河南省信阳市2020届高三9月诊断性检测数学（理）试卷 PDF版含答案

中学生标准学术能力诊断性测试2019年9月测试
数学试卷
本试卷共150分， 考试时间120分钟。
一、选择题z本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集U=R ，集合 A= {x Ix 主 2} , B = {x 11至 x至 5｝，则集合 （CuA） 门 B=
A. {x 11 < X < 2} B. {x 11 三 X 三 2} D. {xll 豆 x<2}C. {x 11 < X ::,; 2}
z
2.己知 i 为虚数单位， －＝ 1 一匀，则复数z的模为
A . .Jj B. Js c;:. 3 D. 5
3.已知函数 f(x） 满足／（2) = 1 ，设f(xo) ＝儿’则 “ Yo =1 ” 是 “ X0 =2 ” 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.双曲线 L-x2 = n(m > O,n < o）的离心率
A.与m 有关，且与n 有关 B.与 m无关，但与n 有关
c. 与m 有关，但与n无关 D.与m 无关，且与n无关
2 1
5.己知 x+4y =2(x,y > 0），则一＋ 一 的最小值为
X y
A. 4 C. 2+3-..fi. D. 3+2-..fi.B. 6
6.已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是
A. f(x）＝宁?·sin
e + 1
B. f(x) ＝尹；·sin
i+e
C. f(x）＝仨· COS X D f ( X) ＝击 COSX
｛第6题图）
7将函数 f仲.Ji sin川cos2 x 图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不知，再向右平移？个单位长
度，则所得函数图像的一个对称中心为
A. (2π ， －1) B. (-2π，一1)
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
c. (-2π，0) D. (2π，0)
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2
A.一 B.一
3 3
8 16
C.一 D. 一一
3
HJ
月
俯视图
（第8题图〉
一
俯视图
9.设函数f(x)=cos πx, g(x) =t·2
x -cos 王 （t :;,= 0），若存在 m,n E [OJ］，使得 f(m)=g(n） 成立，则实
3
数t的取值范围是
『SEE－－’f」
3
－
4
，

nv
ft1llt＼

U
＼、t1tf／
AU

，

1
7斗「ttEE’EL
D

寸Ill－－」
3
－
2
，AU
f－｜＼

川U
＼、tt1，／
nu

，

1
－
4「Il－－L
C
「iIll－l」
3－
4
AU
／lIt＼

门）
＼Ill－t／

nu

，

1一
2「llliL
B
「l1llJ
3
－
2

，AU

／erl－－＼

川U
＼1Ill－／

AU

，
1
－
2「Ili－－L
A
10. 设｛凡）是斐波那契数列，则乓 ＝ F; =1, l己 ＝P:-1 +l飞－2，右图是
输出斐披那契数列的一个算法流程图，现要表示输出斐披那契数列的前 30
项，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A. i::,; 15
B. i::,; 14
c. i::;; 29
D. i::;;30
?
口?
11.己知甲盒中有2个红球，I个蓝球，乙盒中有1个红球，2个蓝球，从甲乙两个盒中各取l球放入原来为空的丙
盒中，现从甲盒中取1个球，记红球的个数为4 ，从乙盒中取1个球2 记红球的个数为毛，从南盒中取1个球，
记红球的个数为毛，则下列说法正确的是
A. E（在）＞ E(q3 )>E（ι ）， D （在）＝ D （毛）＞ D（毛）
B. E（在）＜ E(tJc. E（?） > E(c;J > E(c;2 ),D( c;1 ) =D( c;2 ) < D(c;3 )
第2页共4页
－二一
D. E（在） < E（?3 ) 12.如图， 己知等腰三角形 ABC 中，AB=AC, 0 为
BC 的中点，动点 P 在线段 OB 上（不含端点〉，
记丘APC＝θ，现将乌4PC 沿 AP 折起至 MPC ’，
记异面直线 BC ’ 与 AP 所成的角为α，则下列一定成
立的是
／／寸
、芝才P
B
C.'
B
〈第12题图）
A. B ＞ α B ..θ＜α c. B＋α＞！！＿
2
二、填空题z本大题共4小题，每小题5分，共20分 ．
- 元 3 1 13.己知 5" = 8° = 10，则一＋ －＝
。 b
D.θ＋α＜至
2
a
刊
＋（n+2) n+3
14.己知数列 ｛aJ 满足a1 =2, ＝－一－，数列｛αJ 的通项公式为气＝a
n
+ (n + 1) n + 1
15.己知边 长为 2的正方形 ABCD, E,F分别是边 BC,DC 上的两个动点，AE +AF= xAB + yAD，若 x+y=3,
则｜坷的最小值为
、
16.叫圆咛＋ y2 =1过椭圆 C 阳山直机椭圆 C 山两点川于M点四B
在钱段 FM 上， 则旦旦L
IBFI IAFI
三、解答题＝共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17,～21题为必考题，每个试题考生都必须作
答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
〈 一 〉必考题： 60分 ．
17. Cl2分）己知也4BC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 α，b,c ，且
A A ..J2 cos--sm- ＝ －一－ ．
2 2 2
( 1)求角A的大小：
E
二 飞／＇）1
(2）当 α ＝、/7,sin(A+C)＝ 」二－， 求 c的值
14
18 .. (12分〉如图，在四棱锥 P-ABCD 中， BC l. 面 PCD, CDIIAB,
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A
B
（第18题图〉
AB=2CD=2, BC=PC=Ji., PD 土 AB.
(1）求 PD 的长：
(2）求直线 AD与面 PAB 所成角的正弦值 ．
19. （叫若数列｛a
n
｝ 前 η项和为｛SJ 且满足瓦＝主（α
n
-2）协常数，且t刊， t ;t: 1)
(1）求数列｛气｝的通项公式：
叫ι ＝1-Sn 且数列｛ι ｝为等比数列，令问 1Iog3 bn l ·批川＋ 吓；
20. ( 12分〕设函数 f(x）＝ 主 ．若存在 f(x.) = f(xi ) = t （其中x1 (1）求实数t的取值范围； (2) iiE明： 2x1x2 21. ( 12分〉如图，己知抛物线矿 ＝ 4y ，直线y=kx+l交抛物线于 A,B 两点， P 是抛
物线外一点，连接 PA,PB分别交抛物线于点 C,D，且 CD/ !AB.
(1）若 k=l ，求点 P的轨迹方程：
(2）若 PC=2CA ，且 PA 平行 X轴，求t:J'AB面积 ．
（二〉远考题＝共10分．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多傲，则按所傲的第一
题计分．作答时请写清题号．
22. ［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
I x = tcosα
（第21题图〉
在直角坐标系x句中，直线l的参数方程为｛
LY= l+tsinα
Ct 为参数）． 以坐标原点为极点，x轴正半轴为
句 12
极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＂ ＝ －一一一？·
3 +sin"()
(l} 求曲线C的直角坐标方程：
(2）设曲线 C 与直线 l 交于点 A,B 两点，求IABI的取值范围．
23. ［选修4-5：不等式选讲］ (10分）
己知正数 a,b,c 满足 α ＋ b+c=l. 求证－
be 1
(1) ? - ;
bc+ca ＋ αb 9
(2）若存在非零实数t，使得不等式 I tx-t I 一 I 2t-1 I剖1- t I + [ 2tx + 3t I 成立 ，求实数x的取值范围．
第 4 页 共 4 页
;l."
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中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 9 月测试
理科数学（一卷）答案
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B B C D A A C A B C A
二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 3
14.
22 3 1
3
n n+ +
15. 2
16. -10
三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分．
17.（12分）
解：(1)由
2
cos sin
2 2 2
A A
? =
，
得
2
1
)
2
sin
2
(cos 2 =?
AA
,即
2
1
2
cos
2
sin21 =?
AA
2
1
sin =A ， ………………………………3 分
∵ ??? A0 ，
2 2
A ?
?∴ 0< ，∵ 0
2
sin
2
cos ??
AA
, 0
2 4 2
A
A
? ?
? ? ? ?∴0< ,
所以
6
?
=A ………………………………6 分
(2)由
14
21
)sin( =+ AC ,得
14
21
sin =B
由正弦定理：
B
b
A
a
sinsin
= ,得 3=b ………………………………8 分
由余弦定理： Abccba cos2222 ?+= ，得 cc 337 2 ?+= ， 4=c 或 1?=c （舍去）
所以 4=c ………………………………12 分
18.（12分）
解：（1）∵ BC ⊥平面PCD，∴ BC PD⊥ ，
又 PD AB⊥ ， AB BC B=
∴ PD ⊥平面 ABCD， ………2 分
D
P
A
C
B
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∴ PD DC⊥ ，∴ PDC? 是直角三角形，
由已知 2, 1PC CD= = ，
∴ 1PD = . ………………………………4分
（2）解法 1：
∵ BC ⊥平面PCD，∴ BC CD⊥ ，BC PC⊥
在四边形 ABCD中，由于 / /AB CD， 2, 2, 1AB BC CD= = = ，
可以求得 3AD = ， ………………………………6 分
设D 到平面 PAB的距离为d ，直线 AD 与平面PAB所成的角为?，
则 sin
3
d d
AD
? = = ， ………………………………8 分
∵ / /AB CD ，CD?面 PAB, 面PABAB? ∴ / /CD 平面PAB，∴ C 到平面PAB
的距离也为d ，
在三棱锥B PAC? 中， P ABC C PABV V? ?= ，
∵ PD ⊥平面 ABCD，∴ PD AD⊥ ∴ 2PA = ，
又 2,BC PC BC PC= = ⊥ ，∴ 2PB = ，
∴
1 1 1 2
1 2 2
3 3 2 3
P ABC ABCV PD S? ?= ? = ? ? ? ? = ，……………………………10 分

1 3
3 3
C PAB PABV dS d? ?= = ， ………………………………11 分
∴
2
3
d = ，∴
2
sin
33
d d
AD
? = = = ，
即 直 线 AD 与 平 面 PAB 所 成 角 的 正 弦 值 为
2
3
. ………………………………12 分
解法 2：由（Ⅰ）知PD ⊥平面 ABCD，过D 作 DE AB⊥ 交 AB
于 E ，则PD DE⊥ ，
如图以D 为原点，DC 、DP、 DE 所在直线为 x轴、
y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系. ………………5 分
则 (1,0,0), ( 1,0, 2), (1,0, 2), (0,1,0)C A B P? ? ? ，
则 (2,0,0), (1,1, 2), ( 1,0, 2)AB AP DA= = = ? ? ，………6 分
E
z
y
x
D
P
A
C
B
第3页 共 7 页
设平面PAB的法向量为 ( , , )n x y z= ，
则由
0,
0,
AB n
AP n
? ? =?
?
? =??
得
0,
2 0,
x
x y z
=??
?
+ + =??
令 1z = ，可得 (0, 2,1)n = ? ， ………………………10 分
设直线 AD 与平面PAB所成的角为?，
则
2
sin | |
3| || |
n DA
n DA
?
?
= = . 即直线 AD 与平面 PAD 所成角的正弦值为
2
3
…12 分
19.（12分）
解：
（1）由题意，得： ( 2)( 0, 1)
1
n n
t
S a t t t
t
= ? ? ?
?
为常数，且
当 1n = 时，得 1 1( 2)
1
t
S a
t
= ?
?
，得
1 2a t= ………2 分
由
-1 -1
( 2)
1
( 2) 2
1
n n
n n
t
S a
t
t
S a n
t
?
= ??? ?
?
? = ? ?
? ??
（ ）
，
-1 1- = ( ),
1
n n n n n
t
S S a a a
t
?= ?
?
1?=? nn taa 2n ?（ ） ………………………………4 分
故 2 nna t= ………………………………5 分
（2）由
2
1 1 (2 2) 1 ( 1)
1 1
n n
n n
t t
b S t t
t t
= ? = ? ? = ? ?
? ?
………………………………7 分
由? ?nb 为等比数列可知：
2
2 1 3b bb= ，求得
1
3
t = ………………………………9 分
所以，
1
3
n
nb
? ?
= ? ?
? ?
，
nn
a
3
2
= ，则
n
n
nn
n
c
3
2
3
1
log
3
2
3 =?
?
?
?
?
?
?= …………………10 分
设? ?nc 的前 n 项和为 nT ，则
1 2
2 4 2
+
3 3 3
n n
n
T = + +
2 3 1
1 2 4 2
T +
3 3 3 3
n n
n
+
= + +
，相减可得
2
3
32
32
2
3
T 21 ＜nnn
n
ccc
?
+
?=+++= ? …………………12 分
20.（12分）
解：
第 19 题
第4页 共 7 页
（1） ( )
( )1
x
e x
f x
e
?
=’ …………………2 分
1 '( ) 0; 1 '( ) 0x f x x f x? ? ? ? ?时， 时，
( )xf? 在 ( )1- ，? 递增， ( )?+，1 递减，且 ( ) ( ) 11max == fxf
又?当 0?x 时， ( )xf 0? ；当 0?x 时， ( ) 0?xf ，且 ( ) 0x f x→+? →时， ，4
分
若 0t ? ，则
1 2, 0x x ?
，而 ( )f x 在 ( ,0)?? 递增，与 1 2( ) ( )f x f x= 矛盾，
10 ??? t ………5 分
（2）由（1）知： 21 10 xx ??? ，
2
2
0 1
2 1
x
x
? ? ?
?

要证： 21212 xxxx +? 成立，只需证： 1
12 2
2
1 ?
?
?
x
x
x …………………6 分
( )xf? 在 ( )1- ，? 递增，故只需证： ( ) ( ) ??
?
?
??
?
?
?
?=
12 2
2
12
x
x
fxfxf
即证：
( )
( ) 012 2
12
1
12
2
1
2
2
???
?
?
?
?
?
?
?
??
xe
x
x
…………………8 分
令 112 2 ??= xu ，只需证： ( )10
1
2
1
???
?
?
?
?
?
?
?
uue u
u
，即证：
( )10
1
2
1
ln ???
?
?
?
?
?
?? u
u
uu …………………10 分
令 ( ) ?
?
?
?
?
?
??=
u
uuu
1
2
1
ln? ( )
( )
,0
2
1
u
2
2
?
?
?=
u
u’??
) 1 +u?? ?（ 在（， ）上单调递减
( ) ( ) .01u =?? ?? 证毕 …………………12 分
（其他证法酌情给分）
21.（12分）
解：（1）解法 1： / /CD AB，设 1 1 2 2 0 0, , ( , ) ( , ), ( , )PC CA PD DB A x y B x y P x y? ?= =
由
2
2
1
4 4 0
4
y kx
x kx
x y
= +?
? ? ? =?
=?

1 2
1 2
4
4
x x k
x x
+ =?
??
? = ??
…………………2分
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2
0 1
0 1 4( , )
1 1
y x
x x
C
?
?
? ?
+
+
+ +
…………………3 分（由定比分点公式，或向量相等得到），代
入抛物线得：
2
0 1
20 1 4( ) 4
1 1
y x
x x
?
?
? ?
+
+
= ?
+ +
，化简得： 2 2
1 0 1 0 02 4(1 ) 0x x x y x? ? ?? + + ? = ……4 分，
同理得：
2 2
2 0 2 0 02 4(1 ) 0x x x y x? ? ?? + + ? =
所以
1 2,x x 为方程
2 2
0 0 02 4(1 ) 0x x x y x? ? ?? + + ? = 的两根，将 1k = 代入
1 2 0 02 4 4 2x x x k x+ = = = ? = …………………5 分
且
2
0 0
1 2
4(1 )
4
y x
x x
?
?
+ ?
= = ? ①
将
0 2x = 代入① ，得 0
4 4 1 2
1 ( 0)
4(1 ) 1 1
y
? ?
?
? ? ?
? ?
= = = ? + ?
+ + +

0 ( 1,1)
2(-1 1)
y
P x y
? ? ?
? = ? ?点 的轨迹方程为
…………………6分
解法 2：同解法 1知 1 2 4x x+ = …………………5 分
1 4
4
D C D C
CD AB C D
D C
y y x x
k k x x
x x
? +
= = = = ? + =
?
，设线段 ,AB CD 的中点分别为
,M N ，
易知 , ,M N P 三点共线， (MN MP? ?? = 为实数），所以 0 2Mx x= = ，………6 分，
以下同解法 1.
（ 2 ） 由
1 2,x x 为 方 程
2 2
0 0 02 4(1 ) 0x x x y x? ? ?? + + ? = 的 两 根 ， 可 得 ：
1 2 0 02 4 2x x x k x k+ = = ? = .
…………………7 分
由（1）得
2
0 0
1 2
4(1 )
4
y x
x x
?
?
+ ?
= = ?
，
?

2PC CA= ，
? =2? ，得：
2
0
2
3 3
k
y = ? …………………8 分
第6页 共 7 页
/ /AC x轴且A,C在抛物线上， ,A C y? 关于 轴对称，
0 1 12 2
1 3
c
x x k x
x
?
?
+ +
= =
+ ，
1
1 1
2 2 2
3 5
k x k
x x
+
? = ? ? = ?
22 2
( , )
5 3 3
k k
C? ?
.
C在抛物线上,
2
2 22 2 25=4 )
5 3 3 11
k k
k? ? ? =（ ） （ …………………12 分
设 AB 的中点为 M ，则
( )
22 2
1 2 1 2 21 2
21 1
( ) =2 1
2 4 2 4
M
x x x xx x
y k
+ ?+
= ? = ? +
，
，又
2 2
1 2 1 2 1 2( ) 4 4 1x x x x x x k? = + ? = +
2
2 2 2 3
1 2 0
1 1 2 10 720 11
4 1 2 1 ( 1) =
2 2 3 3 3 121
PAB M
k
S x x y y k k k?? = ? ? ? = ? + ? + ? + = +

…………………12 分
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分.作答时请写清题号.
22．【选修 4?4：坐标系与参数方程】（10 分）
解：（1）由
?
?
2
2
sin3
12
+
= ，可得： ( ) 12sin3 22 =+ ?? ，
2 23 4 12x y+ = ，即曲线C 的直角坐标方程为：
2 2
1
4 3
x y
+ = …………4分
（2）将直线 l 的参数方程
cos ,
1 sin
x t
y t
?
?
=?
?
= +?
代入
2 2
1
4 3
x y
+ = ，可得：
( ) 08sin8sin4cos3 222 =??++ tt ???
依题意，△>0 ，设 A,B对应的参数分别为 1 2,t t ，
则
1 2 2 2
1 2 2 2
8sin
3cos 4sin
8
3cos 4sin
α
t t
α α
t t
α α
??
+ =?? +
?
?? ? =
? +?
……………………………………6 分
????
?
22
2
2221 sin4cos3
32
sin4cos3
sin8
+
+?
?
?
?
?
?
+
=?= ttAB
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=
?
?
??
??
2
2
22
22
sin3
1sin64
sin4cos3
cossin264
+
+
=
+
+
……………………………8 分
令
ssin1 2 =+ α
， ? ?2,1s? ，
则 2
s 1 4 6
4 6 4 6 2 3
22 3
AB ,
s
s
s
? ?
= ? = ? ? ? ?
+ ? ?+
当 s 2= 时， AB 取最大值2 3 ；当s 1= 时， AB 取最小值
4 6
3
……10分
23．【选修 4?5：不等式选讲】（10 分）
（1）证明：
1
.
1 1 1
abc
bc ca ab
a b c
=
+ +
+ +
9)111())(
111
(
111 2 =++?++++=++ cba
cbacba
，
当且仅当
1
=
3
a b c= = = 时，“ ”成立 ……………………………………3 分
1 1
.
1 1 1 9
a b c
? ?
+ +
?
1
.
9
abc
bc ca ab
?
+ +
……………………………………5 分
（2）解：依题意得：存在非零实数 t 使不等式
| 2 1| |1 |
| 1| | 2 3 |
| |
t t
x x
t
? + ?
? ? + ? 成立
| 2 1| |1 | | 2 1 1 |
1
| | | |
t t t t
t t
? + ? ? + ?
? =
?只需 | 1| | 2 3| 1x x? ? + ? ……6 分
当
2
3
??x 时，原式1 2 3 1x x? + + ? ，即 3x ? ?
3
3
2
x?? ? ? ? ………………7 分
当 1
2
3
??? x 时，原式1 2 3 1x x? ? ? ? ，即 1x ? ?
3
1
2
x?? ? ? ? ………………8 分
当 1x ? 时，原式 1 2 3 1x x? ? ? ? ，即 5x ? ? x? ?? ………………………9 分
综上所得，x的取值范围为[ 3, 1]? ? ………………………………10 分