课件44张PPT。3．1.3 空间向量的数量积运算 课时作业15 空间向量的数量积运算
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，
∴a·b＝〈3p－2q〉·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
答案：A
2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．90°
解析：a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝
＝
＝＝，
|b|＝＝
＝
＝＝.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝120°.
答案：B
3．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋.
所以(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
所以||＝||，即△ABC是等腰三角形．
答案：B
4．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.
答案：A
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④正方体的体积为|··|.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；
·(－＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为||||||.综上可知，①②正确．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.
解析：将|a－b|＝两边平行，得(a－b)2＝7.
因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝.
又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，故cos〈a，b〉＝.
答案：
7．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．
解析：＝＋＋，
∴·＝·(＋＋)
＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线a，b所成角是60°.
答案：60°
8．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于________．
解析：因为＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋0＋0＋2||||cos60°＝108＋2×6×6×＝144.
所以PC＝12.
答案：12
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图所示，已知正四面体OABC的棱长为a，求：
(1)·；
(2)(＋)·(＋)．
解析：(1)·＝a·a·cos60°＝a2.
(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝a2＋a2cos60°－2a2cos60°＋a2cos60°＋a2－2a2cos60°＝a2.
10．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角．
解析：因为＝＋，＝＋，
所以·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·.
因为BA⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
所以·＝0，
·＝0，·＝0，
又·＝－a2，
所以·＝－a2，
又·＝||||cos〈，〉，
所以cos〈，〉＝＝－，
又〈，〉∈[0，π]，
所以〈，〉＝π.
所以异面直线BA1与AC所成的角为.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．a，b是两个非零向量，现给出以下命题：
①a·b>0?〈a，b〉∈；
②a·b＝0?〈a，b〉＝；
③a·b<0?〈a，b〉∈；
④|a·b|＝|a||b|?〈a，b〉＝π.
其中的真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：∵a，b为非零向量，∴|a|≠0，|b|≠0，
又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉且0≤〈a，b〉≤π，
则cos〈a，b〉>0?〈a，b〉∈；a·b＝0?cos〈a，b〉＝0?〈a，b〉＝；a·b<0?cos〈a，b〉<0?〈a，b〉∈.
因此，命题①②③均为真命题．
∵|a·b|＝|a||b|?|cos〈a，b〉＝1?〈a，b〉＝0或π，
∴|a·b|＝|a||b|?〈a，b〉＝π不正确，即命题④为假命题．故选C.
答案：C
12．“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．
解析：当向量a，b反向共线时，a·b<0，但此时〈a，b〉＝π，夹角不为钝角，所以“a·b<0”?“〈a，b〉∈”，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
13．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：CA1⊥B1D1.
证明：因为＝＋＋，＝＝－，
所以·B1D1
＝(＋＋)·(－)
＝2－2＋·(－)
＝||2－||2＋·－·
＝||2－||2＋||||cos∠C1CD－||||cos∠C1CB，
又因为∠C1CB＝∠C1CD，底面ABCD为菱形，
所以||2－||2＋||||cos∠C1CD－||||cos∠C1CB＝0，
即·＝0.
所以⊥，故CA1⊥B1D1.
14．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
解析：(1)证明：＝＋，＝＋.
因为BB1⊥平面ABC，
所以·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
因为·
＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||||cos〈，〉＋2
＝－1＋1
＝0，
所以AB1⊥BC1，
(2)由(1)知·
＝||||cos〈，〉＋2
＝2－1.
又||＝＝
＝|BC1|，
所以cos〈，〉＝＝，
所以||＝2，即侧棱长为2.
