课件47张PPT。3.万有引力理论的成就 一、“称量”地球的质量
【思考】地球不能用天平称量,是否可以通过万有引力定律来“称量”呢?
提示:可以1.合理假设:不考虑地球自转。
2.“称量”依据:地面上质量为m的物体所受的重力mg
等于地球对物体的引力,即mg=G ,由此可解得
m地=______。二、计算天体质量
1.计算太阳的质量:行星做匀速圆周运动的向心力由太
阳与行星间的万有引力提供,列出方程G =m ,
由此可解得m太=______。2.计算行星的质量:与计算太阳的质量一样,若已知卫
星绕行星运动的周期T和轨道半径r,就可计算出行星的
质量m行=_______。一 天体质量和密度的计算
任务1 天体质量的计算方法【思考·讨论】
(1)假设地球绕太阳做匀速圆周运动,如果知道万有引力常量G、地球绕太阳运动的周期T和轨道半径r,可以计算出地球的质量吗? (科学思维)提示:不可以。(2)如果要估算出太阳的密度,应该知道哪些条件?(科学思维)
提示:万有引力常量G、太阳半径R、地球绕太阳运动的周期T和轨道半径r。【典例示范】 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G,则这颗行星的质量为 ( )A. B. C. D. 【解析】选B。在忽略行星自转的情况下,万有引力等
于重力,故有N=mg= ,而 =m ,解得M= ,
B正确。任务2 天体密度的计算的方法
计算天体密度的基本思路:若天体的半径为R,则天体的
密度ρ=
(1)将M= 代入上式得:ρ= 。
(2)将M= 代入上式得:ρ= 。当卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径r等于天体半
径R,则ρ= 。【典例示范】 (2018·全国卷Ⅱ)2018年2月,我国
500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms①。假设星体为质量均匀分布的球体②,已知万有引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值③ 约为 ( )A.5×109 kg/m3
B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3
D.5×1018 kg/m3【审题关键】【解析】选C。星体自转的最小周期发生在其赤道上的
物体所受向心力正好全部由引力提供时,根据牛顿第二
定律:G =m ;又因为V= πR3、ρ= ;联立可
得ρ= ≈5×1015 kg/m3,选项C正确。【素养训练】
1.(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为r,卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T,已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,则地球的质量可表示为 ( )A. B. C. D. 【解析】选A、C。根据G =m 得,M= ,
选项A正确、B错误;在地球的表面附近有mg= ,
则M= ,选项C正确,选项D错误。2.某飞行器在距月球表面高度为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动,其运行的周期为T。若以R表示月球的半径,忽略月球自转及地球对卫星的影响,则月球的平均密度为 ( )
A. B.
C. D. 【解析】选D。联立m( )2(R+h)=G 、
V= πR3、ρ= ,解得:ρ= 。二 天体运动的定性分析和定量计算
任务1 天体运动的定性分析
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为
r的匀速圆周运动。
(1)由G =m 得v= ,r越大,天体的v越小。(2)由G =mω2r得ω= ,r越大,天体的ω越小。
(3)由G =m( )2r得T=2π ,r越大,天体的T
越大。
(4)由G =man得an= ,r越大,天体的an越小。【典例示范】 (2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星
绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速
度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分
别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金
此可以判定 ( )
A.a金>a地>a火 B.a火>a地>a金
C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金【解析】选A。由万有引力提供向心力G =ma可知轨
道半径越小,向心加速度越大,故知A项正确,B错误;由
G =m 得v= ,可知轨道半径越小,运行速率
越大,故C、D都错误。任务2 天体运动的定量计算
1.解决天体运动问题的基本思路:一般行星或卫星的运
动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体
对它的万有引力提供,所以研究天体时可建立基本关系
式:G =ma,式中a是向心加速度。2.常用的关系式:
(1)G =m =mω2r=m ,万有引力全部用来提
供行星或卫星做圆周运动的向心力。(2)mg=G 即gR2=GM,物体在天体表面时受到的引力
等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。【典例示范】 我国古代神话传说中:地上的“凡
人”过一年,天上的“神仙”过一天。如果把看到一次
日出就当作“一天”,某卫星的运行半径为月球绕地球
运行半径的 ,则该卫星上的宇航员24 h内在太空中
度过的“天”数约为(已知月球的运行周期为27天)
( )A.1 B.8 C.16 D.24【解析】选B。根据天体运动的公式
得 ,解得卫星运行的周期为3 h,故24 h内看
到8次日出,B项正确。【素养训练】
1.(2018·江苏高考)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km,之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km,它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比,下列物理量中“高分五号”较小的是 ( )A.周期 B.角速度
C.线速度 D.向心加速度【解析】选A。卫星围绕地球做匀速圆周运动,满足
G =m =mω2r=m =ma,由此可推出,半径r越
小,周期T越小,选项A正确,半径r越小,角速度ω、线
速度v、向心加速度a越大,选项B、C、D错误。2.如图所示,a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星,下列说法正确的是 ( )A.b、c的线速度大小相等,且大于a的线速度
B.b、c的线速度大小相等,且小于a的线速度
C.c加速可追上同一轨道上的b
D.b减速可等候同一轨道上的c【解析】选B。根据G =m ,解得v= ,则b、c
线速度大小相等,且小于a的线速度,故A错误,B正确;c
加速,万有引力不够提供向心力,做离心运动,离开原轨
道,所以不会与同轨道上的卫星相遇,故C错误;b减速,
万有引力大于所需向心力,卫星做近心运动,离开原轨
道,所以不会与同轨道上的卫星相遇,故D错误。【拓展例题】考查内容:天体运动中的临界问题
【典例示范】一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为 ( )A. B.
C. D. 【正确解答】选D。物体随天体一起自转,当万有引
力全部提供向心力时,物体对天体的压力恰好为零,
则G =m R,
又ρ= ,所以T= ,选项D正确。【课堂回眸】温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.下列说法正确的是 ( )
A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算出的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此人们发现了海王星
【解析】选D。由行星的发现历史可知,天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的;海王星不是通过观测发现,也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道,从而发现了海王星。由此可知,A、B、C错误,D正确。
2.地球表面的平均重力加速度为g,地球半径为R,万有引力常量为G,用上述物理量估算出来的地球平均密度为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A。联立以下三式:G=mg、V=πR3、ρ=,解得:ρ=。
3.北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球导航系统,系统空间段由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成,预计2020年全部建成。关于这5颗静止轨道卫星,下列说法正确的是 ( )
A.线速度相同 B.角速度相同
C.向心加速度相同 D.所受向心力相同
【解析】选B。这5颗静止轨道卫星是地球的同步卫星,线速度大小相等、角速度相同、向心加速度大小相等,而线速度方向时刻变化,向心加速度方向时刻变化,故选项A、C错误,选项B正确;这5颗静止轨道卫星的质量不一定相等,所受向心力大小不一定相等,方向时刻变化,故选项D错误。
4.某宇航员在飞船起飞前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N,在火箭发射阶段,发现当飞船随火箭以a=的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度),其身体下方体重测试仪的示数为1 220 N。已知地球半径R=6 400 km。地球表面重力加速度g取10 m/s2(求解过程中可能用到=1.03,=1.02)。问:
(1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍?
(2)该位置距地球表面的高度h为多大?
(3)地球的平均密度是多少?
【解析】(1)飞船起飞前,对宇航员受力分析有G=mg,得m=84 kg。
在h高度处对宇航员受力分析,应用牛顿第二定律有F-mg′=ma,得=。
(2)根据万有引力公式可知,在地面处有=mg。
在h高度处有 =mg′。
解以上两式得h=0.02R=128 km。
(3)根据=mg可得,地球质量M=
地球的密度ρ==
代入数据得ρ=5.6×103 kg/m3
答案:(1)倍 (2)128 km (3)5.6×103 kg/m3
情境:在不久的将来,人类乘坐飞船去月球旅行或许会成为一种时尚,一个体重(连同装备)为200 kg的旅行者,在航行到离地球表面等于地球半径高度处。
问题:若已知地球表面的重力加速度为10 m/s2,月球的质量约为地球质量的,月球的半径约为地球半径的,求:
(1)此时旅行者所受的地球引力是多少?
(2)旅行者登上月球后所受的月球引力是多少?
【解析】(1)设地球的质量为M,半径为R,
人在地面所受引力:F1=G=mg=200×10 N=2 000 N
人在离地球表面等于地球半径高度处所受引力:
F2=G=G=mg=500 N
(2)人在月球表面所受引力:
F3=G=G=G=mg=395 N
答案:(1)500 N (2)395 N
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课时素养评价 十一
万有引力理论的成就
(25分钟 60分)
一、选择题(本题共6小题,每题5分,共30分)
1.若已知某行星的一颗卫星绕其运转的轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,则可求得 ( )
A.卫星的质量 B.行星的质量
C.该卫星的平均密度 D.行星的平均密度
【解析】选B。利用万有引力定律,只能计算中心天体的质量,故已知卫星的轨道半径和周期,只能计算行星的质量,A、C项错误,B项正确。因不知行星的半径,故不能计算出行星的平均密度,D项错误。
2.过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为4天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的,该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A. B.1
C.5 D.10
【解析】选B。研究行星绕某一恒星做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力知:=mr,解得M=; “51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为4天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的,所以该中心恒星与太阳的质量比约为≈1,选项B正确。
3.火星的质量和半径分别约为地球的和,地球表面的重力加速度为g,则火星表面的重力加速度约为 ( )
A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g
【解析】选B。在星球表面有mg=,设火星表面的重力加速度为g火,则==0.4,故B正确。
4.科学家们推测,太阳系有颗行星和地球在同一轨道上。从地球上看,它永远在太阳的背面,人类一直未能发现它,可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可以推知 ( )
A.这颗行星的质量等于地球的质量
B.这颗行星的密度等于地球的密度
C.这颗行星的公转周期与地球公转周期相等
D.这颗行星的自转周期与地球自转周期相等
【解析】选C。由题意知,该行星和地球一样绕太阳运行,且该行星、太阳、地球在同一直线上,说明该颗行星与地球有相同的公转周期,C选项正确;但根据所给条件,无法进一步判断这颗行星与地球的自转周期、质量、密度是否相同。
5.若将地球同步卫星和月球绕地球的运动均视为匀速圆周运动,下列相关说法正确的是 ( )
A.月球的周期比同步卫星的周期小
B.月球的角速度比同步卫星的角速度大
C.月球的线速度比同步卫星的线速度大
D.月球的向心加速度比同步卫星的向心加速度小
【解析】选D。因为地球同步卫星的轨道半径大约为3.6×107m,小于月球的轨道半径;卫星绕地球圆周运动的向心力由万有引力提供, G=m=mr=
ma=mrω2;则周期T=,可知半径大则周期大,因此月球的周期比同步卫星的周期大,故选项A错误;角速度ω=,因为月球轨道半径大于同步卫星轨道半径,故ω月<ω同,故B错误;线速度v=,因为月球轨道半径大于同步卫星轨道半径,则月球的线速度比同步卫星的线速度小,故C错误;a=,因为月球轨道半径大于同步卫星轨道半径,故a月6.一物体从某行星表面某高度处自由下落。从物体开始下落计时,得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示,不计阻力。则根据h -t图像可以计算出 ( )
A.行星的质量
B.行星的半径
C.行星表面重力加速度的大小
D.物体受到行星引力的大小
【解析】选C。根据图像可得物体下落25 m,用的总时间为2.5 s,根据自由落体运动的位移公式可求得行星表面的重力加速度,C项正确;根据行星表面的万有引力约等于重力,只能求出行星质量与行星半径平方的比值,不能求出行星的质量和半径,A项和B项错误;因为物体质量未知,不能确定物体受到行星的引力大小,D项错误。
二、计算题(本题共2小题,共30分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)
7.(14分)土星和地球均可近似看作球体,土星的半径约为地球半径的9.5倍,土星的质量约为地球质量的95倍,已知地球表面的重力加速度g0=10 m/s2,地球密度约为ρ0=5.5×103 kg/m3,试计算:
(1)土星的密度。
(2)土星表面的重力加速度。
【解析】(1)星体的密度ρ==,
===0.11,
故土星的密度约为ρ=0.11ρ0=0.61×103 kg/m3。
(2)根据星球表面的物体受到的万有引力近似等于物体的重力,mg=G,g=,
则===1.05。
所以土星表面的重力加速度g=1.05g0=10.5 m/s2。
答案:(1)0.61×103 kg/m3 (2)10.5 m/s2
8.(16分)为了探测X星球,载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心,半径为r1的圆轨道上运动,周期为T1,总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船,变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动,此时登陆舱的质量为m2,求:
(1)X星球的质量M。
(2)登陆舱在半径为r2的轨道上做圆周运动的周期T2。
【解析】(1)飞船绕X星球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,由牛顿第二定律知G=m1,解得:X星球的质量M=。
(2)对m1有:G=m1r1
对m2有:G=m2r2
解得:T2=T1
答案:(1) (2)T1
(15分钟 40分)
9.(6分)(多选)科学家在研究地月组成的系统时,从地球向月球发射激光,测得激光往返时间为t。若还已知万有引力常量G,月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T,光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)。则由以上物理量可以求出 ( )
A.月球到地球的距离 B.地球的质量
C.月球受地球的引力 D.月球的质量
【解析】选A、B。根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离,故A正确;又因知道月球绕地球旋转的周期T,根据G=m()2r可求出地球的质量M=,故B正确;我们只能计算中心天体的质量,故D错误;因不知月球的质量,无法计算月球受地球的引力,故C错误。
10.(6分)火星上有两颗卫星甲和乙,它们的轨道近似为圆,甲的周期比乙的周期小,则两个卫星相比 ( )
A.甲距火星表面较近 B.乙的角速度较大
C.甲的速率较小 D.乙的向心加速度较大
【解析】选A。对卫星有:G=mr,解得:T=2π,可知甲的轨道半径较小,甲距火星表面较近,故选项A正确;根据G=mω2r可得:ω=,则乙的角速度较小,故选项B错误;根据G=m可得:v=,则甲的速率较大,故选项C错误;根据G=ma可得:a=,则乙的向心加速度较小,故选项D错误。
11.(6分)在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C,某时刻恰好在同一过地心的直线上,如图所示,当卫星B经过一个周期时
( )
A.A超前于B,C落后于B
B.A超前于B,C超前于B
C.A、C都落后于B
D.各卫星角速度相等,因而三颗卫星仍在同一直线上
【解析】选A。由G=mr可得T=2π,故轨道半径越大,周期越大。当B经过一个周期时, A已经完成了一个多周期,而C还没有完成一个周期,所以选项A正确, B、C、D错误。
12.(22分)某颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,绕行n圈所用总时间为t,已知地球半径为R,地球表面重力加速度为g(不考虑地球自转的影响),万有引力常量为G。求:
(1)地球的第一宇宙速度v;
(2)地球的平均密度的大小ρ;
(3)该卫星距离地面高度h。
【解析】(1)根据mg=m,解得第一宇宙速度:v=。
(2)由mg=、ρ=
解得:ρ=。
(3)卫星做圆周运动的周期:T=
=m()2(R+h)
解得:h=-R
答案:(1) (2) (3)-R
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