课件44张PPT。3．1.1 空间向量及其加减运算
3．1.2 空间向量的数乘运算
课时作业14 空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝( )
A．2 B．3
C．3 D．2
解析：－＋＝＋＝＋2＝3.
答案：B
2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
解析：∵＋＝＋，∴＝.∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：A
3．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB
B．P?AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
解析：因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以＝(1－n)＋n，
即－＝n(－)，
即＝n，所以与共线．
又，有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，
即P∈AB.
答案：A
4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.＝3－2－
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＝0
D.＝－＋
解析：∵＋＋＝0，
∴＝－－，
∴M与A，B，C必共面．
答案：C
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
解析：因为＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝1，y＝.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则A1B＝________.
解析：如图，＝－
＝－＝－－(－)
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
7．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋＋，则x＋y＋z＝________.
解析：在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，＝＋＋，又＝x＋＋，
∴∴∴x＋y＋z＝6.
答案：6
8.有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若∥，
则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；
因为∥且，有公共点A，所以②正确；
由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b.故③正确；
易知④也正确．
答案：②③④
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)写出模为的所有向量；
(3)试写出的相反向量．
解析：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
(3)向量的相反向量为，，，，共4个．
10．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3).
解析：(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＝＝a＋b＋c.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有( )
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反向量．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．
答案：C
12．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
解析：＝－＝－＝－(－)＝＋，又＝＋λ，所以λ＝.
答案：
13．如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面．M，N分别是AC，BF的中点．试判断与是否共线？
解析：因为M，N分别是AC，BF的中点，
四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(－)
＝＋AF＋AB
＝(＋－)．
又＝＋＋＝－＋＝＋－，
所以＝，所以∥，即与共线．
14．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解析：(1)证明：∵ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，
∴＝＝＝，
∴＝，＝，
∴＝＋＋＝＋＋＋
＝＋
＝＋＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－AB＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.
