2018-2019学年黑龙江省哈尔滨156中九年级（上）月考数学试卷（11月份）（五四学制）（原卷+解析版）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨156中九年级（上）月考数学试卷（11月份）（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）的相反数是　　
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算一定正确的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）关于的二次函数，下列说法正确的是　　
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小
D．图象与轴的交点坐标为
5．（3分）反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为　　
A． B． C． D．
7．（3分）下列命题中，正确命题的个数是　　
①垂直于弦的直径平分这条弦；
②有理数与数轴上的点是一一对应的；
③平行四边形对角互补；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，和分别是的直径和弦，且，，交于点，若，则的长是　　
A．5 B． C． D．
9．（3分）如图，在中，是的中点，是上一点，，连接并延长，交的延长线于，则　　
A． B．2 C． D．
10．（3分）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．设行驶时间为，货车的路程为，小轿车的路程为，图中的线段与折线分别表示，与之间的函数关系．则以下说法中正确的有　　
①甲乙两地相距；
②；
③线段所在直线的函数表达式：；
④小轿车停车休整后还要提速行驶或小时，与货车之间相距
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（每小3分，共计30分）
11．（3分）是指直径小于等于2.5微米（即0.00025厘米）的颗粒物，0.00025厘米用科学记数法表示为　　厘米．
12．（3分）函数中，自变量的取值范围是　 　．
13．（3分）把多项式分解因式的结果是　　
14．（3分）抛物线的顶点坐标为　　．
15．（3分）如图，在边长为9的正三角形中，，，则的长为　 　．
16．（3分）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为　 　．
17．（3分）如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知，点的坐标为，则点的坐标为　　．
18．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加　 　．
19．（3分）等腰内接于，若半径为，底边长为，则这个等腰三角形的腰长　　．
20．（3分）如图，已知在正方形中，是边上一点（不和，重合），过点做交延长线于点．连接，交于点，连接，交于点．若，，则的长为　 　．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题备8分，25-27题各10分，共计60分
21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中．
22．（7分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且；
（2）在（1）的条件下，在图中画以为边且面积为3的，点在小正方形的格点上，使，连接，直接写出线段的长．
23．（8分）国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整）．其中分组情况：组：时间小于0.5小时；组：时间大于等于0.5小时且小于1小时；组：时间大于等于1小时且小于1.5小时；组：时间大于等于1.5小时．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）组的人数是　 　人，并补全条形统计图；
（2）本次调查数据的中位数落在组　 　；
（3）根据统计数据估计该地区25 000名中学生中，达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有　 　人．
24．（8分）在四边形中，，平分，平分．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，过点作交延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与 面积相等的三角形除外）
25．（10分）有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？
（2）如果甲工程队每天需工程费700元，乙工程队每天需工程费500元，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用低于7900元，则两工程队最多可合作施工多少天？（注工作天数取整数）
26．（10分）内接于，点在边上，射线交于点，．
（1）如图，求证：；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）在（1）的条件下，的延长线交于点，的延长线交圆于点，过点作于点，交于点，若平分，且时，．求的长．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，的坐标，，过点和的抛物线与直线交于点，且点的纵坐标为．
（1）求，的值；
（2）点是第一象限内直线下方的抛物线上一点，过点作于，若点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）在（2）的条件下，已知是轴上一点，且点的纵坐标与点的横坐标相同，过点作轴交的延长线于点，连接，当时，过点作于，交于点，连接．求的长．

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨156中九年级（上）月考数学试卷（11月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）的相反数是　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：的相反数是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）下列运算一定正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据整式的运算法则与二次根式的运算法则即可即可求出答案．
【解答】解：（A）原式，故错误；
（B）原式，故错误；
（C）原式，故错误；
故选：．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）关于的二次函数，下列说法正确的是　　
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小
D．图象与轴的交点坐标为
【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：，且，，是常数），它的对称轴是，顶点坐标是．
【解答】解：这个函数的顶点是，
函数的开口向下，对称轴是，
在对称轴的左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧随的增大而减小．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性．
5．（3分）反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．
【解答】解：当时，随的增大而增大，
，
解得，
故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大．
6．（3分）如图，在半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为　　
A． B． C． D．
【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出的长，进而根据垂径定理得出答案．
【解答】解：如图，过作于，交于，
，，
，
又，
中，，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出的长是解题关键．
7．（3分）下列命题中，正确命题的个数是　　
①垂直于弦的直径平分这条弦；
②有理数与数轴上的点是一一对应的；
③平行四边形对角互补；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据垂径定理、有理数、平行四边形的性质和平行线的判定进行判断即可．
【解答】解：①由垂径定理可知垂直于弦的直径平分这条弦，正确；
②实数与数轴上的点是一对应的，而非只是有理数，故错误；
③平行四边形的对角相等，但不一定互补，故错误；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，是假命题；
故选：．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确熟练掌握相关定理判断得出是解题关键．
8．（3分）如图，和分别是的直径和弦，且，，交于点，若，则的长是　　
A．5 B． C． D．
【分析】在中，已知了的长和的度数，根据直角三角形的性质可求得的长，也就得到了直径的值，连接，同理可在中求出的长，由即可得解．
【解答】解：连接；
中，，，则，；
在中，，，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质和圆周角定理的应用，难度不大．
9．（3分）如图，在中，是的中点，是上一点，，连接并延长，交的延长线于，则　　
A． B．2 C． D．
【分析】过点作，交于，依据相似三角形的性质，即可得到，进而得出，可得，即可得到．
【解答】解：如图，过点作，交于，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，过作，构造相似三角形是解决此题的关键．
10．（3分）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．设行驶时间为，货车的路程为，小轿车的路程为，图中的线段与折线分别表示，与之间的函数关系．则以下说法中正确的有　　
①甲乙两地相距；
②；
③线段所在直线的函数表达式：；
④小轿车停车休整后还要提速行驶或小时，与货车之间相距
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：由图可得，
甲乙两地相距，故①正确，
，故②正确，
设线段所在直线的函数表达式为，
，得，
即线段所在直线的函数表达式：，故③正确，
设所在的直线解析式为，
，得，
所在的直线解析式为，
令，
解得，，，
则小轿车停车休整后还要提速行驶小时或小时，与货车之间相距，故④正确，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（每小3分，共计30分）
11．（3分）是指直径小于等于2.5微米（即0.00025厘米）的颗粒物，0.00025厘米用科学记数法表示为　　厘米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）函数中，自变量的取值范围是　且　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围．
【解答】解：根据题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．（3分）把多项式分解因式的结果是　　
【分析】首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14．（3分）抛物线的顶点坐标为　　．
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【解答】解：，
该抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
15．（3分）如图，在边长为9的正三角形中，，，则的长为　7　．
【分析】先根据边长为9，，求出的长度，然后根据和等边三角形的性质，证明，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得的长度，即可求出的长度．
【解答】解：是等边三角形，
，；
；
，
，
又，
，
则，
即，
解得：，
故．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得是解答此题的关键．
16．（3分）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为　　．
【分析】先得到抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律得到点平移后的对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线的顶点坐标为，把点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为．
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
17．（3分）如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知，点的坐标为，则点的坐标为　，　．
【分析】连接，如图，根据圆周角定理得到则为直径，即点在上，，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到点坐标．
【解答】解：连接，如图，
，
为直径，即点在上，
，
点的坐标为，
，
，
，
点坐标为，，
故答案为，．
【点评】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
18．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加　　．
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点，
抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，和可求出为的一半2米，抛物线顶点坐标为，
通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入点坐标，
到抛物线解析式得出：，所以抛物线解析式为，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
，
解得：，
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
19．（3分）等腰内接于，若半径为，底边长为，则这个等腰三角形的腰长　或　．
【分析】连结，作于，根据垂径定理得，再利用等腰三角形的性质得到点、、共线，在中利用勾股定理计算出，然后分类讨论：当为锐角三角形时和当为钝角三角形时再利用勾股定理分别计算即可．
【解答】解：连结，作于，则，
垂直平分，
，
点在直线上，即点、、共线，
在中，，，
，
当为锐角三角形时，如图1，，
在中，，
当为钝角三角形时，如图2，，
在中，，的长为或．
故答案为或．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．利用垂径定理构建直角三角形是常用的方法，注意分类讨论思想的灵活运用．
20．（3分）如图，已知在正方形中，是边上一点（不和，重合），过点做交延长线于点．连接，交于点，连接，交于点．若，，则的长为　　．
【分析】如图作于交于，于，取的中点，连接、．首先证明四边形是正方形，由，推出，推出，，，由，推出，推出，推出，由，推出，由，可得，由此即可求出．
【解答】解：如图作于交于，于，取的中点，连接、．
，
，
、、、四点共圆，
，，
，，
，
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，
，
易证，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
易证，
，
、、、四点共圆，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，本题的综合性比较强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题备8分，25-27题各10分，共计60分
21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中．
【分析】把式子中的括号内的两个分式进行通分相减，把除法转化成乘法，然后计算乘法即可对分式进行化简，把中的特殊角的三角函数值代入，进行化简，然后把的值代入化简以后的分式即可计算求解．
【解答】解：原式
，
，
则原式．
【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
22．（7分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且；
（2）在（1）的条件下，在图中画以为边且面积为3的，点在小正方形的格点上，使，连接，直接写出线段的长．
【分析】（1）如图，作，且边，才能满足条件；
（2）作，连接，则是以为边且面积为3的三角形，连接，，则．
【解答】解：（1）如图，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
是直角三角形，且，
；
（2）如图，，
，，，
，，
，
，，
，
．
【点评】本题是三角形的作图题，考查了等腰直角三角形的性质和判定及勾股定理及其逆定理的运用，并按条件作出三角形；本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
23．（8分）国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整）．其中分组情况：组：时间小于0.5小时；组：时间大于等于0.5小时且小于1小时；组：时间大于等于1小时且小于1.5小时；组：时间大于等于1.5小时．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）组的人数是　50　人，并补全条形统计图；
（2）本次调查数据的中位数落在组　 　；
（3）根据统计数据估计该地区25 000名中学生中，达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有　 　人．
【分析】（1）根据题意和统计图可以得到组的人数；
（2）根据（1）中补全的统计图可以得到这组数据的中位数落在哪一组；
（3）根据统计图中的数据可以估计该地区达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数．
【解答】解：（1）由统计图可得，
组人数为：，
故答案为：50，补全的条形统计图如右图所示，
（2）由补全的条形统计图可得，中位数落在组，
故答案为：；
（3）由题意可得，
该地区25 000名中学生中，达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有：（人，
故答案为：14000．
【点评】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
24．（8分）在四边形中，，平分，平分．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，过点作交延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与 面积相等的三角形除外）
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得，再根据等腰三角形三线合一可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．
【解答】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
设、相交于点，
又平分，
，，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2），，
，
，
四边形是平行四边形，
，
图中所有与 面积相等的三角形有，，，．
【点评】本题考查了菱形的判定，主要利用了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形和菱形的判定．
25．（10分）有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？
（2）如果甲工程队每天需工程费700元，乙工程队每天需工程费500元，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用低于7900元，则两工程队最多可合作施工多少天？（注工作天数取整数）
【分析】（1）设乙工程队每天完成米，则甲工程队每天完成米．根据甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天，列方程求解；
（2）设两工程队合作施工天，则根据“支付工程队总费用低于7900元”列出不等式．
【解答】（1）设乙工程队每天完成米，则甲工程队每天完成米．
解得
经检验：是原方程的解
答：甲、乙两工程队每天分别完成300米、600米；
（2）设两工程队合作施工天，则
且取整数
取最大整数
答：两工程队最多可合作施工4天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
26．（10分）内接于，点在边上，射线交于点，．
（1）如图，求证：；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）在（1）的条件下，的延长线交于点，的延长线交圆于点，过点作于点，交于点，若平分，且时，．求的长．
【分析】（1）延长交于点，连接，由圆周角定理可得，由题意可证，可得，可得结论；
（2）延长交于点，由直角三角形的性质可得，由垂径定理可得，由线段垂直平分线的性质可得；
（3）连接，延长交延长线于点，连接，设，，可得，通过相似三角形的性质和勾股定理可求的值，即可求的长．
【解答】证明：（1）如图，延长交于点，连接，
是直径
，
（2）如图，延长交于点，
，且过圆心
，且
（3）如图，连接，延长交延长线于点，连接，
平分
，且，
，
设，，
，
，
，
，，且
，且
，且，
，
，
四边形是圆内接四边形
，
，
，
，且，
，且
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，的坐标，，过点和的抛物线与直线交于点，且点的纵坐标为．
（1）求，的值；
（2）点是第一象限内直线下方的抛物线上一点，过点作于，若点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）在（2）的条件下，已知是轴上一点，且点的纵坐标与点的横坐标相同，过点作轴交的延长线于点，连接，当时，过点作于，交于点，连接．求的长．
【分析】（1）由点的纵坐标为，令，求出点坐标，抛物线过原点，则知，把，，代入，解得、的值．
（2）过作平行于轴的直线交于点，交轴于点，依题意及由图象设点、、．易证明．利用相似比即可求出与的函数关系式．
（3）依题意画图，结合已知条件证明出，由相似比得，根据直线与线段所在直线垂直，可设直线的解析式为，用相似比求出点实际坐标并代入求出’，则可得所在直线解析式为，由轴得点纵坐标为，代入解得，，再由勾股定理得的长度值为，代入即可解出的长度值．
【解答】解：（1）点纵坐标为，且在直线上
令，解得，
点坐标为．
又抛物线过原点
，即．
把，、代入上式得，
，解得，
（2）由（1）得，抛物线解析式为．．
如图1，过作平行于轴的直线交于点，交轴于点．
依题意及由图象设点、、．
则，．
在中，由勾股定理得，
又在第一象限
．
又，
，即
整理得，．
（3）如图2，
由点的纵坐标与点的横坐标相同且在轴上，则设．
轴
又
．
又
．
又
．
在与中
又
又在与中
．
又于点
在与中
又
．
由，则
．
又由得，，即
解得，或（舍去）．
又
把代入上式得，
解得，．
故点坐标为，．
又
设所在的直线解析式为，
把，代入上式得，
解得，．
直线的解析式为，．
又轴
点纵坐标为
令．
解得，．
点坐标为，．
所以．
在中，由勾股定理得，
．
由得，
解得，．
【点评】本题考查了利用数形结合的思想与待定系数法求解函数解析式的能力，另一方面考查了利用相似三角形进行相似比得转化，从而化简题目求解数值的技巧．