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章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下四组向量中，互相平行的组数为( )
①a＝(2,2,1)，b＝(3，－2，－2)；
②a＝(8,4，－6)，b＝(4,2，－3)；
③a＝(0，－1,1)，b＝(0,3，－3)；
④a＝(－3,2,0)，b＝(4，－3,3)；
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵②中a＝2b，∴a∥b；③中a＝－b，∴a∥b；而①④中的向量不平行．
答案：B
2．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．1 B．2
C. D．3
解析：若l1⊥l2，则a⊥b，∴a·b＝0，
∴1×(－2)＋2×3＋(－2m)＝0，解得m＝2.
答案：B
3．已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n( )
A．7 B．－20
C．28 D．11
解析：因为m＝(0,8,3)，n＝(－1,5，－4)，所以m·n＝0＋40－12＝28.
答案：C
4．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
这四个结论中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴∥，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．
又B1Q与D1P不平行，故②不正确．
答案：C
5．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
解析：如图，令＝a，＝b，＝c，
则·＋·＋·
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a
＝0.
答案：B
6．已知二面角α-l-β的大小为，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( )
A. B.
C. D.
解析：设m，n的方向向量分别为m，n.
由m⊥α，n⊥β知m，n分别是平面α，β的法向量．
∵|cos〈m，n〉|＝cos＝，
∴〈m，n〉＝或.
但由于两异面直线所成的角的范围为，
故异面直线m，n所成的角为.
答案：B
7．巳知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )
A．(－2,2,0) B．(2，－1,0)
C. D.
解析：由＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．
又BH⊥OA，∴·＝0，
即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，
即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，
∴H.
答案：C
8．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；
④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：①|a|－|b|＝|a＋b|?a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．
答案：C
9．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120。 D．150°
解析：设向量a＋b与c的夹角为α，因为a＋b＝(－1，－2，－3)，|a＋b|＝，cosα＝＝，
所以α＝60°.
因为向量a＋b与a的方向相反，所以a与c的夹角为120°.
答案：C
10．三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：不妨设AB＝AC＝AA1＝1，
以A为原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，
所以＝(－1,0,1)，＝(0,1,1)，
cos〈，〉＝＝＝，
所以〈，〉＝60°，
所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.
答案：C
11．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D－xyz，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.
答案：A
12．在直角坐标系xOy中，设A(2,2)，B(－2，－3)，沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB的长是( )
A. B．6
C．3 D.
解析：过A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，
则||＝2，||＝2，||＝5，〈，〉＝60°，
所以2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝4＋25＋4＋2×2×2cos60°＋0＋0＝37.
||＝.故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知a＝(3λ，6，λ＋6)，b＝(λ＋1,3,2λ)为两平行平面的法向量，则λ＝________.
解析：由题意知a∥b，∴＝＝，解得λ＝2.
答案：2
14．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动， 则·的取值范围是________．
解析：如图所示，
由题意，设＝λ，其中λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝1＋λ·＝1－λ∈[0,1]．因此·的取值范围是[0,1]．
答案：[0,1]
15．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则线段CE与DF长度和的值等于________．
解析：以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设CE＝x，DF＝y，
则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，
则＝(x－1,0,1)，＝(1,1，y)，
由于AB⊥B1E，
故若B1E⊥平面ABF，
只需B1E⊥FB，
即·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0，
得x＋y＝1.
答案：1
16．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离＝________.
解析：取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图．
因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，所以＝(1，，0)，＝(0，，)，＝(0,0,2)．
设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得即取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1,1)．
又＝(0,0,2)，所以所求距离d＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)．a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．
解析：(1)因为a∥b，所以＝＝，
解得x＝2，y＝－4，
则a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，
解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
设a＋c与b＋c夹角为θ，
因此cosθ＝＝－.
18．(12分)在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果的向量．
解析：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
∴＝.
又＝(－)
＝－
＝－＝，
∴＋－
＝＋－＝(如图所示)．
19．(12分)已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90。，PD⊥底面ABCD，且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M点为PC的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.
解析：(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.
∴以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz(如图所示)．
由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2.
所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，
∴＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，
∵⊥平面PAD，
∴是平面PAD的法向量，且·＝0.
又BM?平面PAD.
∴BM∥平面PAD.
(2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点，
则＝(x，－1，z－1)，＝(0,0,2)，＝(2,1,0)，
若MN⊥平面PBD，则
∴即
∴在平面PAD内存在点N，
使MN⊥平面PBD.
20．(12分)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，面ABCD与面D1C1CD垂直，且∠D1DC＝，DC＝DD1＝2，DA＝，∠ADC＝，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(，0,0)，D1(0,1，)，C(0,2,0)，D(0,0,0)．
由＝得A1(，1，)．
∴＝(－，1，－)．
＝(，－1，－)．
∴cos〈，〉＝
＝＝－.
∴异面直线A1C与AD1所成角的余弦值为.
21．(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．
解析：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图D－xyz.
设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.
∵·＝·(0，a,0)＝0.
∴⊥，∴EF⊥CD.
(2)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
即
取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)，
∴cos〈，n〉＝＝＝.
设DB与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝.
22．(12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.
(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；
(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
解析：(1)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.而DE?平面PCD，所以BC⊥DE.又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.
而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.
而PB?平面PBC，所以PB⊥DE.
又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体DBEF的四个面都是直角三角形，即四面体DBEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.
(2)如图，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与 平 面ABCD的交线．由(1)知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD.
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD＝DC＝1，BC＝λ，
有BD＝，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，
得∠DPF＝∠FDB＝，
则tan＝tan∠DPF＝＝＝，解得λ＝.
所以＝＝.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，＝.
