24.4解直角三角形导学案
课题
解直角三角形
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.
2.理解仰角、俯角的含义，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题
重点难点
重点：用直角三角形的三个关系式解直角三角形
难点：能解与直角三角形有关的实际问题
教学过程
知识链接
/
合作探究
一、教材111页
例1、如图，一棵大树在一次强烈的地震中于地面5米折断倒下，树顶落在离树根12米处.则大树在折断之前高多少？
/
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程叫 。
解直角三角形的依据是什么
/
三边关系： 。
三角的关系： 。
边角的关系： 。
例2:如图,东西两炮台A,B相距2000米,同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰在它的南偏东40°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)
/
归纳：解直角三角形的两种情况;
; .
二、教材113页读一读
观察图片，什么是仰角和俯角
/
仰角： 。
俯角： 。
三、教材114页
例3、如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角??=52°.求旗杆BC的高(精确到0.1米)
/
归纳：实际问题的解法
。
四、教材115页读一读
什么叫坡角？
。
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做 ,记作i, 即 i=
?
??
/
坡度与坡角的关系是 。
例4、如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米)
/
五、教材116页读一读
归纳：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么？
，
，
，
。
自主尝试
1．有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里到C处，测得小岛P在正东方向上，则A、B之间的距离是( )
A．10海里 B．(10－10)海里
C．10海里 D．(10－10)海里
/
2、如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米．
/
【方法宝典】
利用方位角以及坡度角即可解答此题.
当堂检测
1．如图，某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点，B在O点的正东方，且在A的正南方，则/此时AB间的距离是________米．(结果保留根号)
/
2.河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为( )
A．12米 B．4米
C．5米 D．6米
/
3.如图，一艘轮船//航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(≈1.732)
/
4. 马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我国两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，如图，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)
(1)求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；
/
(2)若救助船A、救助船B分别以40/海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
会用直角三角形解决实际问题.
参考答案：
当堂检测：
10
3
2．A
3.该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．
理由如下：由题意，得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°.
∴∠CAB＝∠ABD，∴BC＝AC＝200海里．
在Rt△ACD中，设CD＝x海里，则AC＝2x，AD＝＝＝x.
在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2x，BD＝＝＝3x.
又∵BD＝BC＋CD，∴3x＝200＋x，解得x＝100./
∴AD＝x＝100≈173.2，
∵173.2海里＞170海里，∴轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．
4.(1)过点P作PH⊥AB于点H，
根据题意，得∠PAH＝90°－53.5°＝36.5°，∠PBH＝45°，AB＝140海里．
设PH＝x海里，在Rt△PHB中，tan45°＝，
∴BH＝x./在Rt△PHA中，tan36.5°＝，∴AH＝＝x.
又∵AB＝140，∴x＋x＝140，解得x＝60，即PH＝60.
答：可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为60海里．
(2)在Rt△PHA中，AH＝×60＝80，PA＝＝100.
救助船A到达P处的时间tA＝100÷40＝2.5(小时)；
在Rt△PHB中，PB＝＝60，
救助船B到达P处的时间tB＝60÷30＝2(小时)．
∵2.5＜2，∴救助船A先到达/P处．
/
华师大版数学九年级上24.4解直角三角形教学设计
课题
解直角三角形
单元
24
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
1.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.
2.理解仰角、俯角的含义，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题
过程与方法目标
让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.
情感态度与价值观目标
通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想.
重点
用直角三角形的三个关系式解直角三角形
难点
能解与直角三角形有关的实际问题
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，完成表格.
/
学生回顾知识，填表
引发学生思考，激发学生的学习兴趣
讲授新课
课件展示
例1、如图，一棵大树在一次强烈的地震中于地面5米折断倒下，树顶落在离树根12米处.则大树在折断之前高多少？
/
师：在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程叫解直角三角形，那么解直角三角形的依据是什么呢？
/
生： (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90o；
(3)边角之间的关系: sinA＝
??
??
，cosA＝
??
??
tanA＝
??
??
例2:如图,东西两炮台A,B相距2000米,同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰在它的南偏东40°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)
/
师：归纳解直角三角形的两种情况
生： (1)已知两条边； (2)已知一条边和一个锐角
师：观察图片，什么是仰角和俯角
/
生：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
例3、如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角??=52°.求旗杆BC的高(精确到0.1米)
/
师：怎样解实际问题呢？
生：认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题。把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。
师：什么叫坡角？
生：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
师：什么叫坡度（或坡比）
生：如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=
?
??
/
师：那么坡度与坡角的关系是怎样的？
生：i=
?
??
=tan??
课件展示
例4、如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米)
/
师：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么？
生：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
学生自己试着解答，老师订正
学生总结解直角三角形的概念以及依据
学生自主解答并归纳解直角三角形的两种情况.
学生观察图片，总结仰角和俯角的概念.
学生自主解答并总结方法
师生共同概括坡角，坡度以及坡度与坡角的关系.
学生自主解答并总结归纳解直角三角形的一般步骤.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
培养学生思考问题，解决问题的能力.
培养学生独立思考，自己解决问题的能力
培养学生总结概念
学生巩固学过的知识
培养学生总结归纳的能力.
培养学生独立思考，自己解决问题的能力
课堂练习
1.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两 点间距离是( )
/
A．200 米 B．200
3
米
C．220
3
米 D．100(
3
＋1)米
答案：D
2、某中学升国旗时，甲同学站在离旗杆底部 12m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为45° ，若它的双眼离地面1.3m ，则旗杆的高度为（ ? ） ?A.13.2 米 B. 13.3米
C. 12.3米 D. 13.4米
答案：A
3、如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端 30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为?? ，则树OA的高度为（ ） / ?A.
30
????????
米 B. 30sin???米
C. 30tan???米 D. 30cos???米
答案：C
4、如图，为了测量某风景区内一座古塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼层CD楼底C，楼顶D处，测得塔顶A仰角为45°和 30°，已知楼高CD为10m，则塔AB的高度为____ 米.
/
答案：15+5
3
5、一辆汽车沿着一山坡行驶了1300 ，其铅直高度上升了500 ，则山坡的坡度是________.
答案： 5:12
拓展提升
小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示)．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向 划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上， 这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)?
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，
2
≈1.41，
3
≈1.73)
/
答案：
解：过P作PC⊥AB于C，
/
在Rt△APC中，AP ＝ 200 m，∠ACP ＝ 90°，∠PAC ＝ 60°.
∴PC＝ 200×sin60°＝200 ×
3
2
＝100(m)．
∵在Rt△PBC中，sin37°＝
????
????
，∴PB＝
????
??????37°
＝
100×1.73
0.6
≈288(m)．
答：小亮与妈妈相距约288米．
【遵义中考】如图，一楼房AB后有一假山，其坡度 为i＝1∶
3
，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
/
答案：
解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
/
在Rt△CEF中，
∵i＝
????
????
＝
1
3
＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°.
∴EF＝
1
2
CE＝10米，CF＝10
3
米．
∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋10
3
)米．
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝(25＋10
3
)米．
∴AB＝AH＋HB＝(35＋10
3
)米．
答：楼房AB的高为(35＋10
3
)米．
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案
学生练习中考题
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
分层作业可以使各个层次的学生都很好的掌握.
让学生尽早接触中考题.
课堂小结
/
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
解直角三角形，只有下面两种情况
(1)已知两条边； (2)已知一条边和一个锐角
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
/
课件25张PPT。24.4解直角三角形华师大版 九年级上情境导入特殊角的三角函数．1????????新知讲解例1、如图，一棵大树在一次强烈的地震中于地面5米折断倒下，树顶落在离树根12米处.则大树在折断之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为?13+5=18(米)答：大树在折断之前高18米.本题是已知两直角边，求斜边在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程叫：解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；解直角三角形的依据：(2)锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90o；(3)边角之间的关系:???新知讲解例2:如图,东西两炮台A,B相距2000米,同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰在它的南偏东40°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)D解:在RtΔABC中,例题解析∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,?∴BC=ABtan∠CAB
=2000tan50°≈2384??本题是已知一边、一锐角，求其他两边答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111和2384米.归纳解直角三角形，只有下面两种情况(1)已知两条边新知讲解(2)已知一条边和一个锐角仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
水平线视线视线铅垂线从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.例题解析???解：在Rt△CDE中，=10×tan52°≈12.80∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3(米)答：旗杆BC的高度约为14.3米例题解析认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题。把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。归纳αi= h : l1、坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。2、坡度（或坡比） 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.?3、坡度与坡角的关系坡度等于坡角的正切值坡面水平面?新知讲解例题解析例4、如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米)解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E，F.在Rt△ADE中由题意可知DE=CF=4.2EF=CD=12.51?新知讲解?在Rt△BCF中，同理可得?∴AB=AE+EF+BF
≈6.72+12.51+7.90
≈27.1(米)答：路基下底的宽约为27.1米总结新知讲解利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.课堂练习?D，?AC4、如图，为了测量某风景区内一座古塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼层CD楼底C，楼顶D处，测得塔顶A仰角为45°和 30°，已知楼高CD为10m，则塔AB的高度为____ 米.
5、一辆汽车沿着一山坡行驶了1300 ，其铅直高度上升了500 ，则山坡的坡度是________.?5:12 ?拓展提升解：过P作PC⊥AB于C，C在Rt△APC中，AP ＝ 200 m，∠ACP ＝ 90°，∠PAC ＝ 60°.??答：小亮与妈妈相距约288米． ?中考链接解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，FH???在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，???解直角三角形课堂总结已知两条边已知一条边和一个锐角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.坡度与坡角的关系?板书设计解直角三角形，只有下面两种情况(1)已知两条边(2)已知一条边和一个锐角利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.作业布置如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横 断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度．( 结果精确到0.1 m，参考数据：sin35°≈ 0.57，cos35°≈ 0.82，tan35°≈ 0.70)谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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