课件33张PPT。第一课时 椭圆的简单几何性质 课件52张PPT。第二课时 直线与椭圆的位置关系 课时作业8 椭圆的简单几何性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析：因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
答案：D
2．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mA．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
解析：化为标准方程是＋＝1，
∵m∴焦点在y轴上，且c＝＝
答案：C
3．与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：方法一 分别算出已知椭圆及各选项中椭圆的离心率，进而作出判断，此处略．
方法二 椭圆＋＝1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两椭圆的形状、大小完全一样，只是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同．
答案：A
4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝?a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1.故选C.
答案：C
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：∵＝2，∴＝2||.
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.
解析：当焦点在x轴上时，＝?m＝3；当焦点在y轴上时，＝?m＝.
综上，m＝3或m＝.
答案：3或
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为____________．
解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1.
解得a2＝45.∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
解析：不妨设A在x轴上方，由于AB过F2且垂直于x轴，因此可得A，B，由OD∥F2B，O为F1F2的中点可得D，所以＝，＝，又AD⊥F1B，所以·＝－2c2＋＝0，即3b4＝4a2c2，又b2＝a2－c2，所以可得(a2－c2)＝2ac，两边同时除以a2，得e2＋2e－＝0，
解得e＝或e＝－，又e∈(0,1)，
故椭圆C的离心率为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求椭圆＋＝1的长轴长、短轴长和顶点坐标．
解析：根据椭圆的标准方程＋＝1，得焦点在x轴上，且a＝10，b＝6，c＝＝8.因此长轴长2a＝20，短轴长2b＝12，顶点坐标为A1(－10,0)，A2(10,0)，B1(0，－6)，B2(0,6)．
10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；
(2)过点(3,0)，离心率e＝.
解析：(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意可知解得a＝5，b＝4.
因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得a＝3，因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得b＝3，因为e＝，所以＝，把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
解析：在椭圆x2＋my2＝1中，当0所以e2＝＝＝1－m，
又所以<1－m<1，
解得0当m>1时，a2＝1，b2＝，c2＝1－，e2＝＝＝1－，
又解得m>，
综上可知实数m的取值范围是∪.
答案：C
12．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
解析：设A(m，n)，
由＝5，得B.
又A，B均在椭圆上，所以有
解得或
所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．
答案：(0,1)或(0，－1)
13．求经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
解析：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，
即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
14．若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，求椭圆的离心率e的取值范围．
解析：设点M的坐标是(x0，y0)，
则消去y0，得x＝.
因为0≤x≤a2，所以
由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，所以a2≤2c2，所以e2＝≥.
又0由②得c2－b2≤c2，此式恒成立．
综上所述，所求椭圆的离心率e的取值范围是.
课时作业9 直线与椭圆的位置关系
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B.
答案：B
2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B.
C. D.
解析：由消去y得，(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝，∴x0＝，
代入y＝1－x得y0＝.
由题意＝，∴＝，选A.
答案：A
3．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数( )
A．至多一个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：因为直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，
所以>2，
所以m2＋n2<4，
所以n2<4－m2，
所以＋<＋＝1－m2<1，
所以点(m，n)在椭圆＋＝1内部，
所以过点(m，n)的直线与椭圆有2个交点．
故选B.
答案：B
4．(高考新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：直线AB的斜率k＝＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得＝－·，
即k＝－×，
所以＝.③
又a2－b2＝c2＝9，④
由③④得a2＝18，b2＝9.
所以椭圆E的方程为＋＝1.故选D.
答案：D
5．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于( )
A．0 B．2
C．4 D．－2
解析：由题意得c＝＝，
又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时∠F1PF2＝120°.
所以·＝||·||·cos120°
＝2×2×＝－2.故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝
＝＝.
答案：
7．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
解析：右焦点为(1,0)，故直线为y＝2(x－1)．
由消去y，
得3x2－5x＝0.
所以x＝0或x＝，
从而A(0，－2)，B.
所以|AB|＝＝＝.
又O到AB的距离d＝＝，
所以S△AOB＝·|AB|·d＝××＝.
答案：
8．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，
∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，∴||min＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
解析：∵直线y＝kx＋1过定点A(0,1)．
由题意知，点A在椭圆＋＝1内或椭圆上，
∴＋≤1，∴m≥1.
又椭圆焦点在x轴上，∴m<5，
故m的取值范围为[1,5)．
10．已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l被椭圆截得的弦长．
解析：(1)法一：(根与系数关系法)由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－.
所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
法二：(点差法)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
所以＝－，即k＝－.
所以直线l的方程为x＋2y－8＝0.
(2)由题意可知直线l的方程为x＋2y－8＝0，联立椭圆方程得x2－8x＋14＝0.
法一：解方程得
所以直线l被椭圆截得的弦长为
＝.
法二：因为x1＋x2＝8，x1x2＝14.
所以直线l被椭圆截得的弦长为
＝.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，
＝－1，
＝－1，
所以×(－1)×＝－1，
所以＝.故选B.
答案：B
12．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
答案：6
13．已知椭圆＋＝1的离心率e＝.
(1)若＝3，求椭圆方程；
(2)直线l过点C(－1,0)交椭圆于A，B两点，且满足：＝3，试求△OAB面积的最大值．
解析：(1)因为椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由e＝＝，及a2＝b2＋c2，
得a2＝3b2，
又＝3，
所以a2＝3，b2＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由e＝＝，及a2＝b2＋c2，得a2＝3b2，可设椭圆的方程为＋＝1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知直线l的斜率存在，则设l的方程为y＝k(x＋1)，
由
得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－3b2＝0，
且Δ＝12(3b2－1)k2＋12b2，
因为直线l交椭圆于两点，且＝3，
所以点C在椭圆内部，
所以a>1，
所以3b2>1，所以Δ>0.
所以x1＋x2＝.
因为＝3，
所以(x1＋1，y1)＝3(－1－x2，－y2)，
所以x1＝－4－3x2，
所以x2＋1＝－，
所以|x1－x2|＝.
又O到直线l的距离为d＝，
所以S△ABO＝|AB|d
＝|x1－x2|·d
＝
＝≤，
所以当且仅当3|k|＝，即k＝±时，
S△ABO取最大值.
14．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
解析：(1)设椭圆的右焦点F2的坐标为(c,0)．
由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，
又b2＝a2－c2，则＝.所以椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0). 由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，
即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0，
故有x0＋y0＋c＝0.①
又因为点P在椭圆上，故＋＝1.②
由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－，代入①得y0＝，
即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1，y1)，则
x1＝＝－c，y1＝＝c，
进而圆的半径r＝＝c，
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.
由l与圆相切，可得＝r，
即＝c，
整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±.
所以直线l的斜率为4＋或4－.
