课件40张PPT。2．4.1 抛物线及其标准方程 课时作业12 抛物线及其标准方程
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．以直线3x－4y－12＝0与x轴的交点为焦点的抛物线的方程为( )
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝12x D．y2＝－12x
解析：因为焦点为直线3x－4y－12＝0与x轴的交点，所以令y＝0，得x＝4，则焦点为(4,0)，故所求抛物线的方程为y2＝16x.
答案：A
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
解析：∵抛物线的准线方程为x＝－＝－1，∴＝1，∴抛物线的焦点坐标为(1,0)．
答案：B
3．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大于1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
答案：A
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A. B.
C．3 D．2
解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.
答案：C
5．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2. 若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．抛物线y2＝4x的准线方程为________．
解析：由抛物线的方程y2＝4x可知p＝2，开口向右，可直接得到准线方程是x＝－1.
答案：x＝－1
7．抛物线x＝y2的焦点坐标是________．
解析：方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，
∴p＝2m，即焦点(m,0)．
答案：(m,0)
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a>0)．
解析：(1)因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝.
(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，因为p＝，所以焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)由a>0知p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－.
10．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.
解析：(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．若动点P到定点F(1,1)的距离与它到直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
解析：设动点P的坐标为(x，y)，则由题意可得＝，化简、整理，得x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线，选D.
答案：D
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
答案：
13．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标．
解析：由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得焦点坐标为F(－，0)，准线方程x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.设点M的纵坐标为y0，由点M(－9，y0)在抛物线上，得y0＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
14．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)
解析：如图所示，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝.
故得抛物线方程为x2＝－y.
点B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，
即|AB|＝，则|AB|＋1＝＋1，
因此所求水池的直径为2(1＋) m，约为5 m，
即水池的直径至少应设计为5 m.
