参考答案
1. B 2. A 3. A 4. B 5. D 6. D 7. C 8. D 9. C
10. 75°，15°
11. 8cm
12. ②
13. 130°
14. 52°
15. 130
16. 解：若腰长为5，底边长为9，因为5＋5>9，符合三角形三边关系，所以此时能组成三角形，周长为5＋5＋9＝19.若腰长为9，底边长为5，显然此时也能组成三角形，周长为9＋9＋5＝23.所以这个三角形的周长为19或23.
17. 解：(1)因为∠A＝30°，∠C＝∠B，所以∠B＝∠C＝＝75°.所以△ABC是锐角三角形.
(2)180°×＝30°，180°×＝60°，180°×＝90°，所以此三角形为直角三角形.
18. 解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，∴∠B＋∠C＝140°.∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴180°－2∠2＋180°－2∠3＝140°，∴2(∠2＋∠3)＝220°，∴∠2＋∠3＝110°.∴∠EDF＝180°－110°＝70°.
19. (1)证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1＝∠2＝∠DCE.∵∠DCE＝90°，∴∠1＝45°.∵∠3＝45°，∴∠1＝∠3，∴AB∥CF.
(2)解：∵∠D＝30°，∠1＝45°，∴∠DFC＝180°－30°－45°＝105°.
20. 解：(1)假命题.直角也是大于锐角的角.
(2)假命题.忽视了长为7的边既可以是底边，也可以是腰.若长为7的边为底边，则腰长为＝，此时，另两边的长度为，；若长为7的边为腰，则另一腰的长也为7，则底边长为16－7－7＝2，此时另两边长为7，2.
21. 证明：如图，∵∠1＋∠A＝∠3＋∠C①，∠2＋∠C＝∠4＋∠E②，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴①②两式相加可得：∠1＋∠A＋∠4＋∠E＝∠3＋∠C＋∠2＋∠C，∴∠E＋∠A＝2∠C.
沪科版数学八年级上册第13章《三角形的边角关系、例题与证明》
复习巩固专讲专练
章 末 知 识 复 习
类型一 三角形内角和定理的实际应用
经典例题1 某地有A，B，C三个村庄，如图所示，B村在C村的正西方向，A村在B村的北偏东20°方向，同时A村又在C村的北偏西45°方向，那么，在A村看B，C两个村，视角是多大？
解析：A，B，C三个村庄的连线构成三角形，所求的视角就是∠BAC的大小，只要能求出∠ABC，∠ACB的大小，再由三角形内角和定理即可求出∠BAC的大小．
解：由B村在C村的正西方向，A村在B村的北偏东20°方向可知，∠ABC＝∠PBC－∠PBA＝90°－20°＝70°.
由B村在C村的正西方向，A村在C村的北偏西45°方向可知，∠ACB＝∠QCB－∠QCA＝90°－45°＝45°.
所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－70°－45°＝65°.
所以在A村看B，C两个村的视角是65°.
点拨：本题也可以过点A作PB的平行线，根据“两直线平行，内错角相等”，求得∠BAC的度数．
类型二 三角形的三边关系
经典例题2 如图①所示，点M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图②所示，则下列说法正确的是( )
A．点M在AB上
B．点M在BC的中点处
C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远
D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远
解析：因为AC＋BC>AB，所以铁丝AD的中点M一定不在AB上．因为∠B＝30°，∠C＝100°，所以AB>AC，所以AB＋BC>AC＋BC，铁丝AD的中点M一定在BC上，且距点B较近，距点C较远，所以选项C正确．
答案：C
类型三 证明与推论
经典例题3 如图①所示，已知AB∥CD，求证：∠AEC＝∠1＋∠2.
解析：本题已知平行线，关键是如何使要证的角与平行线发生联系，需作出辅助线才能沟通已知和结论．
证明：证法1：如图②所示，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠3＝∠1，∠4＝∠2.(两直线平行线，内错角相等)
∵∠AEC＝∠3＋∠4，∴∠AEC＝∠1＋∠2.(等量代换)
证法2：如图③所示，连接AC.∵AB∥CD，(已知)
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，(两直线平行，同旁内角互补)
即∠1＋∠3＋∠4＋∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝180°－∠3－∠4.
在△ACE中，∠AEC＝180°－∠3－∠4.(三角形的内角和定理)
∴∠AEC＝∠1＋∠2.(等量代换)
证法3：如图④所示，延长AE交CD于F点．
∵AB∥CD，(已知)
∴∠1＝∠3.(两直线平行，内错角相等)
又∠AEC＝∠2＋∠3，(三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和)
∴∠AEC＝∠1＋∠2.(等量代换)
类型四 有关角的规律探索
经典例题4 已知在△ABC中，∠BAC＝100°.
(1)若∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，如图①所示，试求∠BOC；
(2)若∠ABC，∠ACB的三等分线(即将一个角平均分成三份的射线)分别相交于点O，O1，如图②所示，试求∠BOC；
(3)依此类推，若∠ABC，∠ACB的n等分线(即将一个角平均分成n份的射线)自下而上依次相交于点O，O1，O2，…，如图③所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC＝170°时，是几等分线相交所成的角．
解析：(1)根据三角形内角和定理可求得∠ABC＋∠ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得∠OBC＋∠OCB＝，从而不难求出∠BOC的大小；
(2)根据三角形内角和定理可求得∠ABC＋∠ACB的度数，再根据三等分线的定义可求得∠OBC＋∠OCB＝，从而不难求出∠BOC的大小；
(3)根据三角形内角和定理可求得∠ABC＋∠ACB的度数，再根据n等分线的定义可求得∠OBC＋∠OCB＝，从而不难探求∠BOC的大小与n的关系．
解：(1)∵∠BAC＝100°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－100°＝80°.
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC＋∠OCB＝＝＝40°，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－40°＝140°.
(2)∵点O是∠ABC，∠ACB三等分线的交点，
∴∠OBC＋∠OCB＝，
∴∠BOC＝180°－＝.
(3)∵点O是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠OBC＋∠OCB＝，
∴∠BOC＝180°－.
当∠BOC＝170°时，是八等分线相交所成的角．
点拨：本题运用了整体的思想，把∠ABC＋∠ACB及∠OBC＋∠OCB看成一个整体，使复杂的问题简单化，由本题(1)可得结论“若∠A＝x°，则∠BOC＝90°＋”，此结论在今后的学习中经常用到．
综 合 检 测
一、选择题
1. 下列三条线段不能构成三角形的三边的是( )
A. 3cm，4cm，5cm B. 5cm，6cm，11cm
C. 5cm，6cm，10cm D. 2cm，3cm，4cm
2. 已知三角形三边的长分别为1，2，x，则x的取值范围在数轴上表示为( )
A B
C D
3. 下列命题是假命题的是( )
A. 若|a|＝|b|，则a＝b B. 两直线平行，同位角相等
C. 对顶角相等 D. 三角形外角和等于360°
4. 如图所示，在锐角△ABC中，CD和BE分别是AB，AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A＝50°，则∠BPC的度数为( )
A. 150° B. 130° C. 120° D. 100°
第4题 第5题
5. 如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为( )
A. 360° B. 720° C. 540° D. 240°
6. 如图，铅笔放置在△ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转∠A，∠C，∠B的度数后，笔尖方向变为点B到点A的方向，这种变化说明( )
A. 三角形中任何两边的和大于第三边 B. 三角形中任何两边的差小于第三边
C. 三角形外角和等于360° D. 三角形内角和等于180°
7. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A的度数是( )
A. 35° B. 95° C. 85° D. 75°
8. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是( )
A. ∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B. ∠1＋∠2＝∠3－∠4
C. ∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D. ∠1＋∠4＝∠2－∠3
第8题 第9题
9. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，∠1＝∠2，求证：BE∥CF.现有下列步骤：①因为∠1＝∠2；②所以∠ABC＝∠BCD＝90°；③所以BE∥CF；④因为AB⊥BC，DC⊥BC；⑤所以∠EBC＝∠FCB.其中证明步骤正确的是( )
A. ①②③④⑤ B. ③④⑤②①
C. ④②①⑤③ D. ⑤②③①④
二、填空题
10. 在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则两个锐角分别为 .
11. 如图，已知△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，BC边上中线AD＝6cm，△ABD周长为19cm，AB＝ .
12. 下列命题是定理的是 (填序号).
①两点之间线段最短；
②三角形中任何两边之差小于第三边；
③如果三角形的两条边长分别为5和8，则第三边长x的取值范围是3＜x＜13.
13. 如图，将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠2＝65°，则∠1＝ .
第13题 第14题
14. 如图，在△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝ .
15. 如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝40°，则∠2＝ 度.
三、解答题
16. 已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于9，求这个三角形的周长.
17. 满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？
(1)∠A＝30°，∠C＝∠B；
(2)三个内角的度数比为1∶2∶3.
18. 如图所示，在△ABC中，点D在BC上，∠A＝40°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠EDF的度数.
19. 将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证：CF∥AB.
(2)求∠DFC的度数.
20. 证明下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请说明理由.
(1)大于锐角的角是钝角；
(2)若等腰三角形的周长为16，其中一边长为7，则该等腰三角形的底边长为2.
21. 如图，BC平分∠ABE，DC平分∠ADE.求证：∠E＋∠A＝2∠C.
