河南省信阳市2020届高三9月诊断性检测数学（文）试卷 PDF版含答案

中学生标准学术能力诊断性测试2019年9月测试
文科数学试卷
本试卷共 150 分， 考试时间 120 分钟。
一、选择题 z 本大题共 12 小题，每小题§分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 己知集合 A= {-1, 0, 1}, B= {yly =lx+ll,xe A｝，则A门 B=
A. {-1, O} B. {O, 1} C. ｛一1, 1} D. {-1,0,1}
E牛川
2. 己知复数 z＝? （其中i为虚数单位），则lzl=
A. Ji B. l C. .J26 D. ffe
2 2 · lO 10
3. 若向量a, b 满足 I a I= L I b I= 2，且 l3a-bl=ffi，则向量 a, b 的夹角为
A. 30。 B. 60。 C. 120 。 D. 150。
π
4. 为得到函数 y = cos(2x-3）的图象，只需将函数 y =sin(2x+3）的图象
A. 向左平移：个长度单位 B. 向右平移？个长度单位
C. 向左平移王个长度单位 D. 向右平移主个长度单位
12 12
5. 阅读算法流程图，运行相应的程序，则输出的 k 是
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
〈第5题图〉
6. 某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高. 2018 年全年总收入与 2017 年全年总收入相比
增长了 一倍，实现翻番．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给
第 l 页 共 4页
出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是
一－＋－－ 2017 年运营成本结构 －－… 2018 年运营成本结构
0.4
0.3
0.2
0.1 0.15
、、、
、、
、
ω·

2
骨
肉U
，
0.15
、田0.05
设备 工资 研发 原材料 其它
A. 该企业 2018 年设备支出金额是 2017 年设备支出金额的一半
B. 该企业 2018 年支付工资金额与 2017 年支付工资金额相当
C. 该企业 2018 年用于研发的费用是 2017 年用于研发的费用的五倍
D. 该企业 2018 年原材料的费用是 2017 年原材料的费用的两倍 J
7. 将直线 3x+y ＋ α ＝ 0 沿 x 轴向右平移 1 个单位，所得直线与圆x2 + y2 +2x-6y =0 相切，则实数
a 的值为
A. 一7 或13 B. 7 或－13 C. 1 或－19 D. 一 l 或19
lx-y 注 0
，
8. 设变量 x 、y满足约束条件 h+y 泣 ，则立乓三的最小值为
I X － 斗[3x-y-6三0
A. -4
2
D. 2B. -3 c.
9函数 f(x）＝ 芜的大致图象是
Le''
-I 仁产＼
＼叫。l
－；仁？～
～」升0 i
！〉‘
一升。
--:t:--
10. 已知抛物线 y2 =2px(p>O） 的焦点为 F，直线l:2x÷y-12=0与抛物线交于 M,N 两点，且以
线段MN 为直径的圆过点F，则 p=
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
11. 己知数列｛a，，｝的前 n 项和乱＝2(a11 -2
＂ ） ＇，若不等式 2对 －n-3豆ma,1对任意 neN ＊ 恒成立，则
实数m的最小值是
1 l _ 3 3
A.ι B.一 . C. － ’ D.一
3 2 8 4
12. 若函数 f(x) = ax3 -5ax2 .:...I xi 有四个不同的零点，则实数 α 的取值范围是
第2页 共4页
20. Cl2分）已知椭圆 E· ！.＿＋ 丘 ＝ l(a>b>O）的左焦点罚，直线 l : 2x -3 y - 6 = 0 与y轴交于点P,. a2 b2
25
A. （一－，0) B. (-1，－土）
25
二、填空题z本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 在区间［1,16］上随机选取一个实数 x ，则事件 “ log
3
x-2 泣。 ” 发生的概率为
D. （一∞，一土）
25
25
C. (-oo,-4)
｜飞／x-1,x>I
14. 设函数f(x) =i
, .. ，则使 l12-eX,x 运 l
15. 若双曲线兰一云＝l(a＞协例右焦点 F俐，右顶点A 到一条渐近线的距离吟，则双
B 在x 轴上的射影恰为F;.A为椭圆的右顶点，且与椭圆交于A,B 两点，曲线的离心率为
16. 长方体 ABCD-Ai鸟C1D1 中，若 AD 习，CDL =4，则当ADL +AC 最大时，三棱锥鸟 －ACD 的 ( 1)求椭圆E的方程：
(2) M为椭圆 E 在第一象限部分上一点，直线MP 与椭圆交于另一点N，若sl!,.R剧 ： SMBN ＝λ，
求λ的取值范围．
体积为
三、解答题z共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答． 21. Cl2 分〉设 A,B为函数 y=f(x）图象上相异两点，且 A,B 的横坐标之积为常数 k(k 养的，若
y= f(x）在 A,B 两点处的切线存在交点，则称这个交点为函数f(x）的 “ S(k）点 ” ．〈
一）·必考题： 60 分 ．
cosA ·'"c 一 押
17. 02分） 在A ABC 中，a b c分别为角A B,C 的对边，且 一一＝ 二?一二.C＝立 ．
’ cosB b
’
4 (1）求函数f(x）＝ 泛的 “ S(2）点” 的纵坐标的取值范围：
(2）判断函数f(x)=Jnx 的 “ S(l）点”在哪个象限，并说明理由．
（二）选考题 z 共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选 一题作答，如果多做，则按所傲的第一题计
分．作答时请写清题号．
22. ［选修 4-4：坐标系与参数方程选讲J oo分〉
频率／组距
0.040
(2）若h=./5 ，求！：：，. ABC 的面积 s.
18. ( 12 分）某高中学校决定开展 “数学知识竞赛” 活动，各班
(1)求cosA 的值；
lx=2cosθ
在平面直角坐标系中，曲线cl :x
2 + y2 -4x=0 ，曲线C －? （ θ为参数），以坐标原点
2 ? \ y = .J3 sin B
b
＋
“
”

』
白＋EE＋

－
鸭
”
－

4···ay

a
饲
“
”

‘

．

噜
－
－
－
－
－
－
－
－
－

－
－
－←ll』ll←
6
0
f
’EA
唱’A
rb
nu
nu
nu
nu

级都进行了选拔，高三一班全体同学都参加了考试，将他们的
分数进行统计，并作出如右图的频率分布直方图和分数的茎叶
。为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
图（其中 ，茎叶图中仅列出了得分在 ［50,60), [90,100］的数据〉．
50. 60 70 80 90 100成绩
(1）求曲线Ct , C2 的极坐标方程：
π
(2）在极坐标系中，射线θ＝一与C1 ,C2分别交于 A,B 两点（异于极点。 〉，定点M(5,0） ，求A
3
1 2 2 4 6 6 7 7ζJ
ro
『I
06
hy
(1）求高三一班学生的总数和频率分布直方图中 α 、b的值：
(2）在高三一班学生中，从竞赛成绩在80分以上〈含80分〉的
MAB 的面积．
23. ［选修4-5：不等式选讲］ (10分）
i 学生中随机抽取 2 名学生参加学校 “ 数学知识竞赛 ”，求所抽
I 2 4 取的 2 名学生中至少有一人得分在［90,100］内的概率．
己知函数f(x) =l3x-l l-2] x+ll.
19. Cl2分〉如图，四棱锥P-ABCD 的底面为平行四边形， AB为半圆的直径， D在半圆上， PD1-
(1） 解不等式f(x) <4;
(2） 若关于x的不等式f(x)+5 I x+ll<-a2 ＋旬的解集不是空集，求 G 的取值范围 ．
第4页 共4页
E是 PC 的中点．
(2）求点C到平面 BDE 的距离 ．
第3页 共4页
平面 ABCD ，且 PD=AD=l,AB=2,
(I）求证： PAIi 平面 BDE;
第1页 共 6 页
中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 9 月测试
文科数学（一卷）答案
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A C D C C A B A B C D
二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.
7
15
14. ( ,0) (4,9)??
15. 2
16.
3
8
三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分．
17.（12分）
17.解：（1）在△ ABC 中，由
cos 5
cos
A c a
B b
?
= 可得， cos ( 5 )cosb A c a B= ? ，
又由正弦定理可知，sin cos ( 5sin sin )cosB A C A B= ? ， ………………2 分
即 sin( ) 5sin cosA B C B+ = ，
因为 sin( ) sin 0A B C+ = ? ，所以
5
cos
5
B = ，则
2 5
sin
5
B = . …………4 分
所以
π π π 10
cos cos( ) cos( ) cos cos sin sin
4 4 4 10
A B C B B B= ? + = ? + = ? + = .…6 分
（2） 在△ ABC 中，
3 10
sin
10
A = ， ……………………………7 分
由正弦定理可知，
sin sin
b c
B C
= ，所以
sin 5 2
sin 4
b C
c
B
= = ， ………………10 分
所以△ ABC 的面积
1 15
sin
2 8
S bc A= = . ……………………………12 分
18.（12分）
解：（1）由题意可知，高三一班学生的总数为
8
=50
0.016 10?
，
3
=0.006
50 10
a =
?
，
0.100 0.006 0.010 0.016 0.040 0.028b = ? ? ? ? = . ……………………………6 分
（2）由题意可知，分数在[80,90) 内的学生有 5 人，记这 5 人分别为
1a ， 2a ， 3a ， 4a ， 5a ，
第2页 共 6 页
分数在[90,100]内的学生有 3 人，记这 3 人分别为
1b ， 2b ， 3b . …………………8 分
抽取的 2 名学生的所有情况有 28 种，分别为：
（
1a ， 2a ），（ 1a ， 3a ），（ 1a ， 4a ），（ 1a ， 5a ），（ 1a ， 1b ），（ 1a ， 2b ），（ 1a ， 3b ），（ 2a ，
3a ），
（
2a ， 4a ），（ 2a ， 5a ），（ 2a ， 1b ），（ 2a ， 2b ），（ 2a ， 3b ），（ 3a ， 4a ），（ 3a ， 5a ），
（
3a ， 1b ），
（
3a ， 2b ），（ 3a ， 3b ），（ 4a ， 5a ），（ 4a ， 1b ），（ 4a ， 2b ），（ 4a ， 3b ），（ 5a ， 1b ），
（
5a ， 2b ），
（
5a ， 3b ），（ 1b ， 2b ），（ 1b ， 3b ），（ 2b ， 3b ）， ……………………………10 分
其中这 2 名同学的分数都不在[90,100]内的情况有 10 种，分别为：
（
1a ， 2a ），（ 1a ， 3a ），（ 1a ， 4a ），（ 1a ， 5a ），（ 2a ， 3a ），（ 2a ， 4a ），（ 2a ， 5a ），
（
3a ， 4a ），（ 3a ， 5a ），（ 4a ， 5a ）， ……………………………11 分
所以抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率为
10 9
1
28 14
? = . ……12 分
19.（12分）
证明：
（1）连结 AC 交 BD 于O ，连结OE ，由 ABCD 为平行四边形，
可知O 为 AC 的中点，
在△ ACP 中， //OE PA ， ……………………2 分
OE ?平面 BDE ， PA? 平面BDE ，
所以 //PA 平面 BDE ． ……………………………4 分
（2）根据 AB为半圆的直径，D在半圆上，可得 90ADB? = ?，
即 AD BD⊥ ， …………………………5 分
由 PD ⊥ 平面 ABCD ， AD ? 平面 ABCD ， CD ? 平面 ABCD ，所以 PD AD⊥ ，
PD CD⊥ ，
PD BD D= ，所以 AD ⊥平面PBD ， ……………………………7 分
又 //AD BC ，所以 BC ⊥平面PBD ， PB ?平面PBD ，所以 BC PB⊥ ，…………8 分
在Rt △ PBC 中，E 为 PC 的中点，所以
1
2
BE PC= ，同理，
1
2
DE PC= ，故BE DE= ，
在Rt △ PAD 中， 2PA= ，故
2
2
OE = ，在Rt △ ABD中， 3BD = ，
在等腰△ BDE 中，
1 1 2 6
3
2 2 2 4
BDES BD OE? = ? = ? ? = ，…………………………10 分
第 19 题
第3页 共 6 页
由 PD ⊥平面 ABCD ， E 是 PC 的中点，则 E 到平面 ABCD 的距离为
1
2
PD，
设点C 到平面 BDE 的距离为 h ，则由
C BDE E BCDV V? ?= ，得：
1 1 1
3 3 2
BDE BCDS h S PD? ?? = ? ，得
2
2
h = ，
即点C 到平面 BDE 的距离为
2
2
． …………………………12 分
20.（12分）
解：（1）由题意可知 ，故 ， ……………………………1 分
设 ( 0)c ? ，则
2
( , )
3
b
B c? ? ，代入 ，得
22 6 0c b? + ? = ，又
2 2 2b a c= ? ，
所以 ， ……………………………2 分
解得 ，或 （舍），故 ，
所以椭圆 的方程为 ． ……………………………4 分
（2）设坐标原点为 ，由于
，则 ，故
， ……………………………6 分
由题意可知 ，设直线 的方程为
2
( )
3
k ? ， ， ，
则 ，得 ， ……………………………7 分
所以 ， ，
又 ， ，得 ， ……………………………8 分
则 （*），消去 可得： ，………………9 分
(3,0)A 3a =
1( ,0)F c? 2 3 6 0x y? ? =
2 2 3 0c c+ ? =
1c = 3c = ? 2 2b =
E
2 2
1
9 8
x y
+ =
O
1
1
| | | | sin
| | | | 3 | |2
1 | | | | | |
| | | | sin
2
PMA
PBN
PA PM APM
S AO PM PM
S OF PN PN
PB PN BPN
??
?
? ? ?
?
= = = =
?
? ? ?
| |
| | 3
PM
PN
?
=
3
PM PN
?
= ?
(0, 2)P ? MP 2y kx= ? 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y
2 2
1
9 8
2
x y
y kx
?
+ =?
?
? = ??
2 2(9 8) 36 36 0k x kx+ ? ? =
1 2 2
36
9 8
k
x x
k
+ =
+
1 2 2
36
9 8
x x
k
?
=
+
1 1( , 2)PM x y= + 2 2( , 2)PN x y= + 1 2
3
x x
?
= ?
2 2
2
2 2
36
(1 )
3 9 8
36
3 9 8
k
x
k
x
k
?
?
?
? =?? +
?
??? =
? +?
2x
2 2
2
(3 ) 36
3 9 8
k
k
?
?
?
=
+
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由于 ，则 ，
，解得 ，或 ．………………11 分
又根据 在第一象限，所以 ， ，根据（*）式，
，可知 ，得 ，
综上可知， 的取值范围是 ． …………………………12 分
21.（12分）
解：（1）由题意可知，
3( )f x x= 的“ (2)S 点”中常数 ，
设
3( , )A t t ，
3
2 8
( , )B
t t
，A，B 为函数 ( )y f x= 图象上相异两点，故 0t ? ，且 2t ? ? ，
由于
2( ) 3f x x? = ，所以函数
3( )f x x= 在 A， B 两点处的切线方程分别为：
2 33 2y t x t= ? ，
2 3
12 16
y x
t t
= ? ， ……………………………2
分
联立
2 3
2 3
3 2
12 16
y t x t
y x
t t
? = ?
?
?
= ??
?
，消去 x，得
4 2(4 ) 8 (2 )t y t t? = ? ，
所以
2
8
2
t
y
t
=
+
， ……………………………3 分
故
8
2
y
t
t
=
+
，由于
2
( , 2 2) (2 2, )t
t
+ ? ?? ? +? ， ……………………………4 分
所以 ( 2 2 0) (0 2 2)y? ? ， ， ，
即函数
3( )f x x= 的“ (2)S 点”的纵坐标的取值范围是 ( 2 2 0) (0 2 2)? ， ， . ………5 分
（2）函数 ( ) lnf x x= 的“ (1)S 点”在第一象限.
由题意可知， ( ) lnf x x= 的“ (1)S 点”中常数 ，
设 ( , ln )A t t ，
1 1
( , ln )B
t t
， A， B 为函数 ( )y f x= 图象上相异两点，故 0t ? ，且 1t ? ，
由于
1
( )f x
x
? = ，所以函数 ( ) lnf x x= 在 A， B 两点处的切线方程分别为：
2
3
k ?
2
2 2
36 32 4
4 ( ,4)
9 8 9 8 3
k
k k
= ? ?
+ +
24 (3 )
4
3 3
?
?
?
? ? 9 9 6 2?? ? + 9 6 2 1?? ? ?
M
1 0x ? 2 0x ?
2 2
36
(1 )
3 9 8
k
x
k
?
? =
+
1 0
3
?
? ? 3? ?
? (9,9 6 2)+
2k =
1k =
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1
ln 1y x t
t
= + ? ， ln 1y tx t= ? ? ， ……………………………6 分
联立
1
ln 1
ln 1
y x t
t
y tx t
?
= + ??
?
? = ? ??
，消去 y 得，
2
2 ln
1
t t
x
t
=
?
，
当 (0,1)t? 时， ln 0t ? ，
2 1 0t ? ? ，所以 0x ? ，
当 1t ? 时， ln 0t ? ，
2 1 0t ? ? ，所以 0x ? ，
所以当 0t ? ，且 1t ? 时， 0x ? . ……………………………7 分
故
2 2
2 2
2ln ln ln 1
ln 1
1 1
t t t t t
y t
t t
+ ? +
= + ? =
? ?
， ……………………………8 分
令
2 2( ) ln ln 1g t t t t t= + ? + ，当 (0,1)t? 时，则
1
( ) 2 lng t t t t
t
? = + ? ，
令
1
( ) 2 lnh t t t t
t
= + ? ， (0,1)t? ，则
2
1
( ) 2ln 1 0h t t
t
? = + ? ? ， …………………10 分
故
1
( ) 2 lnh t t t t
t
= + ? 在 (0,1) 上单调递减， ( ) ( ) (1) 0g t h t h? = ? = ，
故 ( )g t 在 (0,1) 上单调递增， ( ) (1) 0g t g? = ，即
2 2ln ln 1 0t t t t+ ? + ? ，…………11 分
又
2 1 0t ? ? ，所以
2 2
2
ln ln 1
0
1
t t t t
y
t
+ ? +
= ?
?
，
当 1t ? 时，同理 0y ? ，
所以函数 ( ) lnf x x= 的“ (1)S 点”在第一象限. ……………………………12 分
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分.作答时请写清题号.
22．【选修 4?4：坐标系与参数方程】（10 分）
解：（1）曲线
1C 的极坐标方程为：
2 2 2 2cos sin 4 cos 0? ? ? ? ? ?+ ? = ，
即 4cos? ?= . ……………………………2 分
曲线
2C 的普通方程为：
2 2
1
4 3
x y
+ = ， ……………………………3 分
则曲线
2C 的极坐标方程为：
2 2 2 2cos sin
1
4 3
? ? ? ?
+ = ，
即 2
2
12
3 sin
?
?
=
+
. ……………………………5 分
（2）由（1）得：点 A的极坐标为
π
(2, )
3
，点 B 的极坐标为
4 5 π
( , )
5 3
， ………………6 分
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所以
4 5 10 4 5
| | | 2 |
5 5
AB
?
= ? = ， ……………………………7 分
(5,0)M 点到射线
π
( 0)
3
? ?= ? 的距离为
π 5 3
5sin
3 2
d = = ， ………………………9 分
所以△MAB 的面积为
1 1 10 4 5 5 3 5 3 2 15
| |
2 2 5 2 2
AB d
? ?
? = ? ? = ． …………………………10 分
23．【选修 4?5：不等式选讲】（10 分）
解：（1）由题意可得：
3, 1
1
( ) 5 1, 1
3
1
3,
3
x x
f x x x
x x
?
?? + ? ?
?
?
= ? ? ? ? ??
?
?
? ??
?
， ………………………………1 分
当 1x ? ? 时， 3 4x? + ? ，得 1x ? ? ，无解； ………………………………2 分
当
1
1
3
x? ? ? 时， 5 1 4x? ? ? ，得 1x ? ? ，即
1
1
3
x? ? ? ； ………………………………3
分
当
1
3
x ? 时， 3 4x ? ? ，得 7x ? ，即
1
7
3
x? ? ； ………………………………4 分
所以不等式的解集为：{ | 1 7}x x? ? ? ． ………………………………5 分
（2） ( ) 5 | 1| | 3 1| 3 | 1| | 3 1| | 3 3 | 4f x x x x x x+ + = ? + + = ? + + ? ，……………………………7 分
则根据题意可得：
2 5 4a a? + ? ， ………………………………9 分
解得：1 4a? ? ． ………………………………10 分