2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市道里区光华中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（五四学制）（原卷+解析版）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市道里区光华中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（五四学制）
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是　　
A． B．7，23，25 C．8，15，17 D．9，40，41
2．（3分）下列函数中，是的正比例函数的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）下列方程中，不是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）在平行四边形中，，则的度数是　　
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在平行四边形中，平分，，则平行四边形的周长为　　
A．4 B．8 C．12 D．16
6．（3分）小明沿着坡角为的坡面向下走了2米，那么他下降　　
A．1米 B．米 C． D．
7．（3分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是　　
A．平行四边形 B．正方形 C．等腰梯形 D．矩形
8．（3分）一个矩形的两条对角线的夹角有一个角为，且这个角所对的边长为，则矩形的对角线长是　　
A． B． C． D．
9．（3分）中，，，，则的值是　　
A． B． C． D．
10．（3分）、两地相距20千米，甲、乙两人都从地去地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程（千米）与时间（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米小时；
④乙先到达地．
其中正确的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（每题3分，共30分）
11．（3分）方程的解为：　 　．
12．（3分）点在第四象限，则直线不经过第　 　象限．
13．（3分）如图所示，以直角三角形的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则　 　．
14．（3分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点，结果他在水中实际游了，求该河流的宽度为　 　．
15．（3分）已知与成正比例，且当时，，则与之间的函数关系式是　　．
16．（3分）一个三角形三边满足，则这个三角形是　 　三角形．
17．（3分）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于　 　．
18．（3分）如图，直线经过，且与直线交于点，则不等式的解集为　　．
19．（3分）四边形为菱形， 该菱形的周长为 16 ，面积为 8 ，则为　 　度 ．
20．（3分）如图：在平行四边形中，平分交边于，交边于，延长到，使，若，，，则　　．
三、解答题：（共60分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中
22．（7分）图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个四边形，满足以下要求：
（1）在图1中画出一个四边形，点在小正方形的顶点上，且此四边形为轴对称图形；
（2）在图2中画出一个四边形，点在小正方形的顶点上，且；
（3）直接写出图2中四边形的面积．
23．（8分）如图，在某建筑物上挂着宣传条幅，小明站在点处，看条幅顶端，测得仰角为，再往条幅方向前行40米到达点处，看到条幅顶端，测得仰角为．
（1）求宣传条幅的长（小明的身高不计，结果保留根号）；
（2）若小明从点到点用了80秒钟，按照这个速度，小明从点到点所用的时间为多少秒？
24．（8分）在平行四边形中，点在上，点在上，连接、、、，．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若是的中点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以为边或以为对角线的所有平行四边形．
25．（10分）已知：，，，设．
（1）求的长；
（2）求的值；
（3）设，求的值．
26．（10分）已知：四边形为正方形，点是上一点，点是上一点，连接，且平分，连接．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，过作交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若的面积为3，，求的长．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．
（1）求的值；
（2）点从点出发，以5个单位长度秒的速度沿轴负半轴方向运动，过作直线直线于点，直线交轴于点（点不与重合，在线段上），设点的运动时间为，的长度为，求与的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若为等腰三角形时，求点的坐标．

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市道里区光华中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是　　
A． B．7，23，25 C．8，15，17 D．9，40，41
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：、，故是直角三角形，故此选项错误；
、，故不是直角三角形，故此选项正确；
、，故是直角三角形，故此选项错误；
、，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选：．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．（3分）下列函数中，是的正比例函数的是　　
A． B． C． D．
【分析】一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．
【解答】解：、是一次函数，故本选项错误；
、是反比例函数，故本选项错误；
、即为，是正比例函数，故本选项正确；
、是二次函数，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义：形如是常数，的函数叫做正比例函数．
3．（3分）下列方程中，不是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【分析】一元二次方程是含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式组成的方程．
【解答】解：因为选项是分式组成的方程．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．（3分）在平行四边形中，，则的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用平行四边形的对角相等，邻角互补即可得出答案．
【解答】解：如图所示：四边形是平行四边形，
，，
，
，
的度数是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键．
5．（3分）如图，在平行四边形中，平分，，则平行四边形的周长为　　
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】在平行四边形中，平分，利用平行线的性质可证，为等腰三角形，又，则四边形为菱形，根据菱形的性质求周长即可．
【解答】解：四边形为平行四边形，
，，
平分，
，
，
，
四边形为菱形，
四边形的周长．
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定与性质．解题的关键是根据平行四边形的性质，平分，得出为等腰三角形．
6．（3分）小明沿着坡角为的坡面向下走了2米，那么他下降　　
A．1米 B．米 C． D．
【分析】利用所给角的正弦函数求解．
【解答】解：如图，，，．
他下降的高度（米．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数定义的应用．
7．（3分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是　　
A．平行四边形 B．正方形 C．等腰梯形 D．矩形
【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．
【解答】解：如图，、分别是、的中点，
且，
同理，且，
且，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
又根据三角形的中位线定理，，，
，
平行四边形是矩形．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，以及矩形的判定，连接四边形的中点得到的四边形的形状主要与原四边形的对角线的关系有关，原四边形的对角线相等，则得到的四边形是菱形，原四边形对角线互相垂直，则得到的四边形是矩形，连接任意四边形的四条边的中点得到的四边形都是平行四边形．
8．（3分）一个矩形的两条对角线的夹角有一个角为，且这个角所对的边长为，则矩形的对角线长是　　
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质可得，可得，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，，，，
，且，
，
，，
故选：．
【点评】本题考查了矩形性质，等边三角形性质和判定，主要考查学生运用定理进行计算和推理的能力．
9．（3分）中，，，，则的值是　　
A． B． C． D．
【分析】由三角函数的定义，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边易得答案．
【解答】解：如图，，，
所以，
由三角函数的定义可得，
则，
故选：．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念．掌握“锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边”是解题的关键．
10．（3分）、两地相距20千米，甲、乙两人都从地去地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程（千米）与时间（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米小时；
④乙先到达地．
其中正确的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】观察函数图象，从图象中获取信息，根据速度，路程，时间三者之间的关系求得结果．
【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；
乙出发小时后追上甲，故②错误；
甲的速度为：（千米小时），故③正确；
乙的速度为：（千米小时），
则甲到达地用的时间为：（小时），
乙到达地用的时间为：（小时），
，
乙先到达地，故④正确；
正确的有3个．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息．
二、填空题：（每题3分，共30分）
11．（3分）方程的解为：　，　．
【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
【解答】解：移项得：，
即，
于是得：或．
则方程的解为：，．
故答案是：，．
【点评】本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．
12．（3分）点在第四象限，则直线不经过第　二　象限．
【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，进而判断相应的直线经过的象限．
【解答】解：点在第四象限内，
，，
直线经过第一三四象限．
不经过第二象限．
故答案为：二
【点评】此题考查一次函数的性质，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
13．（3分）如图所示，以直角三角形的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则　12　．
【分析】根据勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：直角三角形，
，
，，，，，
．
故答案为12．
【点评】此题是勾股定理题目，解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之间的关．
14．（3分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点，结果他在水中实际游了，求该河流的宽度为　480　．
【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
【解答】解：根据图中数据，运用勾股定理求得米．
【点评】考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．
15．（3分）已知与成正比例，且当时，，则与之间的函数关系式是　　．
【分析】设，即，将、的值代入，求解得出的值即可；
【解答】解：设，即，
将、代入，得：，
解得：，
与之间的函数关系式是．
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据所给的条件利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
16．（3分）一个三角形三边满足，则这个三角形是　直角　三角形．
【分析】化简等式，可得，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．
【解答】解：，即，所以，
则这个三角形为直角三角形．
故答案为：直角．
【点评】考查了勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单．
17．（3分）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于　　．
【分析】先根据正方形网格的特点及勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：所在的直角三角形的两边分别为：2，4，
．
．
【点评】本题比较简单，考查的是锐角三角函数的定义及正方形网格的特点．
18．（3分）如图，直线经过，且与直线交于点，则不等式的解集为　　．
【分析】由函数图象可知，当时，的图象位于的上方，从而可得答案．
【解答】解：直线经过，且与直线交于点，
当时，的图象位于的上方，即，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，由图象可直接得本题的答案，但仍有不少同学会去解不等式来求解，这是对一次函数与一元一次不等式的关系不明确所致．
19．（3分）四边形为菱形， 该菱形的周长为 16 ，面积为 8 ，则为　 30 或 150 　度 ．
【分析】此题菱形的形状不确定所以要分当为钝角和锐角时分别求出的度数即可 ．
【解答】解： 如图 1 所示： 当为钝角， 过作，
菱形的周长为，
，
面积为 8 ，
，
，
，
当为锐角是， 过作，
菱形的周长为，
，
面积为 8 ，
，
，
，
故答案为： 30 或 150 ．
【点评】本题考查了菱形的性质、 菱形的面积公式以及在直角三角形中角的性质， 题目的综合性较强， 难点在于要分类讨论， 防止漏解 ．
20．（3分）如图：在平行四边形中，平分交边于，交边于，延长到，使，若，，，则　　．
【分析】首先延长、相交于点，过点作于点，连接，进而得出的长，再利用勾股定理得出的长，即可得出的长．
【解答】解：延长、相交于点，过点作于点，连接，
，
，，
而，
，
，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
设，可得：，
，
解得：，
，
即，
解得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
三、解答题：（共60分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式，
当时，原式．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（7分）图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个四边形，满足以下要求：
（1）在图1中画出一个四边形，点在小正方形的顶点上，且此四边形为轴对称图形；
（2）在图2中画出一个四边形，点在小正方形的顶点上，且；
（3）直接写出图2中四边形的面积．
【分析】（1）构造等腰梯形即可．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
（3）利用分割法求四边形的面积即可．
【解答】解：（1）如图四边形即为所求．
（2）如图四边形即为所求．
（3）．
【点评】本题考查作图轴对称变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．（8分）如图，在某建筑物上挂着宣传条幅，小明站在点处，看条幅顶端，测得仰角为，再往条幅方向前行40米到达点处，看到条幅顶端，测得仰角为．
（1）求宣传条幅的长（小明的身高不计，结果保留根号）；
（2）若小明从点到点用了80秒钟，按照这个速度，小明从点到点所用的时间为多少秒？
【分析】（1）设，根据勾股定理及直角三角形的性质表示出、长，利用等角对等边易得，那么就求得了长，进而求得长．
（2）根据（1）的结果可求得，根据已知求得小明的速度，然后根据速度、时间、路程的关系即可求得．
【解答】解：设
在中，，
．
由勾股定理得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
答：建筑物的长为．
（2），，
，
小明的速度为（米秒），
小明从点到点所用的时间为秒
答：小明从点到点所用的时间为120秒．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
24．（8分）在平行四边形中，点在上，点在上，连接、、、，．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若是的中点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以为边或以为对角线的所有平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，由证明，得出，即可得出四边形是平行四边形；
（2）由中点的定义得出，由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：是的中点，
，
以为边的平行四边形有平行四边形、平行四边形、平行四边形、平行四边形；
以为对角线的平行四边形有．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出是解决问题（1）的关键．
25．（10分）已知：，，，设．
（1）求的长；
（2）求的值；
（3）设，求的值．
【分析】（1）利用正弦三角函数定义作答；
（2）由勾股定理求得的长度，然后由正切三角形函数定义解答；
（3）过点作于点，利用角平分线的性质得到，设，则，利用勾股定理列出方程并解答，然后由正切三角形函数的定义作答．
【解答】解：（1），，，
，
；
（2）在直角中，由勾股定理得到：．
则；
（3）如图，是的角平分线，则．
过点作于点，则，
设，则，
易得，
．
由得：
．
．
【点评】考查了勾股定理，同角三角函数的关系，需要掌握锐角三角形函数的定义．解答（3）题，注意辅助线的作法．
26．（10分）已知：四边形为正方形，点是上一点，点是上一点，连接，且平分，连接．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，过作交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若的面积为3，，求的长．
【分析】（1）作于．想办法证明，，推出，即可解决问题；
（2）只要证明，由，，推出即可解决问题；
（3）由，设，，推出，，，由，推出，推出，推出，，由，推出，推出，可得，由此构建方程求出，作于．构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）作于．
四边形是正方形，
，，
，，，
，
，
，
，，
，，
，
，，，
，
，
，
．
（2）如图2中，
，
，
，
，，
，
．
（3）如图3中，
，设，，
，，，
由，
，
，
，，
，
，
，
，
，
或（舍弃），
，，，作于．
，
，
，
在中，，，，
．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．
（1）求的值；
（2）点从点出发，以5个单位长度秒的速度沿轴负半轴方向运动，过作直线直线于点，直线交轴于点（点不与重合，在线段上），设点的运动时间为，的长度为，求与的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若为等腰三角形时，求点的坐标．
【分析】（1）先求出一次函数和坐标轴的交点，即可求出的值；
（2）根在点的右边和左边两种情况进行分类讨论，结合相似，即可表示出；
（3）根在点的右边和左边两种情况进行分类讨论，列出关于的方程即可．
【解答】解：
（1）把代入，得，
所以，
令，得，解得
所以，
所以，
（2）①当在的右边时，
直线于点
②当在的左边时，
同理得
（3）①当在的右边时，若为等腰三角形时，则，
所以
由（2）得，
解得
②当在的左边时，若为等腰三角形时，则
根据得
解得
综上所述的坐标为或
【点评】本题考查一次函数图象，锐角三角函数，相似三角形，勾股定理，方程等知识，综合性较强，需要分类讨论容易产生漏解．