课件38张PPT。3.1.5 空间向量运算的坐标表示 课时作业17 空间向量运算的坐标表示
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知向量a＝(0,1,1)，b＝(－1，－1,0)，则两向量的夹角为( )
A．60° B．120°
C．－60° D．240°
解析：cos〈a，b〉＝＝
＝－，所以〈a，b〉＝120°.
答案：B
2．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
解析：因为a与b共线，所以＝＝，所以x＝，y＝－.
答案：C
3．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2.
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
4．在空间直角坐标系中，若向量a＝(－2,1,3)，b＝(1，－1,1)，c＝，则它们之间的关系是( )
A．a⊥b且a∥c B．a⊥b且a⊥c
C．a∥b且a⊥c D．a∥b且a∥c
解析：因为a＝－2c，b·c＝1×(－2)＋(－1)×1＋1×3＝0，
所以a∥c且a⊥b.故选A.
答案：A
5．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．± B.
C．－ D．±
解析：∵＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，∴＋λ＝(1，－λ，λ)，∴(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，
|＋λ|＝＝，||＝.
∴cos120°＝＝－，
∴λ2＝.
又<0，∴λ＝－.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，a＝(x，y,1)，若向量a分别与，垂直，则向量a的坐标为________．
解析：＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
由a⊥，a⊥，
得
解得
故a＝(1,1,1)．
答案：(1,1,1)
7．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)．则|b－a|的最小值是________．
解析：由已知，得
b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．
∴|b－a|＝
＝＝.
∴当t＝时，|b－a|的最小值为.
答案：
8．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，设p＝，q＝.
求：(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)．
解析：因为A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2,1,3)，q＝＝(2,0，－6)．
(1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)．
(2)3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)．
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.
10．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)．
(1)若∥，∥，求点D的坐标；
(2)问是否存在实数α，β使得＝α＋β成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)设D(x，y，z)，
则＝(－x,1－y，－z)，
＝(－1,0,2)，＝(－x，－y,2－z)，
＝(－1,1,0)．
因为∥，∥，
所以
解得
即D(－1,1,2)．
(2)依题意＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)．
假设存在实数α，β，使得＝α＋β成立，
则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，
所以
故存在α＝β＝1，
使得＝α＋β成立．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当||取最小值时，x的值等于( )
A. B．－
C．19 D.
解析：＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
||2＝(x－1)2＋(2x－3)2＋9(x－1)2
＝14x2－32x＋19.
当x＝时，||2最小，||也最小．故选A.
答案：A
12．(同济大学自主招生改编)已知棱长为a的正四面体ABCD，如图，建立空间直角坐标系，O为A在底面上的射影，M，N分别为线段AB，AD的中点，则M的坐标是________，CN与DM所成角的余弦值为________．
解析：由正四面体棱长为a，知△BCD的外接圆半径为a，
∴B，又正四面体的高为＝a，∴A，
∴AB的中点M的坐标为.
又D，
∴＝，
同理可得＝.
∴与夹角的余弦值为cos〈，〉＝＝－.
∴异面直线CN与DM所成角的余弦值为.
答案：
13．空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5)，试求：
(1)△ABC的面积；
(2)△ABC的AB边上的高．
解析：(1)因为＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)，
＝(2,0，－8)，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
且||＝，||＝2，
所以cos〈，〉＝＝－，sin〈，〉＝，
S△ABC＝||·||sin〈，〉
＝×2× ＝3.
(2)||＝，设AB边上的高为h，
则|AB|·h＝S△ABC＝3，
∴h＝3.
14．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
解析：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，则有
E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H.
＝－
＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)∵C1G＝－(0,1,1)＝.
∴||＝.又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
(3)∵F，H，
∴＝，
∴||＝
＝.
