: 推力Ｆ将 (填增大、不变或减小); 两小球间距离将 （填增大、不变或减小）。
12.在倾角为θ绝缘材料做成的斜面上放一个质量为ｍ，带电量为＋ｑ的小滑块，滑块与斜面的动摩擦因数为μ，μ＜ｔａｎθ，整个装置处在大小为Ｂ方向垂直斜面向上的匀强磁场中。则滑块在斜面上运动达到的稳定速度大小为 。
1３.如图是滑板的简化示意图．运动员在快艇的水平牵引下，脚踏倾斜滑板在水上匀速滑行，设滑板光滑，且不计质量，滑板的滑水面积为S，滑板与水平方向夹角为θ角（板的前端抬起的角度），水的密度为ρ，理论证明：水对板的作用力大小为F = ρSv2sin2θ，方向垂直于板面，式v为快艇的牵引速度．若运动员受重力为G，则快艇的水平牵引速度v = _____________．
14．建筑工地上的黄砂，若堆成圆锥形而且不管如何堆其锥角总是不变，试证明之。如果测出其圆锥底的周长为12.1m，高为1.5m，求黄砂之间的动摩擦因数。（设滑动摩擦力与最大静摩擦力相等）
15．一轻绳跨过两个等高的定滑轮（不计大小和摩擦），两端分别挂上质量为m1 = 4Kg和m2 = 2Kg的物体，如图所示。在滑轮之间的一段绳上悬挂物体m，为使三个物体能保持平衡，求m的取值范围。
16．如图是某兴趣小组制作的一种测定水平风力的装置。质量为m的气球系在质量可忽略的细金属丝下端，金属丝上端固定在O点。AB是长为L的均匀电阻丝，阻值为R。金属丝和电阻丝接触良好，摩擦不计。AB的中点C焊接一根导线，从O点也引出一根导线，这两根导线之间接一个零刻度在中间的伏特表V，（金属丝和连接用导线的电阻不计）。图中虚线OC与AB垂直，OC=h，电阻丝AB两端接在电压为U的稳压电源上。整个装置固定，让水平的风直接吹到气球上。那么，从电压表的读数，就可以测出气球受的水平风力的大小。⑴写出水平风力大小Ｆ和金属丝偏转角θ间的关系式。⑵写出水平风力大小Ｆ和电压表读数U/的关系式。⑶该装置能测定的最大水平风力大小Ｆ是多大？
17．如图所示，两条间距为d，表面光滑的平行金属导轨M、N，导轨平面与水平面的倾角为θ，导轨的一端有一电池组与M、N相连，整个装置处在方向竖直向下、磁感强度为B的匀强磁场中。现将一质量为m的水平金属棒PQ与轨道垂直地置于导轨上，这时两导轨与金属棒在回路中的电阻值为R，PQ棒刚好处于静止状态。设电池组的内阻为r，试计算电池组的电动势E，并标明极性。
18．水平放置的金属框架abcd，宽度为0.5m，匀强磁场与框架平面成30°角，如图所示，磁感应强度为0.5T，框架电阻不计，金属杆MN置于框架上可以无摩擦地滑动，MN的质量为0.05kg，电阻为0.2Ω，试求当MN的水平速度为多大时，它对框架的压力恰为零，此时水平拉力应为多大?
19．如图所示，在绝缘的水平桌面上，固定着两个圆环，它们的半径相等，环面竖直、相互平行，间距是20cm，两环由均匀的电阻丝制成，电阻都是9，在两环的最高点a和b 之间接有一个内阻为的直流电源，连接导线的电阻可忽略不计，空间有竖直向上的磁感强度为3.46×10－1T的匀强磁场. 一根长度等于两环间距，质量为10g，电阻为1.5的均匀导体棒水平地置于两环内侧，不计与环间的磨擦，当将棒放在其两端点与两环最低点之间所夹圆弧对应的圆心角均为时，棒刚好静止不动，试求电源的电动势（取
专题预测：
1．研究两共点力的合力实验中，得出两个大小恒定的共点力，它们的合力大小F合与两力之间夹角θ变化的规律如图所示，则（ ） A．两个分力分别为8N、10N
B．两个分力分别为6N、8N
C．2N ≤ F合≤ 12N
D．2N ≤ F合≤ 14N
2．一个高为h的空心木制长方形被放入一个圆柱形容器中，如图，长方体的横截面内外分别是边长d为和2d 的正方形，容器的半径为3d ，现向容器中灌水，使长方形可在其中自由漂浮，则此容器的最小高度为H： （ ）
A： h水/（水+木）；
B：h；
C：h木/3水；
D：h木/水。
3．如图所示，半径为R，重为G的均匀球靠竖直墙放置，左下有厚为h的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面？
参考答案：
1.AC 2.D 3.B 4.A 5.B 6.BＤ 7.BＣ 8.C
9. :1:2 10. arctan1/3 11．增大，增大 12.
1３. 14．砂堆表面上的砂粒，将受重力、弹力的摩擦力的作用而静止，则，所以由于不变，所以圆锥母线与底面的夹角一定是不变的。 15． 2Kg < m < 6Kg
16．⑴Ｆ=mgtanθ ⑵⑶
17．金属棒中电流方向P→ Q
18．v=3.7m/s，F=0.29N.
19．15V
专题预测：
1．BD 2．D
3．F=G[h（2R-h）]1/2/（R-h）
