课件41张PPT。2．4.2 抛物线的简单几何性质 课时作业13 抛物线的简单几何性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
答案：B
2．过抛物线x2＝4y的焦点，作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8.
答案：C
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
解析：设A(x，y)，则y2＝4x，①
又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
所以·＝x－x2－y2＝－4.②
由①②可解得x＝1，y＝±2.
答案：B
4．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不满足OA⊥OB，故b＝2.
答案：D
5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为.
因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝.
答案：
7．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．
解析：如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
因为|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BB1|，
所以∠BCB1＝30°，
所以∠AFx＝60°，连接A1F，
则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，
则F1为AA1的中点，设l于x轴于K，
则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，
即p＝，
所以抛物线方程为y2＝3x.
答案：y2＝3x
8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________.
解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为y＝x＋，与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为xA＝－p，xB＝p，故A，B，所以|AF|＝p，|BF|＝2p，所以＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．
解析：如图，设等腰直角三角形OAB的顶点A，B在抛物线上．
根据抛物线的性质知A，B关于x轴对称．
由题意得A(2,2)在抛物线y2＝2px上，
所以p＝1，抛物线的方程为y2＝2x.
10．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．
解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①
∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3.
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为( )
A. B.
C. D.
解析：设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，
直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，
如图过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|＝2|FB|，
则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，
则|OB|＝|FA|，
所以|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，
故点B的坐标为(1,2)，把B点坐标代入直线方程得k的值为.
答案：C
12．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B. 若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线的焦点坐标为F.不妨设点A在第一象限，由解得或故A.所以kAF＝＝.因为F为△OAB的垂心，所以直线AF与另一条渐近线垂直，故kAF·(－)＝－1，即×＝－1，整理得b2＝a2，所以c2＝a2＋b2＝a2，故c＝a，即e＝＝.
答案：
13．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
解析：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
得消去y，整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
∵直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
14．点M(m,4)(m>0)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，F为其焦点，已知|FM|＝5.
(1)求m与p的值；
(2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求△FMN的面积．
解析：(1)由抛物线定义知，|FM|＝＋4＝5，所以p＝2.所以抛物线的方程为x2＝4y，
又由M(m,4)在抛物线上，所以m＝4.
故p＝2，m＝4.
(2)设过M点的切线方程为y－4＝k(x－4)，
代入抛物线的方程消去y得，x2－4kx＋16k－16＝0，
其判别式Δ＝16k2－64(k－1)＝0，所以k＝2，
切线方程为y＝2x－4，
切线与y轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0,1)，
所以S△FMN＝|FN|·m＝×5×4＝10.
