课件38张PPT。1.4 全称量词与存在量词 课时作业5 全称量词 存在量词 含有一个量词的命题的否定
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．命题“?x0∈R，x－2x0＋1＝0”的否定是( )
A．?x0∈R，x－2x0＋1≠0
B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0
C．?x∈R，x3－2x＋1＝0
D．?x∈R，x3－2x＋1≠0
解析：特称命题的否定是全称命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，故排除C；由存在量词“?”应改为全称量词“?”，故排除B.
答案：D
2．有下列四个命题：
①?x∈R,2x2－3x＋4>0；
②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；
③?x0∈N，使x≤x0；
④?x0∈N*，使x0为29的约数．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
答案：C
3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
答案：B
4．已知命题p：?x∈R,2x2＋2x＋<0，命题q：?x0∈R，sinx0－cosx0＝，则下列判断中正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
解析：因为2x2＋2x＋＝22≥0，所以p是假命题．
又sinx0－cosx0＝sin≤，故q是真命题．
所以选D.
答案：D
5．若命题“?x∈(1，＋∞)，x2－(2＋a)x＋2＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．(－∞，2]
C．[－2,2]∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：抛物线y＝x2－(2＋a)x＋2＋a开口向上，
对称轴为x＝，且Δ＝[－(2＋a)]2－4(2＋a)＝a2－4.
根据题意得Δ＝a2－4≤0或
解得－2≤a≤2或a<－2，
所以a≤2.故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
解析：①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．
答案：0
7．命题“?x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．
解析：“?x∈M，p(x)”的否定为“?x0∈M，綈p(x0)”．
∴其否定为?x0∈R,3x－2x0＋1≤0.
答案：?x0∈R,3x－2x0＋1≤0
8．设命题p：?x∈R，x2＋ax＋2<0，若綈p为真，则实数a的取值范围是________．
解析：綈p：?x0∈R，x＋ax0＋2≥0，
因为綈p为真，所对应抛物线开口向上，所以a∈R.
答案：R
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)0不能作除数；
(2)有一个实数a，a不能取对数；
(3)任何数的0次方都等于1吗？
解析：(1)是命题，但既不是全称命题，也不是特称命题．
(2)含有存在量词“有一个”，因此是特称命题．
(3)不是命题．
10．用“?”“?”写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)在直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解析：(1)?f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中，?l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3)?x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．(宁夏银川一中月考)命题p：?x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析：当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有即解得0
4.
答案：D
12．已知函数f(x)为定义在(－∞，3]上的减函数，若f(a2－sinx)≤f(a＋1＋cos2x)对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
解析：由函数的单调性得3≥a2－sinx≥a＋1＋cos2x对任意x∈R均成立，
即对任意x∈R均成立，
然后转化为函数的最值问题，
即
解得－≤a≤－.
答案：
13．写出下列命题的否定与否命题，并判断其真假性．
(1)末位数是0的整数，可以被5整除；
(2)负数的平方是正数；
(3)梯形的对角线相等．
解析：(1)命题的否定：有些末位数是0的整数，不可以被5整除；假命题．
否命题：末位数不是0的整数，不可以被5整除；假命题．
(2)命题的否定：有些负数的平方不是正数；假命题．
否命题：非负数的平方不是正数；假命题．
(3)命题的否定：有些梯形的对角线不相等；真命题．
否命题：如果一个四边形不是梯形，则它的对角线不相等；假命题．
14．已知p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，q：“?x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解析：p为真时：x2－a≥0，即a≤x2.
∵x∈[1,2]时，上式恒成立，而x2∈[1,4]，∴a≤1.
q为真时：Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2.
∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．
∴a＝1或a≤－2.
即实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．
