6.1平行四边形及其性质（1）探究版教案

青岛版八年级下
6.1《平行四边形及其性质》（第1课时）教案
一 、教学目标
（一）知识与技能
1．理解平行四边形的概念．
2．探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等．
3．能运用平行四边形的性质解答有关几何问题．
（二）过程与方法
1.经历平行四边形的概念及性质的探究过程，发展学生进行演绎推理的能力．
2.经历平行四边形两个性质定理的证明过程，培养学生演绎推理的能力．
3.使学生在平行四边形概念的生成、性质的发现、定理的证明，问题的解决的过程中，从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法，体验解决问题方法的多样性，增强应用意识和合作意识.
（三）情感与态度
通过学生交流、探索，进一步激发学生的学习热情和求知欲望，养成良好的数学思维品质．
二、教学重点与难点
重点：平行四边形的性质及其应用．
难点：解决“挑战自我”中的问题，需要添加辅助线，使得相对两个三角形的高的和等于平行四边形的高，对于初次接触平行四边形性质的学生来说是本次课教学的难点．
三、教学过程
（一）情境引入
在小学，我们已经认识了平行四边形，知道平行四边形在生活中有着广泛的应用，请同学们观察下面的图片，并从中找出哪些地方是平行四边形？ （学生指出图中的平行四边形）


许多学校的大门都安装成类似上面图片的电动门，这些电动门或开或关，轻松自如，仔细观察你会发现，它们都是由很多平行四边形构成的，你知道为什么要做成平行四边形吗？好了，下面就开始我们的研究吧！
师生活动：师用多媒体展示图片，由学生寻找图中的平行四边形，适时引入新课．
设计意图：通过在实际图片中寻找平行四边形图案，激发学生的学习兴趣，调动起学生的探索热情，为新课的引入做好铺垫．
（二）探究新知
活动一 探究定义
（1）在练习本上画三个平行四边形；
（2）观察下面的任意四边形的动画，与你所画的平行四边形进行比较，你发现平行四边形具有什么共同特征？


（3）请根据平行四边形的共同特征，给平行四边形下一个定义.
师生活动：学生按着老师布置的任务进行画图，观察比较，概括总结，并在小组内互相交流，教师巡回指导.
答：（1）展示所画平行四边形.

（2）这些平行四边形的共同特征是，它们相对两边互相平行.
（3）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
在四边形ABCD中，如果AB∥CD，AD∥BC，那么这个四边形是平行四边形.
教师讲解：平行四边形ABCD记作□ABCD，读作“平行四边形ABCD”

设计意图：让学生通过画图、观察、比较，自我建构出平行四边形的定义，培养学生归纳总结的能力.
活动二 探究性质
任意画一个ABCD，连接对角线AC，如果沿这条对角线将平行四边形剪成两个三角形，你发现得到的△ABC和△CDA能够重合吗？如果能重合，说出哪些边是对边，哪些角是对角.由此，你猜测平行四边形的对边和对角分别有什么性质？
师生活动：教师提出问题，学生独立操作并认真思考，学生代表回答问题，教师补充．
答：作平行四边形如下：
结论1：平行四边形的对边相等；
结论2：平行四边形的对角相等.
设计意图：让学生通过画图、裁剪，比较探究出平行四边形的的性质，培养学生发现问题和提出问题的能力.
活动三 证明结论
这两个结论是我们通过剪纸，重叠后获得的，是否成立需要用推理的方式进行证明，请同学们对于结论1和结论2分别写出已知和求证并予以证明.
师生活动：教师提出问题，学生独立证明后与同伴交流，学生代表回答问题，5分钟后，学生代表汇报证明过程，教师补充、完善．
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证：AB=CD，AD=BC.
证明：连接AC.

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC（平行四边形定义），
∴∠1=∠2
同理，∠3=∠4，
∵AC∥CA，
∴△ABC≌△CDA，
∴AB=CD，AD=BC.
故结论成立，可得到
平行四边形性质定理1：平行四边形的对边相等；
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证：∠A=∠C，∠B=∠D.
证明：连接AC.

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC（平行四边形定义），
∴∠1=∠2
同理，∠3=∠4，
∵AC∥CA，
∴△ABC≌△CDA，
∴∠D=∠B.
同理，连接BD，可得△ABD≌△CDB，

∴∠A=∠D.
故结论成立，可得到
平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等；
即，□ABCD中，（1）AB=CD，AD=BC；（2）∠A=∠C，∠B=∠D.
设计意图：通过证明使学生明白合情推理与演绎推理的作用，培养学生的推理能力.
（三） 小试牛刀
经过刚才的学习我们已经明确了平行四边形的定义，并掌握了平行四边形的性质，请同学们利用所学知识解决下面的问题.
师生活动：教师出示问题，学生独立完成后与同伴交流，然后更正解答结果.
1．在□ABCD中，∠A比∠B大30°，则∠A＝________，∠D＝________．
2.如图所示，在□ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为（ ）．

A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
答案：1．∠A＝105°，∠D＝75°．2.B.
设计意图：及时巩固，加深理解，利于记忆.
（四）例题精讲
例1 求证：
（1）夹在两条平行线之间的平行线段相等；
（2）如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的距离相等.
师生活动：教师出示例题，教师帮助学生分析证明思路，分别找两名学生到黑板上进行证明，其他学生独立证明后评价、更正.
分析：（1）平行线间的平行线段的四个端点连线可以构成一个平行四边形；
（2）过两条平行线中一条上的两点向零一条直线作垂线，垂足和这两点可以构成一个平行四边形.
证明过程如下：
（1）已知：如图，，A，D是直线上任意两点，过点A，D分别作AB∥CD，分别交于点B，C.
求证：AB=CD，
证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义），
∴AB=CD（平行四边形性质1）.
（2）已知：如图，， A，D是直线上任意两点，AB⊥，垂足为B，CD⊥，垂足为C，求证：AB=CD，
证明：∵AB⊥，垂足为B，CD⊥，
∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.
∴∠ABC=90°+∠DCB=180°.
∴AB∥CD.
由（1）可知AB=CD.
设计意图：通过该问题的解决，使学生能够应用所学知识解决相关的问题，增强学生的应用意识.
例2 如图，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，AD＝2cm，∠A＝65°，∠E＝33°，求EF和∠BGC．

师生活动：教师出示例题，找一名学生分析证明思路，再找一名学生到黑板上进行证明，其他学生独立证明后评价、更正.
分析：利用平行四边形的性质求EF和∠1、∠2，再利用三角形内角和定理求∠BGC．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝2cm，∠1＝∠A＝65°．
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴EF＝BC＝2cm，∠2＝∠E＝33°．
∴在△BGC中，∠BGC＝180°－∠1－∠2＝82°．
设计意图：通过该问题的解决，使学生体会到平行四边形的性质在解决两条线段相等和两角相等问题的作用，培养学生分析问题和解决问题的能力.
（五）挑战自我
通过这多段时间的努力我们共同解决了很多平行四边形边与角相等的问题，请大家再接再厉，能否解决下面的问题呢？
如图，P为□ABCD内一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PAD.你发现其中两个不相邻的三角形的面积之和与平行四边形ABCD的面积之间有什么关系？从而你能得到什么结论？证明你的结论.

师生活动：教师出示问题后，先让学生独立思考，再找一名学生分析解题思路，然后小组内讨论交流，共同完成任务，3分钟后全班展示交流.
分析：由于三角形面积是底边乘高的一半，所以需要作出相对两个三角形的高，再利用平行四边形的性质即可使问题得到解决.
解：发现：过平行四边形内一点，连接平行四边形的各个顶点，所得的4个三角形中，不相邻两个三角形的面积之和等于平行四边形的面积.
结论：.
证明：过点P作PE⊥AD，垂足为E，延长EP交BC于点F，

∵在□ABCD中，AD∥BC，PE⊥AD，
∴PF⊥BC.
∵,，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
又∵PE+PF=EF，
∴，
∵，
∴.
同理可得.
设计意图：通过挑战自我，培养学生不畏艰难，敢于思考，灵活运用所学知识解决问题，增强学生的应用意识和数学建模能力.
（六）解题规律
通过以上几个问题的解决，请同学们总结一下，利用平行四边形的性质1和性质2解决问题的一些基本规律吧！
师生活动：教师出示问题后，学生在小组内讨论交流，2分钟后小组代表汇报讨论结果..
（1）利用平行四边形的性质1和性质2可以找到相等的线段和相等的角，利用平行四边形的定义可以找到平行线，利用平行线的性质可以找到角之间的数量关系.
（2）等底的两个三角形面积的和等于底边与两高之和乘积的一半；
（3）利用平行四边形的性质结合三角形的内角和定理可以求出角的大小.
（4）夹在两条平行线间的平行线段相等．
（七）课堂练习
1．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ）．
A．1︰2︰3︰4 B．1︰2︰1︰2 C．1︰1︰2︰2 D．1︰2︰2︰1
2．如图，□ABCD的一个外角为38°，求∠A，∠B，∠BCD，∠D的度数．

3．如图，在□ABCD中，∠ABC＝68°，BE平分∠ABC，交AD于点E．AB＝2cm，ED＝1cm．

（1）求∠A，∠C，∠D的度数．
（2）求□ABCD的周长．
4．用一根长度为36cm的铁丝围成一个平行四边形，各边的长度恰好都是3的整数倍，试找出所有满足条件的平行四边形，并分别求出各边的长．
5．已知：如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．BE与DF的大小有什么关系？请说明理由．

参考答案：
1.B
2．∠A＝142°，∠B＝38°，∠BCD＝142°，∠D＝38°．
3．（1）∠A＝112°，∠C＝112°，∠D＝68°．
（2）□ABCD的周长为10cm．
4．有三种情况，各边的长分别是3，3，15，15；6，6，12，12；9，9，9，9；
5．BE＝DF．理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴∠BAC＝∠DCA．
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF．
∴BE＝DF．
设计意图：通过练习巩固学生对平行四边形两个性质的理解和掌握，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．

（八）课堂小结
同学们轻松快乐的一节课即将结束，在这节课的学习过程中，大家表现的都很出色，相信你们一定是收获颇多，向老师和同学们谈谈你的收获吧！
师生活动：教师鼓励学生畅谈收获，总结解题方法和归路，学生踊跃发言.
1．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形
2．平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等；
平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角相等
3．解题规律
（1）利用平行四边形的性质1和性质2可以找到相等的线段和相等的角，利用平行四边形的定义可以找到平行线，利用平行线的性质可以找到角之间的数量关系.
（2）等底的两个三角形面积的和等于底边与两高之和乘积的一半；
（3）利用平行四边形的性质结合三角形的内角和定理可以求出角的大小.
（4）夹在两条平行线间的平行线段相等．
设计意图：通过小结，使学生对本节课的内容有一个整体的认识和理解，养成不断总结不断反思的良好的学习习惯.
（九）目标检测
1.已知□ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是（ ）．
A．100° B．160° C．80° D．60°
2．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝_____________ cm．


3．如图，在□ABCD中，∠A＝40°．求其他各内角的大小．

4．如图，在□ABCD中，AB＝8，周长等于24，求其余三条边的长．

5．如图，延长□ABCD的边AD到点F，使DF＝DC，延长CB到E，使BE＝BA，分别连接点A、E和点C、F．求证：AE＝CF．


目标检测答案
1．C．
2．3．
3．在□ABCD中，
∠A＝∠C，∠B＝∠D．
∵∠A＝40°，
∴∠C＝40°．
又∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴∠B＝180°－∠A＝180°－40°＝140°，
∴∠D＝∠B＝140°．
4．在□ABCD中，
AB＝DC，AD＝BC．
∵AB＝8，
∴DC＝8，
又∵AB＋BC＋DC＋AD＝24，
∴AD＝BC＝（24－2AB）＝4．
5．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠CDA，AB＝DC．
∴180°－∠ABC＝180°－∠CDA，
∴∠ABE＝∠CDF．
∵DF＝DC，BE＝BA
∴DF＝DC＝BA＝BE
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF．