课件93张PPT。2.向 心 力
第1课时 向 心 力 一、向心力
【思考】光滑桌面上细线拴小球做匀速圆周运动,所受合力沿什么方向?提示:所受合力沿细线方向,指向圆心。1.实例表明:做匀速圆周运动的物体受到了指向_____
的合力。
2.方向:始终沿半径指向_____。圆心圆心3.表达式:
(1)Fn=_____
(2)Fn=_____。
4.效果力:向心力是根据力的_________来命名的,凡是产生向心加速度的力,都是向心力。mω2r作用效果二、变速圆周运动和一般曲线运动
1.变速圆周运动的合力
(1)跟圆周相切的分力Ft产生切向加速度at,切向加速
度描述___________变化的快慢。
(2)指向圆心的分力Fn产生向心加速度an,向心加速度
描述_______________的快慢。线速度大小线速度方向改变2.一般曲线运动:(1)处理方法:_______。可以将一般的曲线分割成许多很短的小段,看作一小段圆弧。
(2)用圆周运动的处理方法研究质点在这一小段圆弧上的运动。微元法(3)下列描述中,你认为符合科学事实的有_____。
①匀速圆周运动的向心力是恒力
②匀速圆周运动的合力就是向心力
③变速圆周运动的向心力不指向圆心
④向心力是具有某种特定性质的力
⑤向心力可以由重力或弹力来充当②⑤一 向心力
1.匀速圆周运动中向心力的方向:
方向时刻在变化,始终指向圆心,与线速度的方向垂直。2.向心力的特点:由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直,故向心力不改变线速度的大小,只改变线速度的方向。
3.向心力的来源:匀速圆周运动中,向心力等于物体的合外力,常等效为三种情况:合力充当向心力,某一个力充当向心力,某个力的分力充当向心力。【思考·讨论】
情境:飞机在空中水平面内做匀速圆周运动;在光滑漏斗内壁上,小球做匀速圆周运动。讨论:
(1)飞机和小球在运动过程中受到哪些力的作用? (模型建构)
提示:重力和支持力。(2)这些力的合力方向及作用效果是什么? (物理观念)
提示:这些力的合力指向圆心,充当向心力,用来提供向心力。【典例示范】
如图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施,它的基本
装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上,绳子的下端连
接座椅,人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将
人和座椅看成一个质点,则可简化为如图乙所示的物理
模型,其中P为处于水平面内的转盘,可绕竖直转轴OO′转动,设绳长l=10 m,质点的质量m=60 kg,转盘静止时质点与转轴之间的距离d=4.0 m,转盘逐渐加速转动,经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动,此时绳与竖直方向的夹角θ=37°,不计空气阻力及绳重,且绳不可伸长,sin37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2,求质点与转盘一起做匀速圆周运动时: (1)绳子拉力的大小。
(2)转盘角速度的大小。【解题探究】
(1)质点在水平面内做匀速圆周运动,在竖直方向上所受合力情况怎样?
提示:在竖直方向上合力为零。(2)怎样确定质点做圆周运动的半径?
提示:质点到竖直轴OO′间的距离为质点做圆周运动的半径。 【解析】(1)如图所示,对质点进行受力分析,图中F为绳子的拉力,在竖直方向:
Fcos37°-mg=0
解得F= =750 N。(2)质点在水平面内做匀速圆周运动,重力和绳子拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律有
mgtan37°=mω2R
R=d+lsin37°
联立解得
答案:(1)750 N (2) rad/s 【规律方法】分析匀速圆周运动问题的基本步骤
(1)明确研究对象,对研究对象进行受力分析,画出受力示意图。
(2)确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
(3)将物体所受外力通过力的正交分解,分解到沿切线方向和沿半径方向。(4)列方程:沿半径方向满足F合1=mrω2= 沿切线方向F合2=0。
(5)解方程求出结果。【素养训练】
1.一个圆盘在水平面内匀速转动,盘面上有一个小物体随圆盘一起运动。对小物体进行受力分析,下列说法正确的是( )A.只受重力和支持力
B.只受重力、支持力、摩擦力
C.只受重力、支持力、向心力
D.只受重力、支持力、摩擦力、向心力【解析】选B。小物体做匀速圆周运动,合力指向圆心,对小物体受力分析,受重力、支持力和静摩擦力,如图所示;
重力和支持力平衡,静摩擦力提供向心力,故B正确。2.如图所示,沿半径为R的半球型碗的光滑内表面,质量
为m的小球正在虚线所示的水平面内做匀速圆周运动,
小球离碗底的高度h= ,试求(结果可用根号表示):(1)此时小球对碗壁的压力大小。
(2)小球做匀速圆周运动的线速度大小。
(3)小球做匀速圆周运动的周期大小。【解析】(1)由几何关系可知,支持力与水平方向的夹角为:θ=30°
对小球受力分析可知:FNsin 30°=mg,
解得:FN=2 mg。
(2)根据牛顿第二定律可知:FNcos 30°=
解得:v= 。(3)根据T=
可得:T=
答案:(1)2mg (2) (3)π 【补偿训练】
1.一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶,如图为雪橇受到的牵引力F及摩擦力F1的示意图(O为圆心),其中正确的是 ( )【解析】选C。雪橇做匀速圆周运动,合力指向圆心,提供向心力;滑动摩擦力F1的方向和相对运动方向相反,故F1向后且与圆轨道相切;由于拉力与摩擦力的合力指向圆心,故拉力的分力与F1相反,只有C项符合。2.如图所示,在固定光滑水平板上有一光滑小孔O,一根轻绳穿过小孔,一端连接质量m=1 kg的小球A,另一端连接质量M=4 kg的物体B。当A球沿半径r=0.1 m的圆周做匀速圆周运动时,要使物体B不离开地面,A球做圆周运动的角速度有何限制?(g取10 m/s2)【解析】小球A做圆周运动的向心力为绳子的拉力,
故FT=mω2r
B恰好不离开地面时
FT=Mg解上述两个方程得ω=20 rad/s,B不离开地面时拉力FT不大于B的重力,故A球做圆周运动的角速度应小于等于20 rad/s。
答案:A球做圆周运动的角速度应小于等于20 rad/s二 变速圆周运动与一般曲线运动
1.变速圆周运动合力的作用效果:(1)跟圆周相切的分力Ft:产生切向加速度,此加速度改变线速度的大小。
(2)指向圆心的分力Fn:产生向心加速度,此加速度改变线速度的方向。 2.匀速圆周运动与变速圆周运动的比较:3.一般曲线运动:
(1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)处理方法:一般的曲线运动中,可以把曲线分割成许多很短的小段,质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。【思考·讨论】
一列高铁列车匀速驶入如图所示的曲线
弯道时,怎样研究它的运动规律?
(科学思维)
提示:高铁列车匀速驶入曲线弯道某一路段时,可以看作圆周运动的一部分。【典例示范】
如图所示,物块P置于水平转盘上随转盘一起运动,且与转盘相对静止,图中c沿半径指向圆心,a与c垂直,下列说法正确的是 ( )A.当转盘匀速转动时,P受摩擦力方向为b方向
B.当转盘加速转动时,P受摩擦力方向可能为c方向
C.当转盘加速转动时,P受摩擦力方向可能为a方向
D.当转盘减速转动时,P受摩擦力方向可能为d方向【解析】选D。物块随转盘转动时,其向心力由静摩擦力提供,当它匀速转动时其方向指向圆心,当它加速转动时其方向斜向前方,当它减速转动时,其方向斜向后方。故选项D正确。【素养训练】
1.(多选)如图所示,一小球用细绳悬挂于O点,将其拉离竖直位置一个角度后释放,则小球以O点为圆心做圆周运动,运动中小球所需的向心力是 ( )A.绳的拉力
B.重力和绳拉力的合力
C.重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D.绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力【解析】选C、D。如图所示:对小球进行受力分析,它受重力和绳子拉力的作用,向心力是指向圆心方向的合力。因此,可以说向心力是小球所受合力沿绳方向的分力,也可以说是各力沿绳方向的分力的合力,选项C、D正确。2.荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动,如图所示,某同学正在荡秋千,A和B分别为运动过程中的最低点和最高点,若忽略空气阻力,则下列说法正确的是 ( )A.在A位置时,该同学处于失重状态
B.在B位置时,该同学受到的合力为零
C.在A位置时,该同学对秋千踏板的压力大于秋千踏板对该同学的支持力,处于超重状态
D.由A到B过程中,该同学的向心力逐渐减小【解析】选D。在A位置时,该同学的加速度向上,处于
超重状态,故A项错误;在B位置时,该同学的速度为零,
向心力为零,即沿绳子方向的合力为零,其合力等于重
力沿圆弧切向分力,不为零,故B项错误;根据牛顿第三
定律知,在A位置时,该同学对秋千踏板的压力等于秋千
踏板对该同学的支持力,故C项错误;由A到B过程中,该
同学的速度逐渐减小,由F=m 分析知,向心力逐渐减
小,故D项正确。【补偿训练】
1.一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段都可以看
成圆周运动的一部分,即把整条曲线用一系列不同半径
的小圆弧来代替。如图甲所示,曲线上A点的曲率圆定
义为:通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆,在
极限情况下,这个圆就叫作A点的曲率圆,其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出,如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是 ( )【解析】选C。物体做斜上抛运动,最高点速度即为斜
上抛的水平速度vP=v0cosα,最高点重力提供向心力
mg=m ,由两式得ρ= 2.如图所示,工厂里的吊车正吊着一个铸件沿水平方向匀速运动,因为某种原因,突然紧急刹车,此瞬间铸件所受的合外力 ( )A.方向竖直向上
B.方向向前
C.为零
D.方向竖直向下【解析】选A。由题意知,当车突然刹车停止运动时,铸
件开始做圆周运动,其所受合力指向圆心提供向心力,
有T-mg=m ,即合力竖直向上,故A正确。三 匀速圆周运动临界问题
1.常见类型:
(1)绳的拉力达到最大或为零。
(2)物体开始滑动时静摩擦力达到最大。
(3)物体脱离接触面时压力为零。2.解题关键:
(1)在圆周运动问题中,当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时,说明运动过程中存在临界点。
(2)分析临界状态的受力,列出临界条件下的牛顿第二定律方程。【典例示范1】(多选)如图,两个质量
均为m的小木块a和b(可视为质点)放
在水平圆盘上,a与转轴OO′的距离
为l,b与转轴的距离为2l,木块与圆盘
的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是( )A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω= 是b开始滑动的临界角速度
D.当ω= 时,a所受摩擦力的大小为kmg【解析】选A、C。设木块滑动的临界角速度为ω,kmg=
mω2r,所以ω= ,ra=l,rb=2l,所以ωa>ωb,A、C项
正确;摩擦力充当向心力,在角速度相等时,b受的摩擦
力大,B项错误;ω= 时,a受的摩擦力fa=mω2r=
D项错误。【误区警示】解决相对滑动临界问题的注意事项
(1)先确定研究对象受力情况,看哪些力充当向心力,哪些力可能突变引起临界问题。
(2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生变化。(3)关注临界状态,即静摩擦力达到最大值时。例题中,随圆盘转动、静摩擦力提供向心力,随转速的增大,静摩擦力增大,当达到最大静摩擦力时开始滑动,出现临界情况,此时对应的角速度为临界角速度。 【典例示范2】如图所示,在光滑的圆锥顶用长为l的细线悬挂一质量为m的物体,圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,细线与轴线之间的夹角为θ=30°,物体以速度v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。(1)当v1= 时,求细线对物体的拉力。
(2)当v2= 时,求细线对物体的拉力。【思维·建模】【解析】当物体恰好离开锥面时,此时物体与锥面接触但是没有弹力作用,如图所示:则:竖直方向:Tcosθ-mg=0,
水平方向:Tsinθ=
R=lsinθ,解得v= (1)当v1T1sinθ-N1cosθ=
竖直方向:T1cosθ+N1sinθ-mg=0,
R=lsinθ,解得:T1= mg。(2)v2>v时,物体离开锥面,设线与竖直方向上的夹角为α,如图所示:则竖直方向:T2cosα-mg=0,
水平方向:T2sinα=
而且:R2=lsinα,解得:T2=2mg。
答案:(1) (2)2mg【素养训练】
1.如图所示,内壁光滑的竖直圆筒,绕中心轴做匀速圆周运动,一物块用细绳系着,绳的另一端系于圆筒上表面圆心,且物块贴着圆筒内表面随圆筒一起转动,则 ( )A.绳的张力可能为零
B.圆筒对物块的弹力不可能为零
C.随着转动的角速度增大,绳的张力保持不变
D.随着转动的角速度增大,绳的张力一定增大【解析】选C。当物块随圆筒做圆周运动时,绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡,因此绳的张力为一定值,且不可能为零,选项A、D错误,C正确;当绳的水平分力恰能提供向心力的时候,圆筒对物块的弹力恰好为零,选项B错误。2.如图所示,两绳系一质量为0.1 kg的小球,两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处,上面绳长2 m,两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°,问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力?(g取10 m/s2) 【解析】两绳始终张紧的制约条件有以下两种情况:当ω由零逐渐增大时可能出现两个临界值,其一是上绳绷紧,下绳恰好伸直但无张力;其二是下绳绷紧,上绳恰好伸直无张力。当上绳绷紧,下绳恰好伸直但无张力时,小球受力如图:由牛顿第二定律得:mgtan30°=m r,
又有:r=Lsin30°,
计算得出:ω1= rad/s;
当下绳绷紧,上绳恰好伸直无张力时,小球受力如图:由牛顿第二定律得:mgtan45°=m r
计算得出:ω2= rad/s;
故当 rad/s<ω< rad/s时,两绳始终有张力。
答案: rad/s<ω< rad/s【补偿训练】
(多选)如图所示,在匀速转动的水平圆盘上,沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B,它们与盘间的动摩擦因数相同,当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时,烧断细线,则 ( )A.两物体均沿切线方向滑动
B.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动,同时所受摩擦力减小
C.两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动,不会发生滑动
D.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动,物体A发生滑动,离圆盘圆心越来越远【解析】选B、D。当圆盘转速加快到两物体刚要发生
滑动时,A物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的
合力提供向心力做匀速圆周运动,B靠指向圆心的静摩
擦力和拉力的合力提供向心力,所以烧断细线后,A所受
最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心
力,A要发生相对滑动,离圆盘圆心越来越远,但是B所需要的向心力小于B的最大静摩擦力,所以B仍保持相对圆盘静止状态,做匀速圆周运动,且静摩擦力比细线烧断前减小,故B、D项正确,A、C项错误。【拓展例题】考查内容:体育竞技中的圆周运动
【典例示范】如图所示,在双人花样滑冰运动中,有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面,目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°,重力加速度为g,估算该女运动员 ( )A.受到的拉力为2G B.受到的拉力为 G
C.向心加速度为 g D.向心加速度为2g【正确解答】选A。女运动员做圆锥摆运动,
由对女运动员受力分析可知,受到重力、男
运动员对女运动员的拉力,竖直方向合力为
零,由Fsin30°=G,解得:F=2G,F合=Fcos 30°
= G,故A项正确,B项错误;水平方向的合力提供匀速
圆周运动的向心力,有Fcos30°=ma向,即2mgcos30°
=ma向,所以a向= g,故C、D项错误。【课堂回眸】课件50张PPT。第2课时
实验:探究向心力大小的表达式 【实验目的】
1.定性感知向心力的大小与什么因素有关。
2.学会使用向心力演示器。
3.探究向心力与质量、角速度、半径的定量关系。【实验器材】
【实验原理与设计】
1.实验原理
探究方法:控制变量法。2.实验设计
(1)定性感知实验设计思路:如图所示,细线穿在圆珠笔
的杆中,一端拴住小物体,另一端用一只手牵住,另一只
手抓住圆珠笔杆并用力转动,使小物体做圆周运动,可
近似地认为作用在小物体上的细线的拉力提供了圆周
运动所需的_______,而细线的拉力可用牵住细线的手
的感觉来判断。向心力(2)定量分析实验设计思路:
①控制小球质量和半径不变,探究向心加速度与_______
的关系。
②控制小球质量和角速度不变,探究向心加速度与_____
的关系。
③控制小球半径和角速度不变,探究向心加速度与_____
的关系。角速度半径质量【实验过程】
一、实验步骤
1.向心力大小与哪些因素有关的定性感知。
(1)在小物体的质量和角速度不变的条件下,改变小物体做圆周运动的半径进行实验。(2)在小物体的质量和做圆周运动的半径不变的条件下,改变物体的角速度进行实验。
(3)换用不同质量的小物体,在角速度和半径不变的条件下,重复上述操作。 2.向心力与质量、角速度、半径关系的定量分析。
匀速转动手柄,可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动,槽内的小球也就随之做匀速圆周运动。这时,小球向外挤压挡板,挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时,小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套筒里的弹簧,弹簧的压缩量可以从标尺上读出,该读数显示了向心力大小。(1)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度不一样。注意向心力的大小与角速度的关系。
(2)保持两个小球质量不变,增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度相同。注意向心力的大小与半径的关系。 (3)换成质量不同的小球,分别使两小球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度也相同。注意向心力的大小与质量的关系。
(4)重复几次以上实验。二、数据收集与分析
1.m、r一定2.m、ω一定3.r、ω一定4.分别作出F向-ω2、F向-r、F向-m的图像。
5.实验结论:
(1)在质量和半径一定的情况下,向心力的大小与角速度的平方成正比。
(2)在质量和角速度一定的情况下,向心力的大小与半径成正比。(3)在半径和角速度一定的情况下,向心力的大小与质量成正比。【思考·讨论】
1.使用向心力演示仪时应注意哪方面安全问题? (科学态度与责任)
提示:将横臂紧固螺钉旋紧,以防小球和其他部件飞出而造成事故。2.使用向心力演示仪时怎样读出测力套筒的格数? (科学探究)
提示:摇动手柄时应力求缓慢加速,注意观察其中一个测力套筒的格数。达到预定格数时,即保持转速均匀恒定。类型一 影响向心力大小的因素的定性分析
【典例1】如图所示,同学们分小组探究影响向心力大小的因素。同学们用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)在空中甩动,使杯在水平面内做圆周运动,来感受向心力。 (1)则下列说法中正确的是____________。?
A.保持质量、绳长不变,增大转速,绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变,增大转速,绳对手的拉力将增大C.保持质量、角速度不变,增大绳长,绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变,增大绳长,绳对手的拉力将增大(2)如图甲,绳离杯心40 cm处打一结点A,80 cm处打一结点B,学习小组中一位同学用手表记时,另一位同学操作,其余同学记录实验数据:
操作一:手握绳结A,使杯在水平方向每秒运动一周,体会向心力的大小。
操作二:手握绳结B,使杯在水平方向每秒运动一周,体会向心力的大小。 操作三:手握绳结A,使杯在水平方向每秒运动二周,体会向心力的大小。
操作四:手握绳结A,再向杯中添加30 mL的水,使杯在水平方向每秒运动一周,体会向心力的大小。则:①操作二与一相比较:质量、角速度相同,向心力的大小与转动半径大小有关;
操作三与一相比较:质量、半径相同,向心力的大小与角速度的大小有关;
操作四与一相比较:____________相同,向心力大小与____________有关; ?
②物理学中此种实验方法叫______________法。?③小组总结阶段,在空中甩动纸杯,使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说:“感觉手腕发酸,感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力,跟书上说的不一样”你认为该同学的说法是否正确,为什么? _________________。?【解析】(1)由题意,根据向心力公式,F向=mω2r,由牛顿第二定律,则有T拉=mω2r;保持质量、绳长不变,增大转速,根据公式可知,绳对手的拉力将增大,故A错误,B正确;保持质量、角速度不变,增大绳长,根据公式可知,绳对手的拉力将变大,故C错误,D正确。(2)根据向心力公式 F向=mω2r,由牛顿第二定律,则有
T拉=mω2r ;操作二与一相比较:质量、角速度相同,向
心力的大小与转动半径大小有关;操作三与一相比较:
质量、半径相同,向心力的大小与角速度的大小有关;
操作四与一相比较:角速度、半径相同,向心力大小与
质量有关;物理学中此种实验方法叫控制变量法。该同学受力分析的对象是自己的手,我们实验受力分析的对象是纸杯,细线的拉力提供纸杯做圆周运动的向心力指向圆心。细线对手的拉力与“向心力”大小相等,方向相反,背离圆心。答案:(1)B、D
(2)①角速度(线速度)、半径 质量 ②控制变量
③说法不对,该同学受力分析的对象是自己的手,我们实验受力分析的对象是纸杯,细线的拉力提供纸杯做圆周运动的向心力指向圆心。细线对手的拉力与“向心力”大小相等,方向相反,背离圆心类型二 影响向心力大小因素的定量分析
【典例2】控制变量法是物理实验探究的基本方法之一。如图是用控制变量法探究向心力大小与质量m、角速度ω和半径r之间关系的实验情境图,其中: (1)探究向心力大小与质量m之间关系的是图____________;?
(2)探究向心力大小与角速度ω之间关系的是图____________。?【解析】探究向心力大小与质量m之间的关系保证角速度相同,而质量不同,所以是图丙。探究向心力大小与角速度ω之间的关系,保证质量相同,而角速度不同,所以是图甲。
答案:(1)丙 (2)甲类型三 实验创新
用圆锥摆验证向心力表达式
【典例3】如图所示是“用圆锥摆实验验证向心力公
式”的实验,细线下悬挂了一个质量为m的小钢球,细线
上端固定在O点。将画有几个同心圆的白纸置于水平桌
面上,使小钢球静止时(细线张紧)位于同心圆上。用手带动小钢球,使小钢球在水平面内做匀速圆周运动,随即手与球分离。(当地的重力加速度为g) (1)用秒表记录小钢球运动n圈的时间t,从而测出此时钢球做匀速圆周运动的周期T=____________。?
(2)再通过纸上的圆,测出小钢球做匀速圆周运动的半径R;可算出小钢球做匀速圆周运动所需的向心力F向=____________。?(3)测量出细绳长度L,小钢球做匀速圆周运动时所受的合力F合=____________(小钢球的直径与绳长相比可忽略)。?
(4)这一实验方法简单易行,但是有几个因素可能会影响实验的成功,请写出一条:__________________。? 【解析】(1)周期为转动一圈所经历的时间,故用总时间除以圈数即为周期即T= 。
(2)根据向心力计算公式,所需的向心力为
F向= (3)小钢球受力如图所示:
则合力F合=mgtanθ=
(4)半径R比较难准确测量、小钢球是否做圆周运动等会影响实验成功。答案:(1) (2) (3)mg (4)半径R比较难准确测量、小钢球是否做圆周运动等(合理即可)类型四 实验创新
利用传感器探究向心力大小的表达式
【典例4】某兴趣小组用如图甲所示的装置与传感器结合,探究向心力大小的影响因素。实验时用手拨动旋臂产生圆周运动,力传感器和光电门固定在实验器上,测量向心力和角速度。(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间,并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r,自动计算出砝码做圆周运动的角速度,则其计算角速度的表达式为________。 ?(2)图乙中①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线,为抛物线,由图可知,曲线①对应的砝码质量____________(选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量。 ? 【解析】(1)物体转动的线速度v= ,
由ω= ,计算得出:ω= 。
(2)图中抛物线说明:向心力F和ω2成正比;若保持角速度和半径都不变,则质点做圆周运动的向心加速度不变,由牛顿第二定律F=ma可以知道,质量大的物体需要的向心力大,所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量。答案:(1)ω= (2)小于【创新评价】温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.关于向心力,下列说法中正确的是 ( )
A.物体由于做圆周运动而产生一个向心力
B.向心力不改变物体做圆周运动的速度大小
C.做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力
D.做一般曲线运动的物体所受的合力即为向心力
【解析】选B。向心力是根据力的作用效果命名的,它不改变速度的大小,只改变速度的方向,选项A错误,B正确;做匀速圆周运动的物体的向心力始终指向圆心,方向在不断变化,是变力,选项C错误;做一般曲线运动的物体所受的合力通常可分解为切线方向的分力和法线方向的分力,切线方向的分力提供切向加速度,改变速度的大小,法线方向的分力提供向心加速度,改变速度的方向,选项D错误。
2.(多选)关于变速圆周运动和一般的曲线运动,下列说法正确的是( )
A.做变速圆周运动时合外力不指向圆心
B.做变速圆周运动时向心力指向圆心
C.研究一般的曲线运动时可以分解成许多小段圆弧进行分析
D.做变速圆周运动时向心加速度不指向圆心
【解析】选A、B、C。做变速圆周运动时,合外力不指向圆心,但向心力和向心加速度总是指向圆心的,A、B正确,D错误;一般的曲线运动可以分解成许多小段圆弧按照圆周运动规律进行分析,C正确。
3.质量分别为M和m的两个小球,分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上,当转轴稳定转动时,拴质量为M和m小球的悬线与竖直方向夹角分别为α和β,如图所示,则 ( )
A.cosα= B.cosα=2cosβ
C.tanα= D.tanα=tanβ
【解析】选A。以M为研究对象受力分析,由牛顿第二定律得:
Mgtanα=M2lsin α
得:T1=2π
同理:以m为研究对象:T2=2π
因T1=T2,所以2cosα=cosβ,故A正确。
4.一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定,有质量相同的小球A和B,沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动,如图所示,A的运动半径较大,则 ( )
A.A球的线速度必大于B球的线速度
B.A球的角速度必大于B球的角速度
C.A球的运动频率必大于B球的运动频率
D.A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
【解析】选A。以小球为研究对象,对小球受力分析,小球受力如图所示,由牛顿第二定律得:F==m,解得:v=,A的运动半径较大,A球的线速度必大于B球的线速度,故A正确;由牛顿第二定律得:=mω2r,解得:ω=,A的运动半径较大,A球的角速度必小于B球的角速度,故B错误;由于f==,可得A球的运动频率必小于B球的运动频率,故C错误;由受力分析图可知,球受到的支持力FN=,由于两球的质量m与角θ相同,则筒壁对A、B两球的支持力相等,由牛顿第三定律可知,两球对筒壁的压力相等,故D错误。
5.如图所示,半球形金属壳竖直固定放置,开口向上,半径为R,质量为m的物块,沿着金属壳内壁滑下,滑到最低点时速度大小为v,若物块与球壳之间的动摩擦因数为μ,则物块在最低点时,下列说法正确的是 ( )
A.受到向心力为mg+m
B.受到的支持力为mg+m
C.受到的摩擦力为μmg
D.受到的摩擦力方向为水平向右
【解析】选B。向心力的大小为 Fn=m,故A项错误;物块在最低点时,根据牛顿第二定律得:N-mg=m,则有:N=mg+m,所以滑动摩擦力为:f=μN=μ(mg+m),故B项正确,C项错误;物块相对于金属壳向右,则物块受到的滑动摩擦力方向水平向左,故D项错误。
【补偿训练】
质量为m的小物体沿着半径为R的半球形金属球壳下滑,当滑到最低点时速率为v,如图所示,若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ,则物体在最低点时( )
A.加速度为 B.向心力为m(g+)
C.对球壳的压力为m D.受到的摩擦力为μm(g+)
【解析】选D。物体滑到半球形金属球壳最低点时,速度大小为v,半径为R,向心加速度为an=,但是由于受摩擦力,水平方向还有切向加速度,故合加速度大于,故A错误;根据牛顿第二定律得知,物体在最低点时的向心力为:Fn=man=m,故B错误;根据牛顿第二定律得:N-mg=m,得到金属球壳对物体的支持力为: N=m(g+),由牛顿第三定律可知,物体对金属球壳的压力大小为:N′=m(g+),故C错误;物体在最低点时,受到的摩擦力为:f=μN=μm(g+),故D正确。
6.如图所示,半径R=0.4 m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内,半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A。一质量m=0.1 kg 的小球,以初速度v0=7.0 m/s在水平地面上向左做加速度a=3.0 m/s2的匀减速直线运动,运动L=4 m后,冲上竖直半圆环,最后小球落在C点。(重力加速度g取10 m/s2)
(1)求小球运动到A点时的速度大小vA。
(2)若AC的距离为1.2 m,求小球经过B点时对轨道的压力大小FB。
【解析】(1)小球向左做匀减速直线运动,根据速度—位移公式有:-=-2aL,
解得:vA== m/s=5 m/s。
(2)根据平抛运动规律可知,竖直方向为自由落体运动,则:
2R=gt2
得平抛运动的时间为:
t== s=0.4 s
由于水平方向为匀速运动,则平抛运动的初速度为:
vB== m/s=3 m/s
在B点根据牛顿第二定律得:
mg+FB′=m,
代入数据解得:FB′=1.25 N
根据牛顿第三定律可知小球在B点对轨道的压力大小为FB=FB′=1.25 N,方向竖直向上。
答案:(1)5 m/s (2)1.25 N
【补偿训练】
如图所示,一半径为r的圆筒绕其中心轴以角速度ω匀速转动,圆筒内壁上紧靠着一个质量为m的物体与圆筒一起运动,相对筒无滑动。若已知筒与物体之间的摩擦因数为μ,试求:
(1)物体所受到的摩擦力大小。
(2)筒内壁对物体的支持力。
【解析】物体做匀速圆周运动,合力指向圆心;对物体受力分析,受重力、向上的静摩擦力、指向圆心的支持力,如图
其中重力mg与静摩擦力f平衡,故有:f=mg
支持力N提供向心力,由牛顿第二定律可得:N=mω2r。
答案:(1)mg (2)mω2r
情境:体育运动中的“双星”问题。双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员的手一起做匀速圆周运动,场面很精彩。实际上他们绕着连线的某点一起做圆周运动。
问题:
(1)他们运动过程中的角速度有什么关系?
(2)他们的运动半径跟什么有关系?
【解析】(1)他们一起绕连线的某点运动,角速度相等。
(2)两名运动员的角速度相等,根据m男r1ω2=m女r2ω2可知,运动半径跟质量成反比。
答案:见解析
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课堂检测·素养达标
1.如图所示是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器,球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动,两球之间用一条轻绳连接,mP=2mQ,当整个装置以角速度ω匀速旋转时,两球离转轴的距离保持不变,则此时 ( )
A.两球受到的向心力大小相等
B.P球受到的向心力大于Q球受到的向心力
C.两球均受到重力、支持力和向心力三个力的作用
D.当ω增大时,Q球将沿杆向外运动
【解析】选A。两球均受到重力、支持力和绳子的拉力作用,向心力是三个力的合力;两球的重力均与支持力平衡,由绳的拉力提供向心力,则P球受到的向心力等于Q球受到的向心力,所以A选项是正确的,B、C错误;根据向心力大小相等得mPrP=mQrQ,因为角速度相同,此方程与角速度无关,所以当ω增大时,两球半径不变,P球不会沿杆向外运动,Q球也不会沿杆向外运动,故D错误。
2.如图所示,在验证向心力公式的实验中,质量相同的钢球①、②分别放在转盘A、B上,它们到所在转盘转轴的距离之比为2∶1。a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮。a、b的轮半径之比为1∶2,用皮带连接a、b两轮转动时,钢球①、②所受的向心力之比为 ( )
A.8∶1 B.4∶1 C.2∶1 D.1∶2
【解析】选A。皮带传动,边缘上的点线速度大小相等,所以va=vb,a轮、b轮半径之比为1∶2,所以由v=rω得:==,共轴的点角速度相等,两个钢球的角速度分别与共轴轮的角速度相等,则=。根据向心加速度a=rω2,则知=。钢球的质量相等,由F=ma得,向心力之比为=,所以A正确,B、C、D错误。
3.用如图所示的装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。两个变速轮塔通过皮带连接,转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动,槽内的钢球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对钢球的压力提供向心力,钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降,从而露出标尺,标尺上的红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值。如图是探究过程中某次实验时装置的状态。
(1)在研究向心力的大小F与质量m关系时,要保持____________相同。?
A.ω和r B.ω和m C.m和r D.m和F
(2)如图中所示,两个钢球质量和半径相等,则是在研究向心力的大小F与____________的关系。?
A.质量m B.半径r C.角速度ω
(3)若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶9,与皮带连接的两个变速轮塔的半径之比为____________。?
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1
【解析】在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时,需先控制某些量不变,研究另外两个物理量的关系,该方法为控制变量法。
(1)因F=mω2r,根据控制变量法的原理可知,在研究向心力的大小F与质量m关系时,要保持其他的物理量不变,其中包括角速度ω与半径r,即保持角速度与半径相同,故选A。
(2)图中所示两球的质量相同,转动的半径相同,根据F=mω2r可知研究的是向心力与角速度的关系,故选C。
(3)根据F=mω2r可知,两球的向心力之比为1∶9,半径和质量相等,则转动的角速度之比为1∶3,因为靠皮带传动,变速轮塔的线速度大小相等,根据v=rω可知与皮带连接的变速轮塔对应的半径之比为3∶1,故选B。
答案:(1)A (2)C (3)B
4.如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体质量、向心力、轨道半径及线速度关系的实验装置,做匀速圆周运动的圆柱体放置在水平光滑圆盘上,力传感器测量向心力F,速度传感器测量圆柱体的线速度v,该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变,来探究向心力F与线速度v的关系:
(1)该同学采用的实验方法为____________。 ?
A.等效替代法 B.控制变量法
C.理想化模型法 D.比值法
(2)改变线速度v,多次测量,该同学测出了五组F、v数据,如表所示:
v/(m·s-1)
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
F/N
0.88
2.00
3.50
5.50
7.90
该同学对数据分析后,在图乙坐标纸上描出了五个点。
①作出F-v2图线;
②若圆柱体运动半径r=0.2 m,由作出的F-v2图线可得圆柱体的质量m=____________kg(保留两位有效数字)。?
【解析】(1)实验中研究向心力和线速度的关系,保持圆柱体质量和运动半径不变,采用的实验方法是控制变量法,所以B选项是正确的。
(2)①作出F-v2图线,如图所示:
②根据F=知,图线的斜率k=,则有:=,代入数据计算得出:m=0.18 kg。
答案:(1)B (2)①见解析图 ②0.18
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课时素养评价 六
向 心 力
(15分钟 30分)
一、选择题(本题共3小题,每题6分,共18分)
1.上海磁悬浮线路是世界上第一条运营示范线,轨道的最大转弯处半径达到
8 000 m,如图所示,近距离用肉眼看几乎是一条直线,而转弯处最小半径也达到
1 300 m,一个质量为50 kg的乘客坐在以360 km/h的不变速率行驶的车里,随车驶过半径为2 500 m的弯道,下列说法正确的是 ( )
A.乘客受到的向心力大小约为200 N
B.乘客受到的向心力大小约为539 N
C.乘客受到的向心力大小约为300 N
D.弯道半径设计得特别小可以使乘客在转弯时更舒适
【解析】选A。由Fn=m,可得Fn=200 N,选项A正确,B、C错误;设计半径越大,转弯时乘客所需要的向心力越小,转弯时就越舒适,D错误。
2.如图所示,一对男、女溜冰运动员质量分别为m男=80 kg和m女=40 kg,面对面拉着一弹簧测力计做匀速圆周运动的溜冰表演,不计冰面的摩擦。则男女两人
( )
A.做圆周运动的向心力之比为2∶1
B.做圆周运动的运动半径之比为1∶2
C.做圆周运动的角速度之比为1∶2
D.做圆周运动的向心加速度之比为2∶1
【解析】选B。男女两名运动员靠弹簧测力计的拉力提供向心力,两向心力大小相等,故A项错误;两名运动员的角速度相等,根据m男r1ω2=m女r2ω2知,男女两名运动员的运动半径之比等于质量反比,即1∶2,故B项正确,C项错误;根据a=rω2知,两人的角速度相等,半径之比为1∶2,则向心加速度之比为1∶2,故D项错误。
【补偿训练】
在光滑杆上穿着两个小球m1、m2,且m1=2m2,用细线把两球连起来,当盘架匀速转动时,两小球刚好能与杆保持无相对滑动,如图所示,此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为 ( )
A.1∶2 B.1∶ C.2∶1 D.1∶1
【解析】选A。两小球所受的绳子的拉力提供向心力,所以向心力相等,角速度又相等,则有:m1ω2r1=m2ω2r2,解得:r1∶r2=1∶2。
3.一倒立的圆锥筒,筒侧壁倾斜角度α不变。一小球在筒的内壁做匀速圆周运动,球与筒内壁的摩擦可忽略,小球距离地面的高度为H,则下列说法中正确的是
( )
A.H越高,小球做圆周运动的向心力越大
B.H越高,小球做圆周运动的线速度越小
C.H越高,小球做圆周运动的周期越大
D.H越高,小球对侧壁的压力越小
【解析】选C。小球做匀速圆周运动,由重力mg和支持力F的合力提供圆周运动的向心力,作出受力图如图,则向心力为:Fn=mgtanα,m、α不变,向心力大小不变,故A错误;根据牛顿第二定律得Fn=m,H越高,r越大,Fn不变,则v越大,故B错误;由mgtanα=mrω2得:ω=,则知H越高,r越大,ω越小,则周期T越大,故C正确;侧壁对小球的支持力F=不变,则小球对侧壁的压力不变,故D错误。
二、计算题(12分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)
4.长为L的细线,一端固定于O点,另一端拴一质量为m的小球,让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动),如图所示,摆线与竖直方向的夹角为α,不计空气阻力。求:
(1)线的拉力大小;
(2)小球运动的线速度的大小;
(3)小球运动的周期。
【解析】(1)对小球受力分析如图所示:
小球受重力mg和线的拉力FT作用,
细线拉力FT=;
(2)由mgtanα=m;
半径R=Lsinα,
解得v=sinα;
(3)由mgtanα=m,
解得T=2π。
答案:(1) (2)sinα (3)2π
【补偿训练】
如图所示,细绳一端系着质量M=1 kg的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑小孔吊着m=0.3 kg的物体,M的中点与圆孔距离L=0.2 m。M与水平面的最大静摩擦力为2 N,现使此平面绕中心轴线以角速度ω转动,为使m处于静止状态,角速度ω为何值?
【解析】设此平面角速度ω的最小值为ω1,此时M所受的静摩擦力达到最大,方向沿半径向外
由牛顿第二定律得:T-fmax=ML
又T=mg
联立解得:ω1= rad/s
设此平面角速度ω的最大值为ω2,此时M所受的静摩擦力达到最大,方向沿半径向里
由牛顿第二定律得:T+fmax=ML
又T=mg
联立解得:ω2=5 rad/s
故为使m处于静止状态,角速度ω的取值范围为:
rad/s≤ω≤5 rad/s
答案: rad/s≤ω≤5 rad/s
(10分钟 20分)
5.(6分)一小球质量为m,用长为L的悬绳(不可伸长,质量不计)固定于O点,在O点正下方处钉有一颗钉子,如图所示,将悬线沿水平方向拉直无初速释放,当悬线碰到钉子的瞬间,则 ( )
A.小球线速度没有变化
B.小球的角速度突然增大到原来的2倍
C.小球的向心加速度突然增大到原来的2倍
D.悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍
【解析】选A、B、C。当碰到钉子瞬间,小球到达最低点时线速度没有变化,故A正确。根据圆周运动知识得:ω=,而半径变为原来的,线速度没有变化,所以小球的角速度突然增大到原来的2倍,故B正确。根据圆周运动知识得:a=,而半径变为原来的,线速度没有变化,所以向心加速度突然增大到原来的2倍,故C正确;小球摆下后由机械能守恒可知,mgL=mv2,因小球下降的高度相同,故小球到达最低点时的速度相同,v=;在最低点根据牛顿第二定律得:F-mg=ma
=m,原来:r=L,F=mg+m=3mg;而现在半径变为原来的,线速度没有变化。所以F′=mg+m=5mg, 悬线对小球的拉力突然增大到原来的倍,故D错误。
6.(14分)小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为m的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时,绳突然断掉,球飞行水平距离d后落地,如图所示。已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为d,重力加速度为g,忽略手的运动半径和空气阻力。
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2;
(2)求绳能承受的最大拉力;
(3)改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应是多少?最大水平距离为多少?
【解析】(1)设绳断后球飞行时间为t,由平抛运动规律得
竖直方向d=gt2 ①
水平方向d=v1t ②
联立①②解得v1= ③
在竖直方向上有vy=gt= ④
则v2= ⑤
联立③④⑤解得v2=;
(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT,
这也是球受到绳的最大拉力大小。
球做圆周运动的半径为R=d,
小球在最低点时,由牛顿第二定律得:
FT-mg=,
解得FT=mg;
(3)设绳长为l,绳断时球的速度大小为v3,绳承受的最大拉力不变。由牛顿第二定律得:FT-mg=,
解得v3=,
绳断后球做平抛运动,
竖直位移为d-l,水平位移为x,时间为t1,则:
竖直方向d-l=g,
水平方向x=v3t1,解得x=4,
当l=时,x有最大值,xmax=d。
答案:(1) (2)mg (3) d
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