2018-2019学年上海市第四教育署九年级（上）月考数学试卷（10月份）（原卷+解析版）

2018-2019学年上海市第四教育署九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题
1．（3分）下列图形中，形状一定相同的两个图形是　　
A．两个直角三角形 B．两个正三角形
C．两个矩形 D．两个梯形
2．（3分）如果，那么下列各式中不成立的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）在中，点、分别在边、的延长线上，，那么下列线段比中，与相等的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在中，点、分别是边，的中点．若的周长是6，则的周长是　　
A．8 B．10 C．12 D．14
5．（3分）如图，在平行四边形中，点是边的中点，交对角线于点，则等于　　
A． B． C． D．
6．（3分）如图，下列四个三角形中，与相似的是　　
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（3分）若，则　　．
8．（3分）三角形甲与三角形乙相似，相似比为，三角形乙与三角形丙相似，相似比为，则三角形甲与三角形丙一定相似，相似比为　　．
9．（3分）如图，在中，为边上一点，，，，那么　　．
10．（3分）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的面积比是　　．
11．（3分）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形的最大的内角为　　．
12．（3分）如图，在中，两条中线、相交于点，则　 　．
13．（3分）如图，已知，，是线段的中点，，，那么　　．
14．（3分）已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么　　
15．（3分）如图，四边形中，，，，，则与的面积比为　　．
16．（3分）如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下一个亮区，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，窗口底边离地面的高度，则亮区宽度　　．
17．（3分）、分别是的边、上的高，与相交于点，如果，则的值为　　．
18．（3分）如图，等边中，是边上的一点，把折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、，若，，那么边长为　　．
三、解答题
19．已知，求的值．
20．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，，求的长．
21．如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）判断与是否相似？并证明．
22．如图，点为内部一点，点、、分别为线段、、上一点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
23．如图，已知正方形的边长为4，为上一点，且，延长交延长线于点．
（1）求线段的长；
（2）在线段上取一点，使，为上一点，直线交线段于点，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
24．已知：如图，在中，平分交于，点在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）过点作交于点，求证：．
25．如图，已知在中，，，是上一点，，是上一动点，联结，并作，射线交线段于．
（1）求证：；
（2）当是线段中点时，求线段的长；
（3）联结，如果与相似，求的长．

2018-2019学年上海市第四教育署九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列图形中，形状一定相同的两个图形是　　
A．两个直角三角形 B．两个正三角形
C．两个矩形 D．两个梯形
【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：、两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
、两个正三角形，对应角都是，相等，对应边一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；
、两个矩形，对应角对应相等，对应边不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
、两个梯形，对应角不一定对应相等，对应边也不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了相似图形的定义，注意从对应角与对应边两方面考虑．
2．（3分）如果，那么下列各式中不成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据比例式的性质得出，的关系，分别代入四个选项即可得出答案，也可用特殊值法求出．
【解答】解：，
，
，故本选项正确；
，，故本选项正确；
，，故本选项正确；
，当，时，，
故此选项错误，
故选：．
【点评】此题主要考查了比例式的性质，利用特殊值法进行排除更为简单，也是数学中的重要思想．
3．（3分）在中，点、分别在边、的延长线上，，那么下列线段比中，与相等的是　　
A． B． C． D．
【分析】由，根据平行线分线段成比例定理，即可得，则可求得答案．
【解答】解：，
，
与相等的是．
故选：．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
4．（3分）如图，在中，点、分别是边，的中点．若的周长是6，则的周长是　　
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】首先根据点、分别是边，的中点，可得是三角形的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得，最后根据三角形周长的含义，判断出的周长和的周长的关系，再结合的周长是6，即可求出的周长是多少．
【解答】解：点、分别是边，的中点，
是三角形的中位线，，，
且，
又，，
，
即的周长是的周长的2倍，
的周长是6，
的周长是：
．
故选：．
【点评】（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．
5．（3分）如图，在平行四边形中，点是边的中点，交对角线于点，则等于　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意得出，进而得出，利用点是边的中点得出答案即可．
【解答】解：，故，
，
，
点是边的中点，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键．
6．（3分）如图，下列四个三角形中，与相似的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据网格的特点，利用勾股定理求出各边的长度，求出三边的比，然后结合四个选项即可得解．
【解答】解：设网格的边长是1，
则，
，
，
，
、三边之比是，，故本选项错误；
、三边之比是，，故本选项正确；
、三边之比是，，故本选项错误；
、三边之比是，，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，网格图形的性质，分别求出各图形的三角形的三边之比是解题的关键，难度不大，但计算比较复杂．
二、填空题
7．（3分）若，则　　．
【分析】依据，即可得到，进而得出．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
8．（3分）三角形甲与三角形乙相似，相似比为，三角形乙与三角形丙相似，相似比为，则三角形甲与三角形丙一定相似，相似比为　　．
【分析】设三角形甲与三角形乙的对应边为，，则三角形丙与三角形乙的对应边分别为，，由此求得三角形甲与三角形丙的相似比．
【解答】解：设三角形甲与三角形乙的对应边为，，
三角形乙与三角形丙相似，相似比为，
三角形丙与三角形乙的对应边分别为，，
三角形甲与三角形丙一定相似，相似比为：．
故答案是：．
【点评】考查了相似三角形的判定与性质．此题通过设参数来求相似三角形的相似比，难度不大．
9．（3分）如图，在中，为边上一点，，，，那么　4　．
【分析】由、证，得，即，据此可得．
【解答】解：、，
，
，即，
，，
，
故答案为：4．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
10．（3分）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的面积比是　　．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：两个相似三角形的周长比为，
两个相似三角形的相似比为，
两个相似三角形的面积比为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
11．（3分）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形的最大的内角为　　．
【分析】直接利用三角形内角和定理结合相似三角形的性质分析得出答案．
【解答】解：两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为，，
这个三角形的另一个内角为：，
，
另一个三角形的最大的内角．
故答案为．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确应用相似三角形的对应角相等是解题关键．
12．（3分）如图，在中，两条中线、相交于点，则　　．
【分析】根据三角形的中位线得出，，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：和是的中线，
，，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13．（3分）如图，已知，，是线段的中点，，，那么　1　．
【分析】根据相似三角形的判定及已知可得到，利用相似三角形的对应边成比例即可求得的长．
【解答】解：是线段的中点，，
，
，，
，，
，即，
，
，
，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识，关键是推出．
14．（3分）已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么　　
【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解答】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．
15．（3分）如图，四边形中，，，，，则与的面积比为　　．
【分析】求出，得出，得出与的面积比．
【解答】解：，
又，
，
，
，
与的面积比为．
故答案为．
【点评】本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是利用与的面积比等于相似比的平方．
16．（3分）如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下一个亮区，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，窗口底边离地面的高度，则亮区宽度　1.2　．
【分析】因为光线是平行的，所以将出现一组相似三角形，根据对应边成比例直接解答即可．
【解答】解：根据题意，易得，
，
又因为米，米，米，
所以，
解得米．
故答案为：1.2．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的长度．
17．（3分）、分别是的边、上的高，与相交于点，如果，则的值为　　．
【分析】根据、分别是的边、上的高，得出，即可求出，得出，从而证出，进而解答；
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两条边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例，对应角相等．
18．（3分）如图，等边中，是边上的一点，把折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、，若，，那么边长为　　．
【分析】设，由，可得，推出，推出，推出，，，再根据，构建方程即可解决问题；
【解答】解：设，，
是等边三角形，
，，
由折叠的性质可知：是线段的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
故答案为．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题
19．已知，求的值．
【分析】直接利用已知将原式变形进而化简得出答案．
【解答】解：，
，，
．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出，的值是解题关键．
20．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，，求的长．
【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由，，即可求出的长．
（2）过点作，交于点，交于点，运用比例关系求出及的长，然后即可得出的长．
【解答】解：（1），
，
，，，
，
．
（2）过点作，交于点，交于点，
则，
，
，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
21．如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）判断与是否相似？并证明．
【分析】（1）由，可得，又有，即可得出相似；
（2）有（1）中可得对应线段成比例，又有以对应角相等，即可判定其相似．
【解答】证明：（1），
，
，
．
（2）．
证明：由（1）知，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
22．如图，点为内部一点，点、、分别为线段、、上一点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
【分析】（1）先根据相似比的性质得出，，故可得出，由此即可得出结论；
（2）先根据得出，再由得出，故可得出，同理可得，，故可得出根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，即，
同理可得，，
，
，
，
．
【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．如图，已知正方形的边长为4，为上一点，且，延长交延长线于点．
（1）求线段的长；
（2）在线段上取一点，使，为上一点，直线交线段于点，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
【分析】（1）易证，然后利用勾股定理可求出，然后利用相似三角形的性质即可求出的长度．
（2）过点作于点，由于，所以是的中点，所以是的中位线，从而可求出、、的长度，易证，利用相似三角形的性质即可得出与的关系式．
【解答】解：（1）由题意可知：，
，
，
，，
由勾股定理可知：，
，
，
；
（2）过点作于点，
由于，
是的中点，
是的中位线，
，
，
由（1）可知：，
，，
由勾股定理可知：，
，
，
，
，
，
，
，
【点评】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
24．已知：如图，在中，平分交于，点在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）过点作交于点，求证：．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，，于是得到，化简即可得到结论．
【解答】证明：（1）平分交于，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．如图，已知在中，，，是上一点，，是上一动点，联结，并作，射线交线段于．
（1）求证：；
（2）当是线段中点时，求线段的长；
（3）联结，如果与相似，求的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，由三角形的内角和和平角的定义得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到结论；
（3）当，得到，根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到；当，推出点在与的角平分线上，过 作于，于，于，连接，得到是的角平分线，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1），
，
，，
，
，
；
（2），
，
是线段中点，
，
，
或3；
（3）与相似，
，或，
当，
，
，，
，
，
；
当，
，
，
，，
点在与的角平分线上，
过 作于，于，于，连接，
，
是的角平分线，
，
，
，
即，
．
综上所述，的长为2或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．