课件43张PPT。第一课时 空间向量与平行、垂直关系 课件56张PPT。第二课时 利用空间向量求角和距离 课时作业18 空间向量与平行、垂直关系
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若直线l的一个方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的一个法向量为n＝(－2,0,4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
解析：∵a＝(－1,0,2)，n＝(－2,0,4)，∴n＝2a，∴n∥a，∴l⊥α.
答案：B
2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
解析：＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．
答案：D
3．设平面α的一个法向量为(1,2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
解析：∵α∥β，∴存在实数λ，使(1,2，－2)＝λ(－2，－4，k)，∴k＝4.
答案：C
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
解析：建系如图，设正方体的棱长为2，
则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，
∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，
∴＝(－1,0,1)．
又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，
∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，
∴⊥n，
∴MN∥平面BB1C1C.故选B.
答案：B
5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
解析：以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为3，则A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,3)，A1(3,0,3)，E(1,0,1)，F(2,1,0)，
所以＝(1,1，－1)，＝(－3，－3,3)，
＝(－3,0，－3)，＝(－3,3,0)，
因为·＝－3＋0＋3＝0，
·＝－3＋3＋0＝0，
＝－3，
所以EF⊥A1D，EF⊥AC，EF∥BD1.
故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
解析：由l1⊥l2知，a·b＝0，即1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，解得m＝2.
答案：2
7．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
解析：＝，＝，
由
得解得
则x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶(－4)
8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________(填序号)．
解析：由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0.
所以①②③正确．
答案：①②③
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系A－xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
解析：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．
∵AD⊥平面SAB，∴＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，
则n·＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－.
又n·＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝.
∴n＝即为平面SCD的一个法向量．
10．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点．
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD.
证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系B1－xyz，
设A1(a,0,0)，
则C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)，
A(a,0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2)，G，
所以＝(0,2,2)，＝(－a,0,0)，＝(0,2，－2)，
所以·＝0＋0＋0＝0，
·＝0＋4－4＝0，
所以B1D⊥AB，B1D⊥BD，
又AB∩BD＝B，
所以B1D⊥平面ABD.
(2)因为＝(－a,0,0)，BD＝(0,2，－2)，
＝，＝(0,1，－1)
所以易知∥，∥，
所以GF∥AB，EF∥BD，
又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，
所以平面EGF∥平面ABD.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为( )
A．1∶2 B．1∶1
C．3∶1 D．2∶1
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a，则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)．
设点F的坐标为(0，y,0)，
则＝(－1，y,0)，＝.
因为BF⊥PE，
所以·＝0，
解得y＝，即点F的坐标为(0，，0)，
所以F为AD的中点，
所以AF∶FD＝1∶1.故选B.
答案：B
12．在直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，得·＝0.
即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.
∴cosx＝0或cosx＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
13．如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.
求证：平面ADE⊥平面ABE.
证明：取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，
又AB⊥平面BCE，
∴以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示．
则由已知条件有C(1,0,0)，E(0，－，0)，D(1,0,1)，A(0，，2)．
设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，
则n·＝(a，b，c)·(0,2，2)＝2b＋2c＝0，
n·＝(a，b，c)·(－1，，1)＝－a＋b＋c＝0.
令b＝1，则a＝0，c＝－，
∴n＝(0,1，－)，
又AB⊥平面BCE，
∴AB⊥OC，
∴OC⊥平面ABE，
∴平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．
∵n·m＝(0,1，－)·(1,0,0)＝0，
∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.
14．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
解析：(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，
则AC⊥BD.
由题意知SO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点，
，，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系如图．
设底面边长为a，则高SO＝a，
于是S，D，B，C，
＝，
＝，
则·＝0.
故OC⊥SD.从而AC⊥SD.
(2)棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
理由如下：
由已知条件知是平面PAC的一个法向量，
且＝，＝，＝.
设＝t，
则＝＋＝＋t
＝，
而·＝0?t＝.
即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.
课时作业19 利用空间向量求角和距离
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为( )
A．10 B．3
C. D.
解析：点P到平面α的距离d＝＝＝.
答案：D
2．直三棱锥ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA＝2，则
A(2,0,2)，N(1,0,0)，B(0,2,2)，
A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，M(1,1,0)；
所以＝(1，－1，－2)，
＝(－1,0，－2)；
所以cos〈，〉＝＝；
所以BM与AN所成角的余弦值为.
故选D.
答案：D
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，∴＝(－2,0,1)．连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a＝＝(－2,2,0)．
∴所求角的正弦值为|cos〈a，〉|＝＝＝.
答案：D
4．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：建系如图，设AB＝1，
则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)．
平面PAB的法向量为n1＝(1,0,0)．
设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)，
则得
令x＝1，则z＝1.∴n2＝(1,0,1)，
cos〈n1，n2〉＝＝.
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.
∴此角的大小为45°.
答案：B
5．已知矩形ABCD与ABEF全等，D-AB-F为直二面角，M为AB中点，FM与BD所成角为θ，且cosθ＝，则AB与BC的边长之比为( )
A．1∶1 B.∶1
C.∶2 D．1∶2
解析：设AB＝a，BC＝b，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则相关各点坐标为F(b,0,0)，M，B(0，a,0)，D(0,0，b)，
＝，＝(0，－a，b)，
所以||＝，
||＝，·＝－，
|cos〈，〉|＝＝，
整理得4×＋5×－26＝0，
所以＝＝.
故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．直线l的方向向量a＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
解析：设直线l与平面α所成的角是θ，a，n所成的角为β，sinθ＝|cosβ|＝＝.
答案：
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉＝________.
解析：建立如图所示空间直角坐标系D－xyz，设正方体棱长为2.
则C(0,2,0)，M(2,0,1)，D1(0,0,2)，N(2,2,1)．
∴＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)．
∴cos〈，〉＝＝－.
∴sin〈，〉＝.
答案：
8．棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是________．
解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，
则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M，A1(a,0，a)，
所以＝(a，a,0)，
＝，＝，
设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以
令x＝1，则n＝(1，－1，－2)，
所以点A1到平面MBD的距离为
d＝
＝
＝a.
答案：a
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，B1(0，a，a)．
方法一 如图，取A1B1的中点M，则M，连接AM，MC1，则＝，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)．
∵·＝0，·＝0，
∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴∠C1AM即直线AC1与侧面ABB1A1的夹角．
∵＝，＝，
∴·＝0＋＋2a2＝.
又||＝＝a，||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
∴〈，〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°.
方法二 ＝(0，a,0)，＝(0,0，a)．
设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ，x，y)，
则n·＝0且n·＝0，
∴ax＝0且ay＝0，
∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)．
又＝，
∴cos〈，n〉＝＝＝－.
设AC1与侧面ABB1A1的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝，∴θ＝30°，即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°.
10．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上．
(1)若A1M＝3MB1，求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；
(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．
解析：(1)分别以CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示C－xyz，
则C(0,0,0)，A(4,0,0)，A1(4,0,2)，B1(0,4,2)．
因为A1M＝3MB1，
所以M(1,3,2)，
可得＝(－4,0，－2)，
＝(－3,3,2)，
所以cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线AM与A1C所成角的余弦值为.
(2)由(1)得B(0,4,0)，B1(0,4,2)，
所以＝(－4,4,0)，
＝(－4,0,2)．
设n＝(a，b，c)是平面ABC1的法向量，
可得
取a＝1，得b＝1，c＝，
所以n＝(1,1，)，
而直线AM与平面ABC1所成角为30°，可得与n所成角为60°或120°，
所以|cos〈，n〉|＝，
设点M的横坐标为x，
则＝(x－4,4－x,2)，
即
＝
＝＝，
解得x＝2或6.
由M在线段A1B1上可得0≤x≤4，
故x＝2，
即点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是( )
A.a B.a
C.a D.a
解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则＝(a，a，a)，＝(0，a，a)，由于AC1⊥平面A1BD，所以点C1到平面A1BD的距离是＝＝a.故选D.
答案：D
12．如图正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．
解析：建立空间直角坐标系如图，则B(1,1,0)，O，
＝(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量．
又＝，
∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为＝＝.
答案：
13．如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE＝90°，AF∥DE，DE＝DA＝2AF＝2.请建立适当的直角坐标系解答下列问题：
(1)求证：AC∥平面BEF；
(2)求平面BEF与平面ABCD所成角的余弦值．
解析：(1)证明：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)，F(2,0,1)．
＝(0，－2,1)，＝(－2，－2,2)，
＝(－2,2,0)．
设平面BEF的法向量n＝(x，y，z)，
则有n·＝0，n·＝0.
即－2y＋z＝0，－2x－2y＋2z＝0，
取y＝1，则z＝2，x＝1，
所以n＝(1,1,2)，
又n·＝0，
所以n⊥，
又AC?平面BEF，
所以AC∥平面BEF.
(2)易知＝(0,0,2)是平面ABCD的一个法向量，
cos〈，n〉＝
＝＝.
即平面BEF与平面ABCD所成角的余弦值为.
14．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB＝3，BC＝4，AA′1分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得A′A1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC－A1B1C1，请在图2中解决下列问题：
(1)求证：AB⊥PQ；
(2)求直线BC与平面A1PQ所成角的正弦值．
解析：(1)证明：由题图1知，CA′＝AA′－AB－BC＝5，
BP＝AB＝3，CQ＝AC＝7，
在题图2中，
因为AB2＋BC2＝AC2，
所以AB⊥BC，又B1B⊥AB，B1B⊥BC，
所以，以B为原点，分别以直线AB，BC，BB1为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则B(0,0,0)，A(3,0,0)，C(0,4,0)，A1(3,0,12)，P(0,0,3)，Q(0,4,7)，
所以＝(3,0,0)，＝(0,4,4)，
因为·＝3×0＋0×4＋0×4＝0，
所以⊥，
即AB⊥PQ.
(2)由(1)知，＝(3,0,9)，＝(0,4,0)．
设n＝(x，y，z)是平面A1PQ的法向量，则
取z＝1，得n＝(－3，－1,1)，
设直线BC与平面A1PQ所成角为θ，则
sinθ＝|cos〈n，〉|
＝
＝
＝.
即直线BC与平面A1PQ所成角的正弦值为.
