4.4.1 求一次函数的表达式学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第四章　一次函数
4　一次函数的应用
第1课时　求一次函数的表达式
要 点 讲 解
要点一　正比例函数表达式的确定
1. 确定条件：由于正比例函数y＝kx只有一个系数k，只需求出k的值，所以只需已知图象上的一个点的坐标或一对x，y的对应值，就可以求出正比例函数的表达式.
2. 用待定系数法确定正比例函数的表达式，一般有四个步骤，归纳为“一设、二代、三求、四写”：
(1)设：设所求的正比例函数表达式的形式为y＝kx；
(2)代：把已知条件(自变量与对应的函数值)代入所设的表达式；
(3)求：解方程，求k的值；
(4)写：将所求得的系数的值代回所设的表达式，写出表达式.
经典例题1　已知正比例函数的图象经过(3，－1)，求这个正比例函数的表达式.
解析：用待定系数法求解，在y＝kx中，把x用横坐标3代入，y用纵坐标－1代入，求出k的值.
解：设所求的函数关系式为y＝kx，将点(3，－1)的坐标代入得：－1＝k·3，解得k＝－，所以这个正比例函数表达式为y＝－x.
点拨：已知一个点求正比例函数的表达式主要是学会熟练运用其中的四个步骤，求出系数后一定要代回所设的关系式，写出函数关系式，解题才算完整.
要点二　一次函数表达式的确定
一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，有两个未知系数k，b，要确定一次函数的表达式，需要两个独立的关于k，b的条件求得k，b的值.这两个条件可能以“形”的方式出现，比如已知直线y＝kx＋b上的两个点；也可能以“数”的形式出现，比如已知满足表达式y＝kx＋b的两组x，y的值；还可能既以“形”又以“数”的形式出现.我们要根据给出的条件灵活处理，进而确定一次函数的表达式.
经典例题2　已知一次函数图象如图所示，求出它的函数表达式.
解：因为图象过(0，－3)，所以b＝－3；设所求的函数关系式y＝kx－3，又因为图象过(2，0)，所以2k－3＝0，得k＝，所以这个函数的表达式为y＝x－3.
点拨：确定一次函数的表达式，要求出表达式中k，b的值，函数图象与y轴交点的纵坐标就是b的值，再根据条件列方程，求出k的值.
易错易混警示　对函数表达式的理解不清而出现错误
经典例题3　已知y与x＋3成正比例，且当x＝2时，y＝6.求y与x之间的函数表达式.
解：根据题意，设y＝k(x＋3)(k≠0).由x＝2时，y＝6，得6＝k×(2＋3)，解得k＝.所以y与x之间的函数表达式为 y＝(x＋3)，即y＝x＋.
当 堂 检 测
1. 已知正比例函数y＝kx，当x＝－2时，y＝4，那么该正比例函数应为(　　)
A. y＝x B. y＝－2x C. y＝－x D. y＝2x
2. 直线y＝kx＋b在坐标系中的位置如图所示，则(　　)
A. k＝－，b＝－1 B. k＝－，b＝1
C. k＝，b＝－1 D. k＝，b＝1
3. 若一次函数y＝kx＋b的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，则此一次函数的表达式为(　　)
A. y＝－x－2 B. y＝－x－6
C. y＝－x－1 D. y＝－x＋10
4. 已知y＝kx－6，当x＝－2时，y＝0，则k＝ .
5. 如果函数y＝kx的图象经过点(－3，4)，那么y随着x的增大而 .
6. 已知y与x＋1成正比例，且当x＝1时，y＝4，则y与x的函数表达式是 .
7. 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0，2)，N(1，3)两点，则该函数图象与x轴交点的坐标为 .
8. 已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为A(2，0)，B(0，6)，求此函数的表达式.
9. 已知函数y＝(2m＋1)x＋m＋1(x是自变量).
(1)若函数图象经过原点，求函数的表达式；
(2)若y＝(2m＋1)x＋m＋1是一次函数，且与x轴相交于点(－1，0)，求此函数的表达式.
10. 如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图象，由图象解答下列问题：
(1)此蜡烛燃烧1小时后，高度为 cm；
(2)求这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间的表达式；
(3)经过多长时间，蜡烛燃烧完毕？
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. D
4. －3
5. 减小
6. y＝2x＋2
7. (－2，0)
8. 解：由题意得：当x＝0时，y＝6，所以b＝6；当x＝2时，y＝0，所以k＝－3.则此函数表达式是y＝－3x＋6.
9. 解：(1)因为函数图象经过(0，0)，所以m＝－1，所以函数的表达式为y＝－x.　
(2)因为函数图象经过(－1，0)，由－(2m＋1)＋m＋1＝0，解得m＝0，所以函数的表达式为y＝x＋1.
10. 解：(1)7
(2)设所求的表达式为y＝kx＋b，因为点(0，15)，(1，7)在图象上，代入表达式，可求得是k＝－8，b＝15.所以所求的表达式为y＝－8x＋15(0≤x≤).　
(3)经过小时，蜡烛燃烧完毕.