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《14.1.4整式的乘法（2）》导学案
课题 整式的乘法（2） 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．2.让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，3.培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力.
重点难点 重点：多项式与多项式相乘 难点：多项式与多项式相乘
教学过程
新 知 引 入 1、计算图①、图②的面积 2、计算x(x-2y)=_______ 想一想:如果把2中的x换成（x+y）又该怎么计算？
合作探究 探究、多项式乘以多项式问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?21教育网 你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢? 通过上述活动，你能概括出多项式与多项式相乘的法则吗？ 例1 计算:(1)(3x+1)(x+2) (2)(x-8y)(x-y) (3) (x+y)(x2-xy+y2). 例2 已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．
自主尝试 1．计算(2x－1)(5x＋2)的结果是( )A．10x2－2 B．10x2－5x－2 C．10x2＋4x－2 D．10x2－x－2 2．填空：(2x－5y)(3x－y) ＝2x·3x＋2x·________＋(－5y)·3x＋(－5y)·________＝________________________． 3.计算： (1)(x＋1)(x＋4)； (2)(m－2)(m＋3)； (3)(y＋4)(y＋5)； (4)(t－3)(t＋4)．
当堂检测 1.计算： (1)(x3－2)(x3＋3)－(x2)3＋x2·x； (2)(－7x2－8y2)·(－x2＋3y2)； (3)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y)． 2.化简求值： (x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)，其中x＝－1，y＝2； 3.求出使(3x＋2)(3x－4)>9(x－2)(x＋3)成立的非负整数解． 4.小明想把一长为60 cm、宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形． (1)若设小正方形的边长为x cm，求图中阴影部分的面积； (2)当x＝5时，求这个盒子的体积． 5.已知将(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)展开的结果不含x3和x2项．（m，n为常数） (1)求m、n的值； (2)在(1)的条件下，求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值．
小结反思 你学会了什么？
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《14.1.4整式的乘法（2）》导学案
课题 整式的乘法（2） 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．2.让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，3.培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力.
重点难点 重点：多项式与多项式相乘 难点：多项式与多项式相乘
教学过程
新 知 引 入 1、计算图①、图②的面积 2、计算x(x-2y)=_______ 想一想:如果把2中的x换成（x+y）又该怎么计算？本节课我们就一起来学习多项式乘以多项式的运算。
合作探究 探究、多项式乘以多项式为了探究多项式乘以多项式我们先来看一看这样的一个问题，或许你会从中得到启发：问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?21教育网 你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢?这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣． 学生独立思考后交换各自的解法：方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(p+q)米，因而面积为(a+b)(p+q)米2．方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：ap米2、aq米2、bp米2、bq米2，故这块绿地的面积为(ap+aq+bp+bq)米2．ww1-cn-jy.com (a+b)(p+q)和(ap+aq+bp+bq)表示同一块绿地的面积，所以有(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq注：借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到(a+b)(p+q)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是(ap+aq+bp+bq)，因此，(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq．让学生对这个结论有直观感受．【来源：21·世纪·教育·网】探究新知引导学生观察等式的左边(a+b)(p+q)是两个多项式(a+b)与(p+q)相乘，我们从刚才问题的解决过程中发现了多项式与多项式相乘的方法．com进一步引导学生，如果我们把(p+q)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(p+q)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．注：把(p+q)看成一个单项式，因学生过去接触不多，可能不易理解．实际上，这是一个很重要的思想和方法．学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把(p+q)看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了．1．做一做:(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq2．说一说:让学生试着总结●多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．例1 计算:(1)(3x+1)(x+2) (2)(x-8y)(x-y) (3) (x+y)(x2-xy+y2).答案（1）3x2+7x+2； （2）x2-9xy+8y2； （3）x3+y3.注意：教学中要强调多项式与多项式相乘的基本法则， (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)提醒学生注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号．多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．例2 已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．答案：方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答．
自主尝试 1．计算(2x－1)(5x＋2)的结果是( )DA．10x2－2 B．10x2－5x－2 C．10x2＋4x－2 D．10x2－x－2 2．填空：(2x－5y)(3x－y) ＝2x·3x＋2x·________＋(－5y)·3x＋(－5y)·________＝________________________．答案：-y,-y,6x2－17xy＋5y2 3.计算： (1)(x＋1)(x＋4)； (2)(m－2)(m＋3)； (3)(y＋4)(y＋5)； (4)(t－3)(t＋4)． 答案：（1）x2＋5x＋4 （2）m2＋m－6 （3）y2＋9y＋20 （4）t2＋t－12
当堂检测 1.计算： (1)(x3－2)(x3＋3)－(x2)3＋x2·x； (2)(－7x2－8y2)·(－x2＋3y2)； (3)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y)． 答案：（1）2x3－6 （2）7x4－13x2y2－24y4 （3）－15x2＋10xy－y2 2.化简求值： (x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)，其中x＝－1，y＝2；答案：－x2＋10xy－10y2.当x＝－1，y＝2时， 原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22＝－61. 3.求出使(3x＋2)(3x－4)>9(x－2)(x＋3)成立的非负整数解． 答案：解得x<即非负整数解为0,1,2,34.小明想把一长为60 cm、宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形． (1)若设小正方形的边长为x cm，求图中阴影部分的面积； (2)当x＝5时，求这个盒子的体积． 答案：解：(60－2x)(40－2x)＝4x2－200x＋2 400. 答：图中阴影部分的面积为(4x2－200x＋2 400)cm2 解：当x＝5时，4x2－200x＋2 400＝1 500(cm2)． 这个盒子的体积为：1 500×5＝7 500(cm3)． 答：这个盒子的体积为7 500 cm3. 5.已知将(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)展开的结果不含x3和x2项．（m，n为常数） (1)求m、n的值； (2)在(1)的条件下，求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值． 解：原式＝x5－3x4＋4x3＋mx3－3mx2＋4mx＋nx2－3nx＋4n ＝x5－3x4＋(4＋m)x3＋(－3m＋n)x2＋(4m－3n)x＋4n. ∵不含x3和x2项， ∴4＋m＝0，－3m＋n＝0.解得m＝－4，n＝－12 解：(m＋n)(m2－mn＋n2)＝m3－m2n＋mn2＋m2n－mn2＋n3＝m3＋n3. 当m＝－4，n＝－12时，原式＝m3＋n3＝(－4)3＋(－12)3＝－1792
小结反思 你学会了什么？
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(共22张PPT)
14.1.4整式的乘法（2）
人教版 八年级上
新知导入
图①的面积为：am
图②的面积为：a(m+n)
am+an
2、计算x(x-2y)=
x2-2xy
如果把x换成（x+y）又该怎么计算？
1、计算图①、图②的面积
新知讲解
问题 如图，为了扩大街心花园的绿化面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
新知讲解
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？
这块林区现在长为（a+b）米，宽为（p+q）米
(p+q)(a+b)
p(a+b)+q(a+b)
pa+pb+qa+qb
方法一：
方法二：
方法三：
新知讲解
（1）扩大后的绿地可能看成长为(a+b)米,宽为(p+q)米的长方形,所以这块绿地的面积为(a+b)(p+q)米2.
（2）扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成,所以这块绿地的面积为(ap+aq+bp+bq)米2.
因此(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
新知讲解
(a+b)(p+q)
看成一个整体，即变为单项式与多项式相乘。
a(p+q)+b(p+q)
单项式与多项式相乘运算法则。
ap+aq+bp+bq
新知讲解
多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
多项式与多项式相乘运算法则
归纳
新知讲解
例1 计算:(1)(3x+1)(x+2)； (2)(x-8y)(x-y)；
(3) (x+y)(x2-xy+y2).
解： (1) 原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2
=3x2+6x+x+2
(2) 原式=x·x-xy-8xy+8y2
=3x2+7x+2；
=x2-9xy+8y2；
新知讲解
(3) 原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2
=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
= x3+y3.
巩固练习
1．计算(2x－1)(5x＋2)的结果是( )
A．10x2－2 B．10x2－5x－2
C．10x2＋4x－2 D．10x2－x－2
2．填空：(2x－5y)(3x－y)
＝2x·3x＋2x·________＋(－5y)·3x＋(－5y)·________＝________________________．
D
－y
－y
6x2－17xy＋5y2
巩固练习
3.计算：
(1)(x＋1)(x＋4)； (2)(m－2)(m＋3)；
(3)(y＋4)(y＋5)； (4)(t－3)(t＋4)．
解：原式＝x2＋5x＋4
解：原式＝m2＋m－6
解：原式＝y2＋9y＋20
解：原式＝t2＋t－12
新知讲解
例2 已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)
＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2，
∵积不含x2的项，也不含x的项，
新知讲解
方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答．
归纳
拓展提高
1.计算：
(1)(x3－2)(x3＋3)－(x2)3＋x2·x；
(2)(－7x2－8y2)·(－x2＋3y2)；
(3)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y)．
解：原式=2x3－6
解：原式=7x4－13x2y2－24y4
解：原式=－15x2＋10xy－y2
拓展提高
2.化简求值：
(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)，其中x＝－1，y＝2；
解：原式＝x2＋3xy－2xy－6y2－(2x2－8xy－xy＋4y2)
＝x2＋xy－6y2－(2x2－9xy＋4y2)
＝x2＋xy－6y2－2x2＋9xy－4y2
＝－x2＋10xy－10y2.
当x＝－1，y＝2时，
原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22＝－61.
拓展提高
3.求出使(3x＋2)(3x－4)>9(x－2)(x＋3)成立的非负整数解．
拓展提高
4.小明想把一长为60 cm、宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个
无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同
的小正方形．
(1)若设小正方形的边长为x cm，求图中阴影部分的面积；
(2)当x＝5时，求这个盒子的体积．
解：(60－2x)(40－2x)＝4x2－200x＋2 400.
答：图中阴影部分的面积为(4x2－200x＋2 400)cm2
解：当x＝5时，4x2－200x＋2 400＝1 500(cm2)．
这个盒子的体积为：1 500×5＝7 500(cm3)．
答：这个盒子的体积为7 500 cm3.
拓展提高
5.已知将(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)展开的结果不含x3和x2项．
（m，n为常数）
(1)求m、n的值；
(2)在(1)的条件下，求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值．
解：原式＝x5－3x4＋4x3＋mx3－3mx2＋4mx＋nx2－3nx＋4n
＝x5－3x4＋(4＋m)x3＋(－3m＋n)x2＋(4m－3n)x＋4n.
∵不含x3和x2项，
∴4＋m＝0，－3m＋n＝0.解得m＝－4，n＝－12
解：(m＋n)(m2－mn＋n2)＝m3－m2n＋mn2＋m2n－mn2＋n3＝m3＋n3.
当m＝－4，n＝－12时，原式＝m3＋n3＝(－4)3＋(－12)3＝－1 792
课堂总结
1.多项式×多项式的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2.注意
不要漏乘；正确确定各符号；结果要最简
作业布置
102页练习1、2题
谢谢
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