课件33张PPT。1．2.1 充分条件与必要条件
1．2.2 充要条件 课时作业3 充分条件与必要条件 充要条件
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx是偶函数，
而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．
故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．
答案：A
2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙D?/丙，如图．
综上，有丙?甲，但甲D?/丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
答案：A
3．已知：p：≥1.q：|x－a|<1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．(2,3] B．[2,3]
C．(2,3) D．(－∞，3]
解析：p：≥1?2
q：|x－a|<1?a－1因为p是q的充分不必要条件，
所以有
解得2答案：A
4．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若直线a，b相交，设交点为P，则P∈α，P∈b. 又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
答案：A
5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：对于A，当a＝－b时，≠；对于B，注意当a∥b时，与可能不相等；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为____________．
解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6. 所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lgx＋lgy＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.
所以“lgx＋lgy＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
7．已知p是r的充分条件而不是必要条件，s是r的必要条件，q是r的充分条件，q是s的必要条件．现有下列命题：
①s是q的充要条件 ②p是q的充分条件而不是必要条件 ③r是q的必要条件而不是充分条件 ④r是s的充分条件而不是必要条件
则正确命题序号是________．
解析：由p是r的充分条件而不是必要条件，可得p?r，由s是r的必要条件可得r?s，由q是r的充分条件得q?r，由q是s的必要条件可得s?q，故可得推出关系如图所示：
据此可判断命题①②正确．
答案：①②
8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但q D?/p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.
答案：(－∞，1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．下列各题中，判断p是q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
解析：(1)因为|x|＝|y|Dx＝y，但x＝y?|x|＝|y|，所以p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)因为△ABC是直角三角形D△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形D△ABC是直角三角形，
所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)因为四边形的对角线互相平分D四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
所以p是q的必要条件，但不是充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝，
所以c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则＝r成立，
说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
10．已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a>0)，q：实数x满足x2－6x＋8>0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解析：设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}＝{x|a0}，
B＝{x|x2－6x＋8>0}＝{x|x>4或x<2}．
∵p是q的充分不必要条件，∴A?B.
则或解得a≥4或0故实数a的取值范围是{a|a≥4或0|能力提升|(20分钟，40分)
11．不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要而不充分条件是( )
A．a<1 B．a<0
C．0解析：要使不等式ax2－2x＋1<0的解集非空，
当a＝0时，不等式为－2x＋1<0，其解集为x>；
当a>0时，Δ＝4－4a>0，即0当a<0时，满足不等式ax2－2x＋1<0的解集非空．
所以不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的充要条件为a<1.
所以不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要而不充分条件应该比a<1的范围大．
故选D.
答案：D
12．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2解析：根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，
应有(－2，－1)?{x|(a＋x)(1＋x)<0}，
故有a>2.
答案：(2，＋∞)
13．已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.
(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；
(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
解析：(1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为命题p是q的充分条件，所以是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0的解集的子集．
因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0的两根为1和a＋2，
所以只需a＋2≥，解得a≥.
则实数a的取值范围为.
14．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明：充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，
当xy＝0时，不妨设x＝0，
得|x＋y|＝|y|，
|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．
当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0.
又当x>0，y>0时，
|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
所以等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，
所以等式成立，
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
所以|xy|＝xy，
所以xy≥0.
综上可知，“xy≥0”是“等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立”的充要条件．
