课件52张PPT。3.向心加速度【思考】
小球绕绳子一端做匀速圆周运动,它的加速度方向如何?如何计算其大小?它的速度大小改变吗?提示:加速度方向指向圆心,可由an= 或an=ω2r计算
其大小,速度大小不变。1.涵义:做匀速圆周运动的加速度总指向_____。
2.方向:始终沿半径指向_____,并与线速度方向_____。
3.大小:an=____或an=____。
4.作用效果:只改变_____________,不改变线速度大小。圆心圆心垂直ω2r线速度的方向5.物理意义:描述___________改变快慢的物理量。
6.下列表述中正确的是_____。
①匀速圆周运动是匀变速曲线运动
②做匀速圆周运动的物体,其向心加速度恒定
③物体做匀速圆周运动时,其相等时间内的位移相等
④物体做匀速圆周运动时,相等时间内的速度的变化量
不同线速度方向④⑥⑤根据an= 可知加速度与半径成反比
⑥根据an=ω2r可知当角速度一定时,加速度与半径成正
比一 匀速圆周运动的加速度方向
1.物理意义:描述匀速圆周运动中线速度改变的快慢,只能表示速度方向变化的快慢,不表示速度大小变化的快慢。2.方向特点:
(1)指向圆心:无论是匀速圆周运动,还是变速圆周运动,向心加速度的方向都指向圆心(或者说与线速度方向垂直)。
(2)时刻改变:无论向心加速度的大小是否变化,向心加速度的方向随线速度方向的改变时刻改变,所以圆周运动的向心加速度是时刻改变的。3.匀速圆周运动中的“变”与“不变”:
(1)“不变”量:匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变,线速度、加速度这两个矢量的大小不变。
(2)“变化”量:匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变,故它们在时刻变化。【思考·讨论】
情境:地球绕太阳做匀速圆周运动,如甲图所示;光滑桌面上一个小球由于细线的牵引,绕桌面上的图钉做匀速圆周运动,如乙图所示。 讨论:
(1)在匀速圆周运动中,地球、小球的运动状态发生变化吗?若变化,试分析原因。 (物理观念)
提示:运动状态发生变化,因为地球和小球都受到力的作用。(2)根据牛顿第二定律,试分析地球、小球的加速度方向变化吗?匀速圆周运动是一种什么运动? (科学思维)
提示:地球、小球的合力指向圆心,方向时刻在变,因此,加速度方向也在时刻发生变化;匀速圆周运动是一种变速运动。【典例示范】
下列关于向心加速度的说法中正确的是 ( )
A.向心加速度的方向始终指向圆心
B.向心加速度的方向保持不变
C.在匀速圆周运动中,向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中,向心加速度的大小不断变化 【解析】选A。向心加速度的方向始终指向圆心,和线速度的方向垂直,不改变线速度的大小只是改变线速度的方向,由于加速度是矢量,因此向心加速度是时刻变化的,向心加速度大小不变,故B、C、D项错误,A项正确。【素养训练】
1.关于向心加速度,下列说法正确的是 ( )
A.向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B.向心加速度是描述线速度的方向变化快慢的物理量
C.向心加速度时刻指向圆心,方向不变
D.向心加速度是平均加速度,大小可用a= 计算 【解析】选B。加速度是描述速度变化快慢的物理量,
向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量,因此
A错误,B正确;虽然向心加速度时刻指向圆心,但是沿不
同的半径指向圆心,所以方向不断变化,C错误;加速度
公式a= 适用于平均加速度的计算,向心加速度一
般是指瞬时加速度,D错误。 2.我们习惯这样的自然现象 “太阳下山明早依旧爬上来”。黎明,旭日东升;黄昏,夕阳西下。白天和黑夜周而复始,不断交替出现,我们习以为常的这种自然现象就是地球自转产生的。关于地球上的物体随地球自转,下列说法正确的是 ( ) A.在赤道上向心加速度最大
B.在两极向心加速度最大
C.在地球上各处向心加速度一样大
D.在地球上各处线速度都一样大 【解析】选A。地球自转时,各点绕地轴转动,具有相同的角速度,根据a=rω2知,距地轴的距离越大,向心加速度越大,所以在赤道处的向心加速度最大,两极向心加速度最小,故A正确,B、C错误;根据公式v=ωr可得,在地球上各处线速度跟圆周运动半径大小有关,故D错误。 【补偿训练】
物体做匀速圆周运动过程中,其向心加速度 ( )
A.大小和方向均保持不变
B.大小和方向均时刻改变
C.大小保持不变、方向时刻改变
D.大小时刻改变,方向保持不变 【解析】选C。做匀速圆周运动的物体加速度是矢量,方向时刻指向圆心,是变化的,向心加速度的大小不变,故C项正确。 二 匀速圆周运动的加速度大小
1.向心加速度的大小:
已知向心力表达式:Fn= ,Fn=mrω2
根据牛顿第二定律Fn=man得到
(1)an= =ω2r=ωv:由于v=ωr,所以向心加速度也可
以是an=ωv。(2)an= =4π2f2r:由于ω= =2πf,所以向心加
速度也可以是an= =4π2f2r。2.公式的推导:
(1)物理量:设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动,在某时刻t位于A点的速度为vA,经过很短的时间Δt后运动到B点,速度为vB,把速度矢量vA和vB的始端移至一点,求出速度矢量的改变量Δv=vB-vA,如图甲、乙所示。(2)推导过程:图乙中的矢量三角形与图甲中的△OAB是
相似三角形,用v表示vA和vB的大小,用Δl表示弦AB的长
度,则有: ,故Δv= v。
所以加速度an= 。
而当Δt趋近于零时, 表示线速度的大小v,于是得到
an= 。再由v=rω得an=ω2r。【思考·讨论】
情境:如图所示,自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不同,A、B、C是它们边缘上的三个点。讨论:A和B、B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系? (物理观念)
提示:A和B两个点的向心加速度与半径成反比;B和C两点的向心加速度与半径成正比。【典例示范】
如图所示,一个大轮通过皮带拉着小轮转动,皮带和两
轮之间无相对滑动,大轮的半径是小轮半径的2倍,大轮
上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的 。当大轮
边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时,大轮上的S点
和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少? 【解析】同一轮子上的S点和P点的角速度相同,
即ωS=ωP。
由向心加速度公式an=ω2r,
得 ,
故aS= ×12 m/s2=4 m/s2;又因为皮带不打滑,所以皮带传动的两轮边缘上各点的
线速度大小相等,即vP=vQ,
由向心加速度公式an= ,
得 ,
故aQ= =2×12 m/s2=24 m/s2。
答案:4 m/s2 24 m/s2【规律方法】向心加速度公式的应用技巧
(1)先确定各点是线速度大小相等,还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时,向心加速度与半径成反比,在
角速度相同时,向心加速度与半径成正比。
(3)向心加速度公式an= 和an=ω2r不仅适用于匀速圆
周运动,也适用于变速圆周运动。【素养训练】
1.(多选)如图所示是甲、乙两球做圆周运动的向心加速度随半径变化的关系图像,下列说法中正确的是
( ) A.甲球线速度大小保持不变
B.乙球线速度大小保持不变
C.甲球角速度大小保持不变
D.乙球角速度大小保持不变【解析】选A、D。从图像知,对甲:a与R成反比,由a=
知,当v一定时,a∝ ,故甲球线速度大小不变。
对乙:a与R成正比,由a=ω2R知,当ω一定时,a∝R,故乙
球角速度一定。选项A、D正确。2.如图所示,两轮用皮带传动,假设皮带不打滑,图中A、B、C三点所在处半径rA>rB=rC,则这三点的向心加速度aA、aB、aC的大小关系正确的是 ( )A.aA=aB B.aC>aA
C.aA
rB,
则aA据a=rω2,由题意知:rA>rC,可得:aA>aC,联立以上可知:
aB>aC,故B、D错误。3.家用台式计算机上的硬磁盘的磁道如图所示,O点为磁道的圆心,A、B两点位于不同的磁道上,盘绕O点匀速转动时,A、B两点的向心加速度
( )A.大小相等,方向相同
B.大小相等,方向不同
C.大小不等,方向相同
D.大小不等,方向不同【解析】选D。同轴转动角速度相同,根据向心加速度公式an=ω2r,两点转动半径不同,故向心加速度大小不同,方向指向圆心,故方向也不同,故D正确。【补偿训练】
1.处于北纬45°的物体与赤道上的物体随地球自转的
向心加速度之比为 ( )
A.1∶1 B.1∶
C. ∶1 D.1∶2 【解析】选B。处于北纬45°的物体与赤道上的物体随
地球自转的角速度相等,根据圆周运动的向心加速度公
式a=rω2,由于二者的半径之比为1∶ ,则向心加速
度之比为1∶ ,故B正确。2.如图所示,半径为R的圆环竖直放置,一轻弹簧一端固
定在环的最高点A,一端系一带有小孔穿在环上的小球,
弹簧原长为 R。将小球从静止释放,释放时弹簧恰无
形变,小球运动到环的最低点时速率为v,这时小球向心
加速度的大小为 ( )【解析】选A。小球沿圆环运动,其运动轨迹就是圆环
所在的圆,轨迹的圆心就是圆环的圆心,运动轨迹的半
径就是圆环的半径,小球运动到环的最低点时,其向心
加速度的大小为 ,加速度方向竖直向上,选项A正确。【拓展例题】考查内容:生活中的圆周运动
【典例示范】如图甲所示,修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的,其原理可简化为图乙所示。则齿轮边缘上A、B两点具有相同的 ( ) A.线速度的大小
B.周期
C.向心加速度的大小
D.角速度【正确解答】选A。修正带的传动属于齿轮传动,A与B
的线速度大小相等;二者的半径不同,由v=ωr可知A与B
的角速度不相等,故A项正确,D项错误;二者角速度不相
等,根据T= 可知,二者的周期不相等,故B项错误;由
向心加速度公式an= ,A的半径大于B的半径可知,A的
向心加速度小于B的向心加速度,故C项错误。【课堂回眸】温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.下列关于匀速圆周运动的向心加速度的说法中,不正确的是 ( )
A.它的方向始终与线速度方向垂直
B.它的大小可以通过公式a=计算
C.它描述了线速度方向变化的快慢
D.它的大小是不断变化的
【解析】选D。做匀速圆周运动的物体要受到指向圆心的向心力的作用,向心力大小不变,方向时刻变化,而且方向始终与线速度方向垂直,所以向心加速度的方向始终指向圆心,与线速度方向垂直,描述了线速度方向变化的快慢,在不同的时刻方向是不同的,而大小不变,可通过公式a=计算,故A、B、C正确,D错误。
2.下列关于质点做匀速圆周运动的说法正确的是 ( )
A.由a=知a与r成反比
B.由a=ω2r知a与r成正比
C.由ω=知ω与r成反比
D.由ω=2πn知ω与转速n成正比
【解析】选D。由a=知,只有当v一定时,a才与r成反比;同理,由a=ω2r知,只有当ω一定时,a才与r成正比;由ω=知v一定,ω与r成反比,故A、B、C均错误;而ω=2πn中,2π是定值,ω与转速n成正比,D正确。
3.“玉兔号”月球车依靠太阳能电池板提供能量,如图ABCD是一块矩形电池板,能绕CD转动,E为矩形的几何中心(未标出),则电池板旋转过程中 ( )
A.B、E两点的转速相同
B.A、B两点的角速度不同
C.A、B两点的线速度不同
D.A、E两点的向心加速度相同
【解析】选A。根据题意,绕CD转动的过程中,电池板上各点的角速度相同,则转速相等,故A正确,B错误;根据线速度与角速度关系式v=ωr,转动半径越小的,线速度也越小,由几何关系可知,A、B两点的线速度相等,故C错误;A、E两点因角速度相同,半径不同,由向心加速度的公式a=ω2r可知,它们的向心加速度不同,故D错误。
【补偿训练】
如图所示是一个玩具陀螺,a、b、c是陀螺表面上的三点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时,下列表述正确的是 ( )
A.a、b、c三点的线速度大小相等
B.a、b两点的加速度比c点的大
C.a、b两点的角速度比c点的大
D.a、b两点的线速度始终相同
【解析】选B。a、b、c三点的角速度相等,但b、c的半径不等,根据v=rω知线速度的大小不等,故A错误;a、b、c三点的角速度相等,故C错误;根据a=rω2知,a、b两点的向心加速度比c点大,故B正确;a、b两点的角速度相等,半径相等,根据v=rω线速度大小相等,但方向不同,则线速度不同,故D错误。
4.如图所示,拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍,A和B是前轮和后轮边缘上的点,若车行进时车轮没有打滑,则 ( )
A.两轮转动的周期相等
B.前轮和后轮的角速度之比为3∶1
C.A点和B点的线速度大小之比为1∶2
D.A点和B点的向心加速度大小之比为2∶1
【解析】选D。A、B分别为同一传动装置前轮和后轮边缘上的一点,所以vA=vB,故C错误;根据v=ωr和vA=vB, 可知A、B两点的角速度之比为2∶1,故B错误;由ω=和前轮与后轮的角速度之比2∶1,求得两轮的转动周期为1∶2,故A错误;由a=,可知向心加速度与半径成反比,则A与B点的向心加速度之比为2∶1,故D正确。
5.2019年欧洲花样滑冰锦标赛在白俄罗斯首都明斯克继续进行。法国双人滑组合时隔87年再夺金,扎吉托娃领跑女单。如图所示,在男女双人花样滑冰运动中,
男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为
30 r/min,女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s,求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小。
【解析】男女运动员的转速、角速度是相同的,
由ω=2πn得ω=2×3.14× rad/s=3.14 rad/s。
由v=ωr得r== m≈1.53 m
由a=ω2r得a=3.142×1.53 m/s2≈15.1 m/s2。
答案:3.14 rad/s 1.53 m 15.1 m/s2
航天航空中的圆周运动问题
情境:科幻电影《星际穿越》中描述了空间站中模拟地球上重力的装置。这个模型可以简化为如图所示的环形实验装置,外侧壁相当于“地板”。让环形实验装置绕O点旋转,能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”。
问题:
(1)则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为g,装置的外半径为R)?
(2)不同质量的人受力相同吗?感受相同吗?
【解析】(1)为使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”,则物体的向心加速度应等于g,根据g=ω2R,可得ω= 。
(2)不同质量的人受力不相同,感受相同。
答案:见解析
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课时素养评价 七
向心加速度
(15分钟 30分)
一、选择题(本题共4小题,每题5分,共20分)
1.质点做圆周运动时,下列说法正确的是 ( )
A.速度的大小不变,方向时刻改变
B.匀速圆周运动是变加速曲线运动
C.物体所受合力全部用来提供向心力
D.加速度大小不变,方向时刻改变
【解析】选B。圆周运动的速度的大小可能改变,方向也时刻变化,A错误;匀速圆周运动的加速度大小不变,但方向时刻改变,是变加速曲线运动,B正确;圆周运动的加速度大小也可能在变,D错误;若该圆周运动的速度大小也发生变化时,其所受合力不一定指向圆心,C错误。
2.如图所示,线段OP一端固定,另一端系一小球,让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动,关于小球运动到P点时的加速度方向,下列图中可能的是 ( )
【解析】选B。匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度,其方向指向圆心,选项B正确。
3.如图所示,地球可以看成半径为R的球体绕地轴O1O2以角速度ω匀速转动,A、B为地球上两点。下列说法中正确的是 ( )
A.A、B两点具有不同的角速度
B.A、B两点的线速度之比为 1∶
C.A、B两点的向心加速度之比为∶1
D.A、B两点的向心加速度方向都指向球心
【解析】选C。A、B两点共轴转动,角速度相等,故A项错误;因为A、B两点绕地轴转动,A点的转动半径大于B点的转动半径,由图可知:rA=Rsin60°=R,rB=Rsin30°=R,根据v=rω知,A、B两点的线速度之比为∶1,故B项错误;根据a=rω2知,角速度相等,A、B两点的向心加速度之比为∶1,故C项正确;A、B两点的向心加速度方向垂直指向地轴,故D项错误。
【补偿训练】
由于地球的自转,地球表面的物体会产生向心加速度,下列说法正确的是( )
A.在地球表面各处的向心加速度都指向地心
B.赤道上物体的向心加速度最大
C.赤道和北极上物体的向心加速度一样大
D.赤道和地球内部物体的向心加速度一样大
【解析】选B。除两极外,在地球表面各处一起绕地轴转动,向心加速度方向都是指向地轴且平行于赤道平面,故A项错误; 地球自转时,各点绕地轴转动,具有相同的角速度,根据a=rω2,知到地轴的距离越大,向心加速度越大,所以在赤道处的向心加速度最大,两极向心加速度最小,故B项正确,C、D项错误。
4.如图所示,两轮压紧,通过摩擦传动(不打滑),已知大轮半径是小轮半径的2倍,E为大轮半径的中点,C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点,则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是 ( )
A.aC=aD=2aE B.aC=2aD=2aE
C.aC==2aE D.aC==aE
【解析】选C。同轴传动,C、E两点的角速度相等,由a=ω2r,有=2,即aC=2aE;两轮边缘点的线速度大小相等,由a=,有=,即aC=aD,故选项C正确。
二、计算题(10分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)
5.一物体沿半径为10 m的圆形轨道在水平面内做匀速圆周运动,线速度为10 m/s,在A点运动方向为正北,经周期运动至B点,在B点运动方向为正东,如图所示,求:
(1)物体从A到B过程通过的路程和位移。
(2)物体运动的角速度和向心加速度的大小。
【解析】(1)物体从A到B的过程中路程为:
s=×2πR=πR=π×10 m=5π m
物体从A到B的过程中位移大小为:
x=R=×10 m=10 m
方向由A指向B。
(2)角速度为:
ω===1 rad/s
向心加速度为:
a=ω2r=1×10 m/s2=10 m/s2
答案:(1)5π m 10 m,方向由A指向B
(2)1 rad/s 10 m/s2
(10分钟 20分)
6.(6分)(多选)如图所示,两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点,并在同一水平面内做匀速圆周运动,则它们的 ( )
A.周期相等
B.线速度的大小相等
C.角速度的大小相等
D.向心加速度的大小相等
【解析】选A、C。对小球受力分析如图所示,受自身重力mg、绳子拉力FT,合力提供向心力即水平指向圆心,设细线和竖直方向夹角为θ,小球到悬点的距离为h,则有mgtanθ=man=mω2htanθ,可得向心加速度an=gtanθ,所以向心加速度大小不相等,选项D错误;角速度ω=,所以角速度大小相等,选项C正确;由于水平面内圆周运动的半径不同,线速度v=ωhtanθ,所以线速度大小不同,选项B错误,周期T=,角速度相等,所以周期相等,选项A正确。
7.(14分)某汽车以恒定的速率驶入一个狭长的90°圆弧形水平弯道,弯道两端连接的都是直道。有人在车内测量汽车的向心加速度随时间的变化关系如图乙所示。求:
(1)汽车转弯所用的时间。
(2)汽车行驶的速率。
【解析】(1)由题图乙可得汽车转弯所用的时间为:
t=10 s。
(2)汽车在转弯过程中做圆周运动的周期
T=4t=40 s,
由an=r,
可得:r=63.7 m,
由an=,
解得v=10 m/s。
答案:(1)10 s (2)10 m/s
【补偿训练】
如图所示,压路机大轮半径R是小轮半径r的2倍,压路机匀速行驶时,大轮边缘上A点的向心加速度为0.12 m/s2,那么
(1)小轮边缘上B点的向心加速度为多大?
(2)大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度为多大?
【解析】(1)压路机匀速行驶时,vB=vA,
由a=,
得==2
得aB=2aA=0.24 m/s2
(2)由ωA=ωC和a=ω2r,
得==
得aC=aA=0.04 m/s2。
答案:(1)0.24 m/s2 (2)0.04 m/s2
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