4.2 一次函数与正比例函数学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第四章　一次函数
2　一次函数与正比例函数
要 点 讲 解
要点一　一次函数与正比例函数的概念
1. 概念：
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数.
2. 特征：
(1)一次函数的特征：①k≠0；②x的次数为1；③常数项b是任意实数.
(2)正比例函数的特征：①k≠0；②x的次数为1；③常数项b＝0.
3. 正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
经典例题1　下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
(1)y＝－x；(2)y＝－；(3)y＝－3－5x；(4)y＝－5x2；(5)y＝6x－.
解析：根据一次函数与正比例函数的概念可得出答案.
解：(1)(3)(5)是一次函数，(1)是正比例函数.
要点二　根据条件列一次函数表达式
1. 认真分析，探究实际问题中的有关信息，在此基础上建立数学模型，从而解决问题.
2. 列一次函数表达式的步骤：
(1)认真分析，理解题意；
(2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系；
(3)写出一次函数的关系式；
(4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义.
经典例题2　某种茶杯每只5元，如果买这种茶杯x只，共花去y元，那么y与x之间的函数表达式是________，它是________函数.
解析：根据相等关系，x只茶杯的价钱等于y元，建立数学关系式，再根据一次函数定义加以确定函数类型.
答案：y＝5x　正比例(或一次函数)
易错易混警示　在判断函数是否为一次函数时，易忽略k≠0
要判定一个函数是否为一次函数，就是要通过恒等变形，把它转化为y＝kx＋b的形式，即x的次数为1且k≠0，b为任意常数，否则它就不是一次函数，解题过程中易忽略k≠0这个条件，导致出错.
经典例题3　当m为何值时，函数y＝－(m－2)xm2－3＋(m－4)是一次函数？
解：因为函数y＝－(m－2)xm2－3＋(m－4)是一次函数，所以m2－3＝1，且－(m－2)≠0.所以m＝－2.
所以当m＝－2时，函数y＝－(m－2)xm2－3＋(m－4)是一次函数.
点拨：某函数是一次函数，除应符合y＝kx＋b外，还要注意条件k≠0.本题易忽略k≠0，而导致错解为m＝±2.
当 堂 检 测
1. 下列函数中，一次函数是(　　)
A. y＝6x2 B. y＝x＋6
C. y＝ D. y＝
2. 下面两个变量是正比例函数关系的是(　　)
A. 正方形的面积和它的边长
B. 变量x增加，变量y也随之增加
C. 矩形的一组对边的边长固定，它的周长和另一组对边的边长
D. 圆的周长与它的半径
3. 对于函数y＝3x－1，当自变量增加m时，相应的函数值增加(　　)
A. 3m B. 3m－1 C. m D. 3m＋1
4. 某油箱容量为60L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩余油量为yL，则y与x之间的函数表达式和自变量取值范围分别是(　　)
A. y＝0.12x，x＞0 B. y＝60－0.12x，x＞0
C. y＝0.12x，0≤x≤500 D. y＝60－0.12x，0≤x≤500
5. 已知y＝(k－2)x＋k2，当k 时，它是一次函数；当k＝ 时，它是正比例函数.
6. 若y＝(a＋1)xa2＋b－2是正比例函数，则(a－b)2019的值是 .
7. 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米/小时，则火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(小时)的函数表达式是 .
8. 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)小红去商店买笔记本，每个笔记本3.5元，小红所付买本款y(元)与买本的个数x(个)之间的关系式；
(2)有一个长为120米、宽为110米的矩形场地准备扩建，使长增加x米，宽增加y米，且使矩形的周长为500米，y与x之间的关系.
9. 某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，现在每桶水的销售价格是8元，如果用x(单位：桶)表示每天的销售数量，用y(单位：元)表示每天的利润(利润＝总销售额－固定成本－售出水的成本).
(1)试写出y与x的函数表达式；
(2)若现在固定成本增加了5%，每桶水的进价增加了1元，求此时y与x的函数表达式.
当堂检测参考答案
1. B 2. D 3. A 4. D
5. ≠2 0
6. －1
7. s＝600－58t
8. 解：(1)y＝3.5x，既是一次函数，又是正比例函数.　
(2)y＝－x＋20，是一次函数，但不是正比例函数.
9. 解：(1)由题意，得y＝8x－200－5x，故y与x的函数表达式为y＝3x－200.　
(2)由题意，得y＝8x－200×(1＋5%)－6x，故y与x的函数表达式为y＝2x－210.