课件41张PPT。2．2.1 椭圆及其标准方程 课时作业7 椭圆及其标准方程
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，
∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
答案：B
2．与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：方法一 椭圆＋＝1的焦点在x轴上，故排除选项A，D.
又椭圆＋＝1中，c＝＝3，所以两焦点的坐标分别为(3,0)，(－3,0)．
椭圆＋＝1中，c＝＝，所以两焦点的坐标分别为(，0)，(－，0)．故排除选项B.
方法二 与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆系方程为＋＝1，对比各选项可知，当λ＝5时，得＋＝1.
答案：C
3．已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k<5”是“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：曲线C的方程可化为＋＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k－3>5－k>0，即4答案：A
4．设F1，F2是椭圆＋＝1的左，右焦点，点M在椭圆上，若△MF1F2是直角三角形，则△MF1F2的面积等于( )
A. B.
C.或16 D.或16
解析：由方程可知a＝5，b＝4，所以c＝＝3，
因为△MF1F2为直角三角形，所以有两种情况．
①若MF1⊥MF2，
则|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝36，①
又因为|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
所以|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝100，②
由①②可得|MF1|·|MF2|＝32，
所以S△MF1F2＝|MF1|·|MF2|＝16.
②若MF1⊥F1F2(MF2⊥F1F2时同理)时，
可设M坐标为(－3，yM)，代入椭圆方程为＋＝1，
可解得yM＝±，即|MF1|＝，
所以S△MF1F2＝|F1F2|·|MF1|＝.
综上可知△MF1F2的面积为16或.故选D.
答案：D
5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，
∴c＝，
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．椭圆：＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1.
∴m－4＝1，m＝5.
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，
∴m＝3.
答案：3或5
7．椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．
解析：由椭圆方程可知，a2＝25，所以a＝5，因为|MF1|＝2，所以|MF2|＝2a－|MF1|＝8，
连接|MF2|，在△MF1F2中，N是MF1中点，O为F1F2中点，
所以ON是△MF1F2的中位线，
所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．
解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，
∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图所示，已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点．
(1)若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于15，那么点P到另一个焦点F2的距离是多少？
(2)过焦点F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．
解析：由椭圆的标准方程可知a2＝100，所以a＝10.
(1)由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
又|PF1|＝15，所以|PF2|＝20－15＝5.
(2)△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF2|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)．
由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝40.
10．已知方程＋＝1.
(1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围．
解析：(1)依题意，有解得8(2)依题意，有解得－9(3)依题意，有解得－9|能力提升|(20分钟，40分)
11．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
所以8sinα>4，sinα>.
因为α为锐角，
所以<α<.
答案：C
12．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．
解析：依题意知a＝10，由椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|≤2＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，故|PF1|·|PF2|的最大值是100.
答案：100
13．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)．
解析：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
方法一 由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
14．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程．
解析：如图所示，连接MA.由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5>2c＝2.
又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝，b2＝a2－c2＝－1＝.
故点M的轨迹方程为＋＝1.
