4.3 一次函数的图象学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第四章　一次函数
3　一次函数的图象
要 点 讲 解
要点一　正比例函数的图象与性质
正比例函数y＝kx(k≠0)的图象及性质：
1. 正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过(0，0)和(1，k)两点的一条直线.
2. 当k＞0时，图象经过第一、三象限，y的值随x值的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y的值随x值的增大而减小.
3. 正比例函数图象的画法：作图时通常取(0，0)与(1，k)两点，再过这两点作直线.
经典例题1　在同一直角坐标系内画出正比例函数y＝x，y＝3x，y＝－x，y＝－2x的图象，并回答下列问题：
(1)上述四个函数中，y的值随着x值的增大而增大的是哪些；y的值随着x值的增大而减小的是哪些？
(2)正比例函数________，随着x值的增大，y的值增加得更快；________随着x值的增大，y的值减小得更快.
解析：因为正比例函数的图象是经过原点的一条直线，所以只要再确定原点之外的一个点就可以了；由k的符号性质可以判断y的值随x值的增减变化情况；由直线与x轴正方向夹角(锐角)的大小，可以判断y的值随x值的增加而增加(或减小)的快慢.
解：函数图象如图所示.
(1)y＝x，y＝3x；y＝－x，y＝－2x.
(2)y＝3x；y＝－2x.
点拨：|k|越大，直线与x轴的夹角(锐角)就越大，y的值随x值的增加而增加(或减小)得越快.
要点二　一次函数的图象与性质
1. 一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，b).
当k＞0时，y的值随x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小.
2. 图象所在象限：
当k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限；
当k＜0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限.
3. 两直线的位置关系：(直线l1：y1＝k1x＋b1，l2：y2＝k2x＋b2)

4. 在同一平面内，k相同且b不相同的直线相互平行，它们可以通过相互平移得到，例如直线y＝－x与y＝－x＋3平行，将直线y＝－x向上平移3个单位就是直线y＝－x＋3；同时，k不相同的直线在同一平面内一定相交，当b相同时，交点是y轴上的(0，b)点，例如直线y＝－x＋1与直线y＝3x＋1相交于点(0，1).
经典例题2　下列选项中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx(m，n为常数，且mn≠0)的图象是(　　　)
A B
C D
解析：根据一次函数的性质，A项中m＜0，n＞0，故mn＜0.两图象对m，n的要求相符，故选A.
答案：A
易错易混警示　忽视函数图象存在的多样性，解题时易漏掉某种情况
正比例函数也是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0且k，b为常数)中的“b”可以等于0，因此，做题时易漏掉“b＝0”这一情况.
经典例题3　已知一次函数y＝mx＋n的图象不经过第一象限，求m，n的取值范围.
解：当y＝mx＋n为非正比例函数的一次函数时，m＜0，n＜0；当y＝mx＋n为正比例函数时，m＜0，n＝0.综上，m＜0，n≤0.
当 堂 检 测
1. 在平面直角坐标系中，函数y＝kx(k＜0)的图象是下列的(　　)
A B C D
2. 关于正比例函数y＝－3x，下列结论正确的是(　　)
A. 图象必经过点(－1，－3) B. 图象经过第一、三象限
C. y随x的增大而减小 D. 不论x取何值，总有y＜0
3. 一次函数y＝2x－3的图象不经过(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知点P(1，m)在正比例函数y＝2x的图象上，则P点的坐标为(　　)
A. (1，2) B. (－1，－2) C. (1，－2) D. (－1，2)
5. 在正比例函数y＝－2mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P(m，5)在第 象限.
6. 点(5，－1) (填“在”或“不在”)函数y＝－0.1x＋1的图象上.
7. 一次函数y＝－2x－8的图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 .
8. 一次函数的图象经过点A(－2，1)和点B(0，－1)，则它的表达式为 .
9. 已知一次函数y＝(2m＋4)x＋(3－n).
(1)当m，n满足什么条件时，y随x的增大而增大？
(2)当m，n满足什么条件时，函数的图象经过原点？
(3)当m满足什么条件时，函数的图象平行于直线y＝2x?
10. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x，y轴分别交于点A，B，则△OAB为此函数的坐标三角形.
(1)求函数y＝－x＋3的坐标三角形的三条边长；
(2)若函数y＝－x＋b(b为常数)的坐标三角形的周长为16，求此三角形的面积.
当堂检测参考答案
1. A 2. C 3. B 4. A
5. 二
6. 不在
7. (－4，0) (0，－8)
8. y＝－x－1
9. 解：(1)由一次函数y＝kx＋b中，k＞0，y随x的增大而增大，因此2m＋4＞0，解得m＞－2.　
(2)由图象经过原点可知此函数是正比例函数，因此2m＋4≠0且3－n＝0，解得m≠－2，n＝3.　
(3)两个一次函数图象平行，则一次项系数相等，即2m＋4＝2.解得m＝－1，所以当m＝－1时.函数的图象平行于直线y＝2x.
10. 解：(1)因为直线y＝－x＋3与x轴的交点坐标为(4，0)，与y轴交点坐标为(0，3)，所以函数y＝－x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5.　
(2)直线y＝－x＋b与x轴的交点坐标为(b，0)，与y轴交点坐标为(0，b).当b＞0时，b＋b＋b＝16，得b＝4，此时，坐标三角形面积为；当b＜0时，－b－b－b＝16，得b＝－4，此时，坐标三角形面积为.综上所述，当函数y＝－x＋b的坐标三角形周长为16时，面积为.