2018-2019学年上海市浦东新区第四教育署九年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）（原卷+解析版）
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年上海市浦东新区第四教育署九年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）（原卷+解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 846.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-31 10:31:17 | ||
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文档简介
2018-2019学年上海市浦东新区第四教育署九年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）已知，那么等于
A． B． C． D．
2．（4分）已知，下列说法中，错误的是
A． B． C． D．
3．（4分）将一个四边形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是
A．四边形的边长扩大为原来的2倍
B．四边形的各角扩大为原来的2倍
C．四边形的周长扩大为原来的2倍
D．四边形的面积扩大为原来的4倍
4．（4分）已知中，，分别是边，上的点，下列各式中，不能判断的是
A． B． C． D．
5．（4分）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是
A． B． C． D．．
6．（4分）已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为
A．90 B．180 C．270 D．3600
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 厘米．
8．（4分）已知，顶点、、分别与、、对应，若，的周长是，则的周长是 ．
9．（4分）已知点是线段的黄金分割点，厘米，则较长线段的长是 厘米（结果保留根号）．
10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积比为 ．
11．（4分）如果直角三角形的斜边长是6，那么该直角三角形的重心到直角顶点的距离是 ．
12．（4分）已知中，，是边上的高，，，则 ．
13．（4分）如图，，，则 ．
14．（4分）已知：在梯形中，，，对角线与相交于点，， ．
15．（4分）已知如图，在菱形中，于，，，则菱形的周长为 ．
16．（4分）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于 ．
17．（4分）如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点，如果的面积是，那么平行四边形的面积是 ．
18．（4分）在正方形中，已知，点在边上，且，如图．点在的延长线上，如果与点、、所组成的三角形相似，那么 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知：，且，求、、的值．
20．（10分）如图：，分别交、、于点、、，已知，，，，求、的长．
21．（10分）如图，是平行四边形的对角线上一点，射线交于点，交的延长线于点，求证：．
22．（10分）如图，中，是中点，，已知，求．
23．（12分）如图，在中，，点在上
（1）已知：，，，求的长；
（2）取，的中点，，连接，，，求证：．
24．（12分）已知：如图，在梯形中，，点在边上，与相交于点，，，，．
（1）求证：；
（2）求线段的长．
25．（14分）如图，在梯形中，，，，，是上的一个动点不与点、点重合），且满足条件：，交于点．
求证：；
（2）如果，，求与之间的函数关系式；
（3）点在运动过程中，能否成为等腰三角形，若能，求的值，若不能，说明理由．
2018-2019学年上海市浦东新区第四教育署九年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）已知，那么等于
A． B． C． D．
【分析】直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案．
【解答】解：，
设，则，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．
2．（4分）已知，下列说法中，错误的是
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质（合分比定理）来解答．
【解答】、如果，那么、．所以由，得，故该选项正确；
、如果那么、．所以由，得，故该选项正确；
、由得，，所以；又由得，即．故该选项错误；
、由得，；又由得，．故该选项正确；
故选：．
【点评】本题主要考查的合分比定理和更比定理．
①合比定理：如果，那么、；
②分比定理：如果那么、；
③合分比定理：如果那么、、、；
④更比定理：如果那么、、、．
3．（4分）将一个四边形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是
A．四边形的边长扩大为原来的2倍
B．四边形的各角扩大为原来的2倍
C．四边形的周长扩大为原来的2倍
D．四边形的面积扩大为原来的4倍
【分析】两个图形相似的条件是：对应比边的比相等，对应角相等．
【解答】解：放大前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，放大后的倍数就是相似比，
选项：，，正确，
故选：．
【点评】本题考查相似多边形的判定，对应边的比相等，对应角相等．两个条件应该同时成立．
4．（4分）已知中，，分别是边，上的点，下列各式中，不能判断的是
A． B． C． D．
【分析】若使线段，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定．
【解答】解：如图，
若使线段，则其对应边必成比例，
即，，故选项、正确；
，即，故选项正确；
而，故选项答案错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例判定线段平行的问题，能够掌握其性质，并能够通过其性质判定两直线平行．
5．（4分）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是
A． B． C． D．．
【分析】设地图上，甲乙两地的距离是，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．
【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是，
根据题意，得：，
解得：，
即地图上，甲乙两地的距离是，
故选：．
【点评】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
6．（4分）已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为
A．90 B．180 C．270 D．3600
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，设出两个相似三角形的面积，再根据二者面积的差为80列出方程解答即可．
【解答】解：两个相似三角形的一组对应高的长分别为15，5，
两三角形的相似比为，
其面积比为，
设两相似三角形的面积分别为和，
根据题意列方程得，，
．
则较大正六边形的面积为90，
故选：．
【点评】此题考查了“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，根据一组对应高的长分别为15，5，求出面积比是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 4 厘米．
【分析】根据线段比例中项的概念，可得，可得，故的值可求．
【解答】解：线段是、的比例中项，
，
解得，
又线段是正数，
．
故答案为4．
【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
8．（4分）已知，顶点、、分别与、、对应，若，的周长是，则的周长是 ．
【分析】根据相似三角形的性质：周长比相似比，即可解决问题；
【解答】解：，，
的周长：的周长，
的周长是，
的周长是．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（4分）已知点是线段的黄金分割点，厘米，则较长线段的长是 厘米（结果保留根号）．
【分析】根据黄金分割点的定义，知较长线段；则．
【解答】解：由于为线段的黄金分割点，
且较长线段；
则．
故本题答案为：厘米．
【点评】理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．
10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积比为 ．
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．
【解答】解：两个相似三角形的相似比为，
它们的面积比为．
故答案为．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
11．（4分）如果直角三角形的斜边长是6，那么该直角三角形的重心到直角顶点的距离是 2 ．
【分析】首先根据题意作图，然后由，，为的重心，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得的长，又由重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，即可求得这个直角三角形的重心到直角顶点的距离．
【解答】解：根据题意的：，，为的重心，
，，
，，
．
故答案为：2．
【点评】此题考查了直角三角形的性质与三角形重心的性质．解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍定理的应用．
12．（4分）已知中，，是边上的高，，，则 ．
【分析】在直角中，利用射影定理求得的长度．
【解答】解：在中，，
，即，
．
故答案为：
【点评】此题主要考查了射影定理，关键是熟练掌握射影定理．
13．（4分）如图，，，则 ．
【分析】先根据，得出，进而得出，再根据，得到，进而得到的值 ．
【解答】解：，
，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质， 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似， 这是判定三角形相似的一种基本方法 ． 相似的基本图形可分别记为“”型和“”型， 在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形 ．
14．（4分）已知：在梯形中，，，对角线与相交于点，， 8 ．
【分析】根据已知条件得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．
【解答】解：，
，
又，
，
则，
故答案为：8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形面的比等于相似比的平方，以及梯形的特征和应用，熟练掌握相似三角形面的比等于相似比的平方是解决本题的关键．
15．（4分）已知如图，在菱形中，于，，，则菱形的周长为 ．
【分析】因为于，，，易得的长；又因为菱形的四条边都相等，所以可以求得菱形的周长．
【解答】解：，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
菱形的周长为．
【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．还考查了勾股定理的应用．
16．（4分）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到．
【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
17．（4分）如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点，如果的面积是，那么平行四边形的面积是 12 ．
【分析】由平行四边形的两组对边分别平行得到，所以，由相似三角形的性质得的面积为4，所以的面积为2，然后延长、交于点，得到的面积为8，所以四边形的面积为5，从而求得平行四边形的面积．
【解答】解：延长、交于点，
四边形为平行四边形，
，
的面积是，
的面积为4；
的面积为2，
且，
的面积为8，
，
四边形的面积为5，
所以平行四边形的面积为．
故答案为12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定、性质等知识，是一道几何综合题，考查了学生们综合运用知识的能力．
18．（4分）在正方形中，已知，点在边上，且，如图．点在的延长线上，如果与点、、所组成的三角形相似，那么 12 ．
【分析】首先由四边形是正方形，可得，；又由，可求得与的长；再从与入手分析，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的长．
【解答】解：如图：
四边形是正方形，，
，，
，
，；
，
，
，
．
故答案为：12．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与正方形的性质．注意此题的答案不唯一，解题的时候小心别漏解．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知：，且，求、、的值．
【分析】根据题意，设，，．又因为，则可得的值，从而求得、、的值．
【解答】解：设，则，，
，，．
【点评】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
20．（10分）如图：，分别交、、于点、、，已知，，，，求、的长．
【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式求出，证明，求出．
【解答】解：，
，
，即，
解得，，
，
，
，即，
解得，．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．（10分）如图，是平行四边形的对角线上一点，射线交于点，交的延长线于点，求证：．
【分析】由于，，通过三角形相似，找到分别于都相等的比，把比例式变形为等积式，问题得证．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
即
【点评】本题主要考察了平行四边形的性质与相似三角形的性质．通过相似三角形找到连接两个比的桥梁，是解决本题的关键．
22．（10分）如图，中，是中点，，已知，求．
【分析】连接．根据等高模型求出的面积，再利用三角形中线的性质即可解决问题；
【解答】解：连接．
，，
，
，
，
．
【点评】本题考查三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（12分）如图，在中，，点在上
（1）已知：，，，求的长；
（2）取，的中点，，连接，，，求证：．
【分析】（1）由、可证出，根据相似三角形的性质可求出的长度，再利用勾股定理即可求出的长；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及三角形中位线定理可得出，依此即可证出．
【解答】（1）解：，，
，
，即，
，
．
（2）证明：、分别是、斜边上的中点，
，．
又、分别为是、的中点，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）利用“有两组角对应相等的两个三角形相似”证出；（2）利用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”证出．
24．（12分）已知：如图，在梯形中，，点在边上，与相交于点，，，，．
（1）求证：；
（2）求线段的长．
【分析】（1），，，，．又，即可证明．
（2）由，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．
【解答】证明：（1），，，，
，，．
，．．
又，．
（2），．
，，．
，．
，．
（或利用．
【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第（2）问也可利用求得线段的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．
25．（14分）如图，在梯形中，，，，，是上的一个动点不与点、点重合），且满足条件：，交于点．
求证：；
（2）如果，，求与之间的函数关系式；
（3）点在运动过程中，能否成为等腰三角形，若能，求的值，若不能，说明理由．
【分析】（1）先判断出，再判断出，即可得出结论；
（2）先表示出，，再借助（1）的相似三角形得出比例式即可得出结论；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质建立方程求解．
【解答】（1）证明：，
，
，
，，
，
，
（2）解：由（1）知，，
，，，
，
，
（3）解：（ⅰ）若，
由（1）知，，
，
，
（ⅱ）若，则，
，
由（1）知，，
即：，
（ⅲ）若，则，矛盾．
所以，当或时，为等腰三角形．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，利用方程的思想解决问题知解本题的关键．
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）已知，那么等于
A． B． C． D．
2．（4分）已知，下列说法中，错误的是
A． B． C． D．
3．（4分）将一个四边形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是
A．四边形的边长扩大为原来的2倍
B．四边形的各角扩大为原来的2倍
C．四边形的周长扩大为原来的2倍
D．四边形的面积扩大为原来的4倍
4．（4分）已知中，，分别是边，上的点，下列各式中，不能判断的是
A． B． C． D．
5．（4分）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是
A． B． C． D．．
6．（4分）已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为
A．90 B．180 C．270 D．3600
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 厘米．
8．（4分）已知，顶点、、分别与、、对应，若，的周长是，则的周长是 ．
9．（4分）已知点是线段的黄金分割点，厘米，则较长线段的长是 厘米（结果保留根号）．
10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积比为 ．
11．（4分）如果直角三角形的斜边长是6，那么该直角三角形的重心到直角顶点的距离是 ．
12．（4分）已知中，，是边上的高，，，则 ．
13．（4分）如图，，，则 ．
14．（4分）已知：在梯形中，，，对角线与相交于点，， ．
15．（4分）已知如图，在菱形中，于，，，则菱形的周长为 ．
16．（4分）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于 ．
17．（4分）如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点，如果的面积是，那么平行四边形的面积是 ．
18．（4分）在正方形中，已知，点在边上，且，如图．点在的延长线上，如果与点、、所组成的三角形相似，那么 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知：，且，求、、的值．
20．（10分）如图：，分别交、、于点、、，已知，，，，求、的长．
21．（10分）如图，是平行四边形的对角线上一点，射线交于点，交的延长线于点，求证：．
22．（10分）如图，中，是中点，，已知，求．
23．（12分）如图，在中，，点在上
（1）已知：，，，求的长；
（2）取，的中点，，连接，，，求证：．
24．（12分）已知：如图，在梯形中，，点在边上，与相交于点，，，，．
（1）求证：；
（2）求线段的长．
25．（14分）如图，在梯形中，，，，，是上的一个动点不与点、点重合），且满足条件：，交于点．
求证：；
（2）如果，，求与之间的函数关系式；
（3）点在运动过程中，能否成为等腰三角形，若能，求的值，若不能，说明理由．
2018-2019学年上海市浦东新区第四教育署九年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）已知，那么等于
A． B． C． D．
【分析】直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案．
【解答】解：，
设，则，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．
2．（4分）已知，下列说法中，错误的是
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质（合分比定理）来解答．
【解答】、如果，那么、．所以由，得，故该选项正确；
、如果那么、．所以由，得，故该选项正确；
、由得，，所以；又由得，即．故该选项错误；
、由得，；又由得，．故该选项正确；
故选：．
【点评】本题主要考查的合分比定理和更比定理．
①合比定理：如果，那么、；
②分比定理：如果那么、；
③合分比定理：如果那么、、、；
④更比定理：如果那么、、、．
3．（4分）将一个四边形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是
A．四边形的边长扩大为原来的2倍
B．四边形的各角扩大为原来的2倍
C．四边形的周长扩大为原来的2倍
D．四边形的面积扩大为原来的4倍
【分析】两个图形相似的条件是：对应比边的比相等，对应角相等．
【解答】解：放大前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，放大后的倍数就是相似比，
选项：，，正确，
故选：．
【点评】本题考查相似多边形的判定，对应边的比相等，对应角相等．两个条件应该同时成立．
4．（4分）已知中，，分别是边，上的点，下列各式中，不能判断的是
A． B． C． D．
【分析】若使线段，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定．
【解答】解：如图，
若使线段，则其对应边必成比例，
即，，故选项、正确；
，即，故选项正确；
而，故选项答案错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例判定线段平行的问题，能够掌握其性质，并能够通过其性质判定两直线平行．
5．（4分）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是
A． B． C． D．．
【分析】设地图上，甲乙两地的距离是，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．
【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是，
根据题意，得：，
解得：，
即地图上，甲乙两地的距离是，
故选：．
【点评】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
6．（4分）已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为
A．90 B．180 C．270 D．3600
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，设出两个相似三角形的面积，再根据二者面积的差为80列出方程解答即可．
【解答】解：两个相似三角形的一组对应高的长分别为15，5，
两三角形的相似比为，
其面积比为，
设两相似三角形的面积分别为和，
根据题意列方程得，，
．
则较大正六边形的面积为90，
故选：．
【点评】此题考查了“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，根据一组对应高的长分别为15，5，求出面积比是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 4 厘米．
【分析】根据线段比例中项的概念，可得，可得，故的值可求．
【解答】解：线段是、的比例中项，
，
解得，
又线段是正数，
．
故答案为4．
【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
8．（4分）已知，顶点、、分别与、、对应，若，的周长是，则的周长是 ．
【分析】根据相似三角形的性质：周长比相似比，即可解决问题；
【解答】解：，，
的周长：的周长，
的周长是，
的周长是．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（4分）已知点是线段的黄金分割点，厘米，则较长线段的长是 厘米（结果保留根号）．
【分析】根据黄金分割点的定义，知较长线段；则．
【解答】解：由于为线段的黄金分割点，
且较长线段；
则．
故本题答案为：厘米．
【点评】理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．
10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积比为 ．
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．
【解答】解：两个相似三角形的相似比为，
它们的面积比为．
故答案为．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
11．（4分）如果直角三角形的斜边长是6，那么该直角三角形的重心到直角顶点的距离是 2 ．
【分析】首先根据题意作图，然后由，，为的重心，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得的长，又由重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，即可求得这个直角三角形的重心到直角顶点的距离．
【解答】解：根据题意的：，，为的重心，
，，
，，
．
故答案为：2．
【点评】此题考查了直角三角形的性质与三角形重心的性质．解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍定理的应用．
12．（4分）已知中，，是边上的高，，，则 ．
【分析】在直角中，利用射影定理求得的长度．
【解答】解：在中，，
，即，
．
故答案为：
【点评】此题主要考查了射影定理，关键是熟练掌握射影定理．
13．（4分）如图，，，则 ．
【分析】先根据，得出，进而得出，再根据，得到，进而得到的值 ．
【解答】解：，
，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质， 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似， 这是判定三角形相似的一种基本方法 ． 相似的基本图形可分别记为“”型和“”型， 在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形 ．
14．（4分）已知：在梯形中，，，对角线与相交于点，， 8 ．
【分析】根据已知条件得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．
【解答】解：，
，
又，
，
则，
故答案为：8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形面的比等于相似比的平方，以及梯形的特征和应用，熟练掌握相似三角形面的比等于相似比的平方是解决本题的关键．
15．（4分）已知如图，在菱形中，于，，，则菱形的周长为 ．
【分析】因为于，，，易得的长；又因为菱形的四条边都相等，所以可以求得菱形的周长．
【解答】解：，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
菱形的周长为．
【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．还考查了勾股定理的应用．
16．（4分）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到．
【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
17．（4分）如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点，如果的面积是，那么平行四边形的面积是 12 ．
【分析】由平行四边形的两组对边分别平行得到，所以，由相似三角形的性质得的面积为4，所以的面积为2，然后延长、交于点，得到的面积为8，所以四边形的面积为5，从而求得平行四边形的面积．
【解答】解：延长、交于点，
四边形为平行四边形，
，
的面积是，
的面积为4；
的面积为2，
且，
的面积为8，
，
四边形的面积为5，
所以平行四边形的面积为．
故答案为12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定、性质等知识，是一道几何综合题，考查了学生们综合运用知识的能力．
18．（4分）在正方形中，已知，点在边上，且，如图．点在的延长线上，如果与点、、所组成的三角形相似，那么 12 ．
【分析】首先由四边形是正方形，可得，；又由，可求得与的长；再从与入手分析，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的长．
【解答】解：如图：
四边形是正方形，，
，，
，
，；
，
，
，
．
故答案为：12．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与正方形的性质．注意此题的答案不唯一，解题的时候小心别漏解．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知：，且，求、、的值．
【分析】根据题意，设，，．又因为，则可得的值，从而求得、、的值．
【解答】解：设，则，，
，，．
【点评】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
20．（10分）如图：，分别交、、于点、、，已知，，，，求、的长．
【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式求出，证明，求出．
【解答】解：，
，
，即，
解得，，
，
，
，即，
解得，．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．（10分）如图，是平行四边形的对角线上一点，射线交于点，交的延长线于点，求证：．
【分析】由于，，通过三角形相似，找到分别于都相等的比，把比例式变形为等积式，问题得证．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
即
【点评】本题主要考察了平行四边形的性质与相似三角形的性质．通过相似三角形找到连接两个比的桥梁，是解决本题的关键．
22．（10分）如图，中，是中点，，已知，求．
【分析】连接．根据等高模型求出的面积，再利用三角形中线的性质即可解决问题；
【解答】解：连接．
，，
，
，
，
．
【点评】本题考查三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（12分）如图，在中，，点在上
（1）已知：，，，求的长；
（2）取，的中点，，连接，，，求证：．
【分析】（1）由、可证出，根据相似三角形的性质可求出的长度，再利用勾股定理即可求出的长；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及三角形中位线定理可得出，依此即可证出．
【解答】（1）解：，，
，
，即，
，
．
（2）证明：、分别是、斜边上的中点，
，．
又、分别为是、的中点，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）利用“有两组角对应相等的两个三角形相似”证出；（2）利用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”证出．
24．（12分）已知：如图，在梯形中，，点在边上，与相交于点，，，，．
（1）求证：；
（2）求线段的长．
【分析】（1），，，，．又，即可证明．
（2）由，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．
【解答】证明：（1），，，，
，，．
，．．
又，．
（2），．
，，．
，．
，．
（或利用．
【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第（2）问也可利用求得线段的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．
25．（14分）如图，在梯形中，，，，，是上的一个动点不与点、点重合），且满足条件：，交于点．
求证：；
（2）如果，，求与之间的函数关系式；
（3）点在运动过程中，能否成为等腰三角形，若能，求的值，若不能，说明理由．
【分析】（1）先判断出，再判断出，即可得出结论；
（2）先表示出，，再借助（1）的相似三角形得出比例式即可得出结论；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质建立方程求解．
【解答】（1）证明：，
，
，
，，
，
，
（2）解：由（1）知，，
，，，
，
，
（3）解：（ⅰ）若，
由（1）知，，
，
，
（ⅱ）若，则，
，
由（1）知，，
即：，
（ⅲ）若，则，矛盾．
所以，当或时，为等腰三角形．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，利用方程的思想解决问题知解本题的关键．
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