“四招”判断函数零点个数
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专题一
“四招”判断函数零点个数
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.
【典型例题】
第一招
应用函数性质，判定函数零点个数
例1.已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为（
）
A.
2020
B.
2016
C.
1010
D.
1008
【答案】A
【解析】
,
当时，函数与函数图象有个交点
,由知，
当时函数与函数图象有个交点
故函数的零点个数为,故选.
第二招
数形结合，判定函数零点个数
例2.【2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在上的函数满足，且时，
；
时，
.
令，则函数的零点个数为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
,
∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，分别画出函数y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=x+2的图象，
∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=x+2有8个交点，故函数g（x）的零点个数为8个．故选：B．
第三招
应用零点存在性定理，判定函数零点个数
【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）讨论在上的零点个数.
∴当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）设，则由（1）知
①当时，即，当时，，在单调递减
，
∴当，即，时，在上恒成立，
∴当时，在内无零点.
当，即，时，，
根据零点存在性定理知，此时，在内有零点，
∵在内单调递减，∴此时，在有一个零点.
②当时，即，当时，，在单调递增，
，.
∴当，即时，，根据零点存在性定理，此时，在内有零点.
∵在内单调递增，∴此时，在有一个零点.
当时，，∴此时，在无零点.
③当时，即，当时，；当时，；
则在单调递减，在单调递增.
∴在上恒成立，∴此时，在内无零点.
∴综上所述：当时，在内有1个零点；当时，在有一个零点；
当时，在无零点.
第四招
构造函数，判定函数零点个数
例4．【山东省菏泽市2019届高三上学期期末】已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R.
（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；
（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数.
f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得.
当a≥3时，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，
∴，令得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.
综上知.
（2）∵函数，
令g（x）＝0，得.
设，，
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是（x）的最大值点，
φ（x）的最大值为.
又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：
①当时，函数g（x）无零点；
②当时，函数g（x）有且仅有一个零点；
③当时，函数g（x）有两个零点；
④a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
综上所述，当时，函数g（x）无零点；当或a≤0时，函数g（x）有且仅有一个零点；
当时，函数g（x）有两个零点.
【规律与方法】
函数零点个数的求解与判断：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
(4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.
【提升训练】
1．【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三上期中】已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方程满足
A．对任意，恰有一解
B．对任意，恰有两个不同解
C．存在，有三个不同解
D．存在，无解
【答案】A
【解析】当时，，，
时，；时，，在上递减，在上递增，
，在上递增，又x大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；
x趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，
结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．故选：A．
2．【吉林省延边州2019届高三2月复检测】已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是(
)
A．函数在上为单调递增函数
B．是函数的极小值点
C．函数至多有两个零点
D．时，不等式恒成立
【答案】D
若，则有2个零点，若，则函数有1个零点，
若，则函数没有零点，故正确；
由在递减，则在递减，
由，得时，，故，故，故错误,故选D．
3.已知函数的图像为上的一条连续不断的曲线，当时，，则关于的函数的零点的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．0或2
【答案】A
4．【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知函数.
（Ⅰ）若的图像在点处的切线与直线平行，求的值；
（Ⅱ）若，讨论的零点个数.
【解析】（Ⅰ）函数，导数为，，
图象在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，解得；
（Ⅱ）若，可得，由，可得（舍去），即的零点个数为；
若，由，即为，可得，，设，，
当时，，递减；当时，，递增，
可得处取得极大值，且为最大值，
的图象如图：
由，即，可得和的图象只有一个交点，
即时，的零点个数为，综上可得在的零点个数为.
5．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：当a≤0时，曲线y=f（x）上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=+2ax-1=（x＞0），设g（x）=2ax2-x+1（x＞0），
（1）当0＜a＜时，g（x）在（0，），（，+∞）上大于零，
在（，）上小于零，
所以f（x）在（0，），（，+∞）上递增，在（，）上递减，
（2）当a≥时，g（x）≥0（当且仅当a=，x=2时g（x）=0），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
（3）当a=0时，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+∞）上小于零，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
（4）当a＜0时，g（x）在（0，）上大于零，在（，+∞）上小于零，
所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减；
（Ⅱ）曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的曲线方程为：y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，
曲线方程和y=f（x）联立可得：lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，
设h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x＞0），h′（x）=，
当a≤0时，在（0，t）h′（x）＞0，在（t，+∞）h′（x）＜0，
故h（x）在（0，t）递增，在（t，+∞）递减，又h（t）=0，故h（x）只有唯一的零点t，
即切线与该曲线只有1个公共点（t，f（t））．
6．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟】已知函数，.
（Ⅰ）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？[]
（Ⅱ）讨论函数的零点个数.
【解析】
（Ⅰ），，，
则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，
因为，，，，，
所以存在切线斜率，
使得，，，，
所以函数图象上是存在3条互相平行的切线.
（Ⅱ），[]
当，有；，
在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；
当，有，；，
在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；
当，有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，
，
，，，
所以函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.
综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点.
7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知，，其中，为自然对数的底数．
若函数的切线l经过点，求l的方程；
Ⅱ若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．
Ⅱ判断：函数的零点个数是0，下面证明恒成立，，故，
若在递减，则，因此，要证明对恒成立，
只需证明对恒成立，考虑等价于，
记，，先看，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，，
再看，.令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，.
，且两个函数的极值点不在同一个x处，故对恒成立，
综上，对恒成立，故函数函数零点是0个．
8.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一)】已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；（2）证明：当且时，只有一个零点.
【解析】（1）．
当时，由得，由得，在单调递减，在单调递增．
当时，由得，由得或，在单调递减，在和单调递增．
令，，当时，，故在单调递增，所以，在单调递增，所以，因此．因为在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点.
综上，当且时，只有一个零点．
9．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数．
求的单调区间和极值；
当时，证明：对任意的，函数有且只有一个零点．
【解析】解：函数的定义域为，，
当时，，在定义域上单调递增，无极值；
当时，由，得，当时，，得的单调递增区间是；
当时，，得的单调递减区间是，
故的极大值为，无极小值．
由，得，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，所以，
于是，则在上单调递减．
设，则，由，得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，即当时，，
所以当时，，对任意的，有
当时，，有；
当时，有，
又在上单调递减，所以存在唯一的，有；
当时，，有，[]
当时，有，
又在上单调递减，所以存在唯一的，有，
综上所述，对任意的，方程有且只有一个正实数根，[]
即函数有且只有一个零点．
10．【2019届高三第一次全国大联考】已知函数（其中）．
（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的极值点；
（3）讨论函数零点的个数．
（2）先考虑时的情况，
当时，则
；
所以当时，；当时，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
又因为函数的图象关于直线对称，
所以在和上单调递减，在和上单调递增．
所以函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和．
令，则
．
由，解得；由，解得，
所以在上递增，在上递减，所以，
当时，注意到，知此时在上单调递减，在上单调递增，且，这表明的图象与轴相切，
所以此时函数在上只有1个零点，且为；
当或时，，又当或时，，
所以此时函数在上有2个零点，一个零点是，另一个零点在区间或内．又由函数的图象关于直线对称，
综上可得，当或时，函数有2个零点；当或时，函数有4个零点．
11．【2019年四川省达州市高考一诊】已知，函数，．
求证：；讨论函数零点的个数．
，，，，
，方程有两个不相等的实根，分别为，
，且，，
当时，，递减，当时，，递增，
，，
，即，．
设，则，是减函数，
当，即时，，函数只有一个零点，
当，即时，，
函数没有零点，当，即时，，且，
由知，，
若，则有，，函数有且只有一个大于的零点，
又，即函数在区间有且只有一个零点，
综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，
当时，函数没有零点．
12．【北京延庆区2019届高三一模】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，求函数在上区间零点的个数.
【解析】（1）当时，，
，,，切点，所以切线方程是.
（2），
令，
、及的变化情况如下
0
增
减
所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（3）由（2）可知的最大值为,
（1）当时，在区间单调递增，在区间上单调递减.
由，故在区间上只有一个零点
.
（2）当时，，，,且
.
因为，所以，在区间上无零点.
综上，当时，在区间上只有一个零点，当时，在区间上无零点.
13．【广东省江门市2019届高考模拟（第一次模拟)】设函数，是自然对数的底数，是常数．（1）若，求的单调递增区间；
（2）讨论曲线与公共点的个数．
【答案】（1）的单调递增区间为（或）；（2）或时，两曲线无公共点；或时，两曲线有一个公共点；时，两曲线有两个公共点
.
（I）时，有一个零点
.
(II)时，由解得，．当时，；当时，，
在取最小值
,
①时，，有一个零点.
②时，，无零点
.
③时，，由知，在有一个零点，即在有一个零点；由指数函数与幂函数单调性比较知，当且充分大时，，所以在有一个零点，即在有一个零点．从而有两个零点
.
（III）时，，单调递减，，，所以在有一个零点，从而在定义域内有一个零点
.
（IIII）时，无零点
.
14．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考】设函数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）[]
【解析】（1）由，得，
令，所以，
所以当时，，恒成立，即恒成立，所以单调递增；
即，所以单调递减；当时，，
即，所以单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.
（2）当时，，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极大值，且
，
当时，函数有极小值，
且
.又因为，，所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，
所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.
“四招”判断函数零点个数
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.
【典型例题】
第一招
应用函数性质，判定函数零点个数
例1.已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为（
）
A.
2020
B.
2016
C.
1010
D.
1008
【答案】A
【解析】
,
当时，函数与函数图象有个交点
,由知，
当时函数与函数图象有个交点
故函数的零点个数为,故选.
第二招
数形结合，判定函数零点个数
例2.【2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在上的函数满足，且时，
；
时，
.
令，则函数的零点个数为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
,
∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，分别画出函数y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=x+2的图象，
∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=x+2有8个交点，故函数g（x）的零点个数为8个．故选：B．
第三招
应用零点存在性定理，判定函数零点个数
【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）讨论在上的零点个数.
∴当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）设，则由（1）知
①当时，即，当时，，在单调递减
，
∴当，即，时，在上恒成立，
∴当时，在内无零点.
当，即，时，，
根据零点存在性定理知，此时，在内有零点，
∵在内单调递减，∴此时，在有一个零点.
②当时，即，当时，，在单调递增，
，.
∴当，即时，，根据零点存在性定理，此时，在内有零点.
∵在内单调递增，∴此时，在有一个零点.
当时，，∴此时，在无零点.
③当时，即，当时，；当时，；
则在单调递减，在单调递增.
∴在上恒成立，∴此时，在内无零点.
∴综上所述：当时，在内有1个零点；当时，在有一个零点；
当时，在无零点.
第四招
构造函数，判定函数零点个数
例4．【山东省菏泽市2019届高三上学期期末】已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R.
（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；
（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数.
f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得.
当a≥3时，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，
∴，令得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.
综上知.
（2）∵函数，
令g（x）＝0，得.
设，，
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是（x）的最大值点，
φ（x）的最大值为.
又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：
①当时，函数g（x）无零点；
②当时，函数g（x）有且仅有一个零点；
③当时，函数g（x）有两个零点；
④a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
综上所述，当时，函数g（x）无零点；当或a≤0时，函数g（x）有且仅有一个零点；
当时，函数g（x）有两个零点.
【规律与方法】
函数零点个数的求解与判断：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
(4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.
【提升训练】
1．【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三上期中】已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方程满足
A．对任意，恰有一解
B．对任意，恰有两个不同解
C．存在，有三个不同解
D．存在，无解
【答案】A
【解析】当时，，，
时，；时，，在上递减，在上递增，
，在上递增，又x大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；
x趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，
结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．故选：A．
2．【吉林省延边州2019届高三2月复检测】已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是(
)
A．函数在上为单调递增函数
B．是函数的极小值点
C．函数至多有两个零点
D．时，不等式恒成立
【答案】D
若，则有2个零点，若，则函数有1个零点，
若，则函数没有零点，故正确；
由在递减，则在递减，
由，得时，，故，故，故错误,故选D．
3.已知函数的图像为上的一条连续不断的曲线，当时，，则关于的函数的零点的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．0或2
【答案】A
4．【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知函数.
（Ⅰ）若的图像在点处的切线与直线平行，求的值；
（Ⅱ）若，讨论的零点个数.
【解析】（Ⅰ）函数，导数为，，
图象在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，解得；
（Ⅱ）若，可得，由，可得（舍去），即的零点个数为；
若，由，即为，可得，，设，，
当时，，递减；当时，，递增，
可得处取得极大值，且为最大值，
的图象如图：
由，即，可得和的图象只有一个交点，
即时，的零点个数为，综上可得在的零点个数为.
5．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：当a≤0时，曲线y=f（x）上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=+2ax-1=（x＞0），设g（x）=2ax2-x+1（x＞0），
（1）当0＜a＜时，g（x）在（0，），（，+∞）上大于零，
在（，）上小于零，
所以f（x）在（0，），（，+∞）上递增，在（，）上递减，
（2）当a≥时，g（x）≥0（当且仅当a=，x=2时g（x）=0），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
（3）当a=0时，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+∞）上小于零，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
（4）当a＜0时，g（x）在（0，）上大于零，在（，+∞）上小于零，
所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减；
（Ⅱ）曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的曲线方程为：y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，
曲线方程和y=f（x）联立可得：lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，
设h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x＞0），h′（x）=，
当a≤0时，在（0，t）h′（x）＞0，在（t，+∞）h′（x）＜0，
故h（x）在（0，t）递增，在（t，+∞）递减，又h（t）=0，故h（x）只有唯一的零点t，
即切线与该曲线只有1个公共点（t，f（t））．
6．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟】已知函数，.
（Ⅰ）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？[]
（Ⅱ）讨论函数的零点个数.
【解析】
（Ⅰ），，，
则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，
因为，，，，，
所以存在切线斜率，
使得，，，，
所以函数图象上是存在3条互相平行的切线.
（Ⅱ），[]
当，有；，
在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；
当，有，；，
在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；
当，有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，
，
，，，
所以函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.
综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点.
7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知，，其中，为自然对数的底数．
若函数的切线l经过点，求l的方程；
Ⅱ若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．
Ⅱ判断：函数的零点个数是0，下面证明恒成立，，故，
若在递减，则，因此，要证明对恒成立，
只需证明对恒成立，考虑等价于，
记，，先看，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，，
再看，.令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，.
，且两个函数的极值点不在同一个x处，故对恒成立，
综上，对恒成立，故函数函数零点是0个．
8.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一)】已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；（2）证明：当且时，只有一个零点.
【解析】（1）．
当时，由得，由得，在单调递减，在单调递增．
当时，由得，由得或，在单调递减，在和单调递增．
令，，当时，，故在单调递增，所以，在单调递增，所以，因此．因为在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点.
综上，当且时，只有一个零点．
9．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数．
求的单调区间和极值；
当时，证明：对任意的，函数有且只有一个零点．
【解析】解：函数的定义域为，，
当时，，在定义域上单调递增，无极值；
当时，由，得，当时，，得的单调递增区间是；
当时，，得的单调递减区间是，
故的极大值为，无极小值．
由，得，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，所以，
于是，则在上单调递减．
设，则，由，得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，即当时，，
所以当时，，对任意的，有
当时，，有；
当时，有，
又在上单调递减，所以存在唯一的，有；
当时，，有，[]
当时，有，
又在上单调递减，所以存在唯一的，有，
综上所述，对任意的，方程有且只有一个正实数根，[]
即函数有且只有一个零点．
10．【2019届高三第一次全国大联考】已知函数（其中）．
（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的极值点；
（3）讨论函数零点的个数．
（2）先考虑时的情况，
当时，则
；
所以当时，；当时，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
又因为函数的图象关于直线对称，
所以在和上单调递减，在和上单调递增．
所以函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和．
令，则
．
由，解得；由，解得，
所以在上递增，在上递减，所以，
当时，注意到，知此时在上单调递减，在上单调递增，且，这表明的图象与轴相切，
所以此时函数在上只有1个零点，且为；
当或时，，又当或时，，
所以此时函数在上有2个零点，一个零点是，另一个零点在区间或内．又由函数的图象关于直线对称，
综上可得，当或时，函数有2个零点；当或时，函数有4个零点．
11．【2019年四川省达州市高考一诊】已知，函数，．
求证：；讨论函数零点的个数．
，，，，
，方程有两个不相等的实根，分别为，
，且，，
当时，，递减，当时，，递增，
，，
，即，．
设，则，是减函数，
当，即时，，函数只有一个零点，
当，即时，，
函数没有零点，当，即时，，且，
由知，，
若，则有，，函数有且只有一个大于的零点，
又，即函数在区间有且只有一个零点，
综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，
当时，函数没有零点．
12．【北京延庆区2019届高三一模】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，求函数在上区间零点的个数.
【解析】（1）当时，，
，,，切点，所以切线方程是.
（2），
令，
、及的变化情况如下
0
增
减
所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（3）由（2）可知的最大值为,
（1）当时，在区间单调递增，在区间上单调递减.
由，故在区间上只有一个零点
.
（2）当时，，，,且
.
因为，所以，在区间上无零点.
综上，当时，在区间上只有一个零点，当时，在区间上无零点.
13．【广东省江门市2019届高考模拟（第一次模拟)】设函数，是自然对数的底数，是常数．（1）若，求的单调递增区间；
（2）讨论曲线与公共点的个数．
【答案】（1）的单调递增区间为（或）；（2）或时，两曲线无公共点；或时，两曲线有一个公共点；时，两曲线有两个公共点
.
（I）时，有一个零点
.
(II)时，由解得，．当时，；当时，，
在取最小值
,
①时，，有一个零点.
②时，，无零点
.
③时，，由知，在有一个零点，即在有一个零点；由指数函数与幂函数单调性比较知，当且充分大时，，所以在有一个零点，即在有一个零点．从而有两个零点
.
（III）时，，单调递减，，，所以在有一个零点，从而在定义域内有一个零点
.
（IIII）时，无零点
.
14．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考】设函数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）[]
【解析】（1）由，得，
令，所以，
所以当时，，恒成立，即恒成立，所以单调递增；
即，所以单调递减；当时，，
即，所以单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.
（2）当时，，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极大值，且
，
当时，函数有极小值，
且
.又因为，，所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，
所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.
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