课件49张PPT。2.3.2 双曲线的简单几何性质 课时作业11 双曲线的简单几何性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．双曲线x2－＝1的实轴长是( )
A．1 B．4
C．2 D．8
解析：由双曲线的标准方程得a2＝1，故a＝1，所以实轴长为2a＝2.
答案：C
2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.
答案：D
3．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：令－＝0，得＝±，所以双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较系数得a＝2.
答案：C
4．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1.
答案：B
5．(全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2
C. D.
解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为(2a，a)．
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝.故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝______.
解析：由题意知a2＝16，即a＝4，又e＝2，所以c＝2a＝8，则m＝c2－a2＝48.
答案：48
7．已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．
解析：方法一 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．
当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图所示．所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝，即＝或.
又b2＝c2－a2，∴＝3或，
∴e2＝4或，∴e＝2或.
同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有＝或，∴＝或，亦可得到e＝或2.
综上可得，双曲线的离心率为2或.
方法二 根据方法一得到：当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，则离心率e＝＝或2；
当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，则离心率e＝＝2或.
综上可得双曲线的离心率为2或.
答案：2或
8．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.
不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，
代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，
所以B.
所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
解析：双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
10．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；
(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；
(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.
解析：(1)方法一 由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0)．
由题意，得解得
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
由点M(3，－2)在双曲线上得－＝λ，得λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(4)方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．
因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．直线3x－4y＝0与双曲线－＝1的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：方法一 联立直线3x－4y＝0与双曲线－＝1的方程，得方程组无解，说明直线与双曲线没有交点．
方法二 观察可知直线3x－4y＝0是双曲线－＝1的一条渐近线，因此交点个数为0.
答案：A
12．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：如图，因为AO＝AF，F(c,0)，所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，所以>a，所以e＝>2.
答案：(2，＋∞)
13．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围．
解析：设直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离d1＝，点(－1,0)到直线l的距离d2＝.
所以s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
因为e＝，所以5≥2e2，
所以25(e2－1)≥4e4，
即4e4－25e2＋25≤0，
所以≤e2≤5(e>1)．
所以≤e≤，
即e的取值范围为.
14．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：·＝0.
解析：(1)因为离心率e＝＝，所以a＝b.
设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，
因为点(4，－)在双曲线上，
所以n＝42－(－)2＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)因为点M(3，m)在双曲线上，
故m2＝3.
又点F1(－2，0)，点F2(2，0)，
所以kMF1·kMF2＝·＝－＝－1.
所以·＝0.
