课件37张PPT。2．3.1 双曲线及其标准方程 课时作业10 双曲线及其标准方程
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
解析：F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
答案：D
2．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B.
C. D．(，0)
解析：将双曲线方程化为标准方程，即－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c＝＝，∴右焦点坐标为.
答案：C
3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
解析：由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1.
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案：A
4．下面各选项中的双曲线，与－＝1共焦点的双曲线是( )
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析：方法一 因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A，D；又双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以排除选项B，综上可知，选C.
方法二 与－＝1共焦点的双曲线系方程为－＝1，对比四个选项中的曲线方程，发现只有选项C中的方程符合条件(此时λ＝－2)．
答案：C
5．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A. B.
C. D．5
解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案：16
7．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|＝________.
解析：由双曲线方程－＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.
因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.
答案：33
8．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的标准方程是________．
解析：如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝＝＝.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，即a2＝.而2c＝|MN|＝2，从而c＝1，b2＝. 所以双曲线E的标准方程是－＝1.
答案：－＝1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知－＝－1，当k为何值时，
(1)方程表示双曲线？
(2)方程表示焦点在x轴上的双曲线？
(3)方程表示焦点在y轴上的双曲线？
解析：(1)若方程表示双曲线，则或解得k<－3或1(2)若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则解得1(3)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则解得k<－3.
10．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)；
(3)以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3, )．
解析：(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以2a＝
|－|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是－＝1.
(3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程是( )
A．x2－＝1(x>1) B．x2－＝1(x<－1)
C．x2＋＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1)
解析：如图，设过M，N的直线与圆C相切于R，S，
则|PR|＝|PS|，|MR|＝|MB|，|SN|＝|NB|，
所以|PM|＝|PR|＋|RM|
＝|PR|＋|MB|，
|PN|＝|PS|＋|SN|
＝|PS|＋|NB|，
所以|PM|－|PN|＝|MB|－|NB|
＝2<|MN|，
所以由双曲线定义知，P点的轨迹是以M(－3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，
因为2a＝2，所以a＝1，c＝3，
所以b2＝c2－a2＝8，
所以点P的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
故选A.
答案：A
12．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为______________．
解析：由题意可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝20.
根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a.
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，
从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
13．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
解析：已知双曲线－＝1，
由c2＝a2＋b2，
得c2＝16＋9＝25，∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为－＝1.
∵点P在双曲线上，
∴－＝1.
化简，得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝.
又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24.
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
14．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝sinC.
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
解析：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.
(2)∵sinB－sinA＝sinC，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
